Ondícula de Cohen–Daubechies–Feauveau

Las wavelets de Cohen–Daubechies–Feauveau son una familia de wavelets biortogonales que se popularizaron gracias a Ingrid Daubechies . ^[1]^[2] No son iguales a las wavelets ortogonales de Daubechies y tampoco son muy similares en forma y propiedades. Sin embargo, su idea de construcción es la misma.

El estándar de compresión JPEG 2000 utiliza la wavelet biortogonal Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 (desarrollada por D. Le Gall y Ali J. Tabatabai) ^[3]^[4]^[5] para la compresión sin pérdida y una wavelet CDF 9/7 para la compresión con pérdida .

Propiedades

El generador primario es un B-spline si se elige la factorización simple (ver a continuación). $q_{\text{prim}}(X)=1$
El generador dual tiene el mayor número posible de factores de suavidad para su longitud.
Todos los generadores y wavelets de esta familia son simétricos.

Construcción

Para cada entero positivo A existe un único polinomio de grado A − 1 que satisface la identidad $Estilo de visualización Q_{A}(X)}$

\left(1-{\frac {X}{2}}\right)^{A}\,Q_{A}(X)+\left({\frac {X}{2}}\right)^{A}\,Q_{A}(2-X)=1.

Este es el mismo polinomio que se utilizó en la construcción de las wavelets de Daubechies . Pero, en lugar de una factorización espectral, aquí intentamos factorizar

Q_{A}(X)=q_{\text{prim}}(X)\,q_{\text{dual}}(X),

donde los factores son polinomios con coeficientes reales y coeficiente constante 1. Entonces

a_{\text{prim}}(Z)=2Z^{d}\,\left({\frac {1+Z}{2}}\right)^{A}\,q_{\text{prim}}\left(1-{\frac {Z+Z^{-1}}{2}}\right)

a_{\text{dual}}(Z)=2Z^{d}\,\left({\frac {1+Z}{2}}\right)^{A}\,q_{\text{dual}}\left(1-{\frac {Z+Z^{-1}}{2}}\right)

formar un par biortogonal de secuencias de escala. d es un número entero utilizado para centrar las secuencias simétricas en cero o para hacer que los filtros discretos correspondientes sean causales.

Dependiendo de las raíces de , puede haber hasta diferentes factorizaciones. Una factorización simple es y , entonces la función de escala primaria es la B-spline de orden A − 1. Para A = 1 se obtiene la wavelet de Haar ortogonal . $Estilo de visualización Q_{A}(X)}$ $Estilo de visualización 2^{A-1}}$ $q_{\text{prim}}(X)=1$ $q_{\text{dual}}(X)=Q_{A}(X)$

Tablas de coeficientes

Para A = 2 se obtiene de esta manera la wavelet LeGall 5/3 :

Para A = 4 se obtiene el 9/7-CDF-wavelet . Se obtiene , este polinomio tiene exactamente una raíz real, por lo tanto es el producto de un factor lineal y un factor cuadrático. El coeficiente c , que es el inverso de la raíz, tiene un valor aproximado de −1,4603482098. $Q_{4}(X)=1+2X+{\frac {5}{2}}X^{2}+{\frac {5}{2}}X^{3}$ ${\estilo de visualización 1-cX}$

Para los coeficientes de la escala centrada y las secuencias wavelet se obtienen valores numéricos en una forma fácil de implementar.

Numeración

Existen dos esquemas de numeración coincidentes para los wavelets de la familia CDF:

el número de factores de suavidad de los filtros de paso bajo, o equivalentemente el número de momentos de desaparición de los filtros de paso alto, por ejemplo, "2, 2";
los tamaños de los filtros de paso bajo, o equivalentemente los tamaños de los filtros de paso alto, por ejemplo, "5, 3".

La primera numeración se utilizó en el libro de Daubechies Diez lecciones sobre wavelets . Ninguna de estas numeraciones es única. El número de momentos de desaparición no indica la factorización elegida. Un banco de filtros con tamaños de filtro 7 y 9 puede tener 6 y 2 momentos de desaparición cuando se utiliza la factorización trivial, o 4 y 4 momentos de desaparición como es el caso de la wavelet JPEG 2000. Por lo tanto, la misma wavelet puede denominarse "CDF 9/7" (según los tamaños de filtro) o "biortogonal 4, 4" (según los momentos de desaparición). De manera similar, la misma wavelet puede denominarse "CDF 5/3" (según los tamaños de filtro) o "biortogonal 2, 2" (según los momentos de desaparición).

Descomposición por elevación

Para los bancos de filtros factorizados trivialmente se puede dar explícitamente una descomposición por elevación . ^[6]

Número par de factores de suavidad

Sea el número de factores de suavidad en el filtro de paso bajo B-spline, que deberá ser par. ${\estilo de visualización n}$

Luego define recursivamente

{\begin{aligned}a_{0}&={\frac {1}{n}},\\a_{m}&={\frac {1}{(n^{2}-4\cdot m^{2})\cdot a_{m-1}}}.\end{aligned}}

Los filtros de elevación son

s_{m}(z)=a_{m}\cdot (2\cdot m+1)\cdot (1+z^{(-1)^{m}}).

