Código de bloque de espacio-tiempo

Opción WiFi

La codificación de bloques espacio-temporales es una técnica utilizada en las comunicaciones inalámbricas para transmitir múltiples copias de un flujo de datos a través de varias antenas y aprovechar las distintas versiones recibidas de los datos para mejorar la fiabilidad de la transferencia de datos. El hecho de que la señal transmitida deba atravesar un entorno potencialmente difícil con dispersión , reflexión , refracción , etc. y que luego pueda verse aún más alterada por el ruido térmico en el receptor significa que algunas de las copias recibidas de los datos pueden ser más cercanas a la señal original que otras. Esta redundancia da como resultado una mayor probabilidad de poder utilizar una o más de las copias recibidas para decodificar correctamente la señal recibida. De hecho, la codificación espacio-temporal combina todas las copias de la señal recibida de forma óptima para extraer la mayor cantidad de información posible de cada una de ellas.

Introducción

Hasta principios de los años 1990, la mayoría de los trabajos sobre comunicaciones inalámbricas se habían centrado en tener un conjunto de antenas en un solo extremo del enlace inalámbrico, generalmente en el receptor. ^[1] Los artículos seminales de Gerard J. Foschini y Michael J. Gans, ^[2] Foschini ^[3] y Emre Telatar ^