En conclusión, los resultados provisionales del levantamiento son

{\begin{aligned}x_{-1}(z)&=z,\\x_{0}(z)&=1,\\x_{m+1}(z)&=x_{m-1}(z)+a_{m}\cdot (2\cdot m+1)\cdot (z+z^{-1})\cdot z^{(-1)^{m}}\cdot x_{m}(z),\end{aligned}}

Lo que conduce a

x_{n/2}(z)=2^{-n/2}\cdot (1+z)^{n}\cdot z^{n/2{\bmod {2}}-n/ 2}.

Los filtros y constituyen el banco de filtros CDF- n ,0. $Estilo de visualización x_{n/2}}$ $Estilo de visualización x_{n/2-1}}$

Número impar de factores de suavidad

Ahora, seamos impares. ${\estilo de visualización n}$

Luego define recursivamente

{\begin{aligned}a_{0}&={\frac {1}{n}},\\a_{m}&={\frac {1}{(n^{2}-(2\cdot m-1)^{2})\cdot a_{m-1}}}.\end{aligned}}

Los filtros de elevación son

s_{m}(z)=a_{m}\cdot ((2\cdot m+1)+(2\cdot m-1)\cdot z)/z^{m{\bmod {2}}}.

En conclusión, los resultados provisionales del levantamiento son

{\begin{aligned}x_{-1}(z)&=z,\\x_{0}(z)&=1,\\x_{1}(z)&=x_{-1}(z)+a_{0}\cdot x_{0}(z),\\x_{m+1}(z)&=x_{m-1}(z)+a_{m}\cdot ((2\cdot m+1)\cdot z+(2\cdot m-1)\cdot z^{-1})\cdot z^{(-1)^{m}}\cdot x_{m}(z),\end{aligned}}

Lo que conduce a

x_{(n+1)/2}(z)\sim (1+z)^{n},

donde descuidamos la traducción y el factor constante.

Los filtros y constituyen el banco de filtros CDF- n ,1. $Estilo de visualización x_{(n+1)/2}}$ $Estilo de visualización x_{(n-1)/2}}$

Aplicaciones

La wavelet de Cohen-Daubechies-Feauveau y otras wavelets biortogonales se han utilizado para comprimir escaneos de huellas dactilares para el FBI . ^{[7] Tom Hopper (FBI), Jonathan Bradley (}Laboratorio Nacional de Los Álamos ) y Chris Brislawn (Laboratorio Nacional de Los Álamos) desarrollaron un estándar para comprimir huellas dactilares de esta manera . ^[7] Al usar wavelets, se puede lograr una relación de compresión de alrededor de 20 a 1, lo que significa que una imagen de 10 MB podría reducirse a tan solo 500 kB sin dejar de pasar las pruebas de reconocimiento. ^[7]

Enlaces externos

JPEG 2000: ¿Cómo funciona?
Código fuente de la transformada wavelet CDF 9/7 rápida y discreta en lenguaje C (implementación de elevación) en Wayback Machine (archivado el 5 de marzo de 2012)
Transformada wavelet CDF 9/7 para señales 2D mediante elevación: código fuente en Python
Implementación de código abierto 5/3-CDF-Wavelet en C#, para longitudes arbitrarias

Referencias

^ Cohen, A.; Daubechies, I.; Feauveau, J.-C. (1992). "Bases biortogonales de wavelets con soporte compacto". Communications on Pure and Applied Mathematics . 45 (5): 485–560. doi :10.1002/cpa.3160450502.
^ Daubechies, Ingrid (1992). Diez conferencias sobre wavelets . SIAM. doi :10.1137/1.9781611970104. ISBN 978-0-89871-274-2.
^ Sullivan, Gary (8–12 de diciembre de 2003). «Características generales y consideraciones de diseño para la codificación de vídeo en subbandas temporales». UIT-T . Grupo de expertos en codificación de vídeo . Consultado el 13 de septiembre de 2019 .
^ Bovik, Alan C. (2009). La guía esencial para el procesamiento de video. Academic Press . p. 355. ISBN 9780080922508.
^ Gall, D. Le; Tabatabai, Ali J. (1988). "Codificación de subbandas de imágenes digitales utilizando filtros de núcleo corto simétricos y técnicas de codificación aritmética". ICASSP-88, Conferencia internacional sobre acústica, habla y procesamiento de señales . pp. 761–764 vol.2. doi :10.1109/ICASSP.1988.196696. S2CID 109186495.
^ Thielemann, Henning (2006). "Sección 3.2.4". Wavelets óptimamente emparejados (tesis doctoral).
^ abc Cipra, Barry Arthur (1994). ¿Qué está pasando en las ciencias matemáticas? (Vol. 2) Hablando de wavelets . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821889985.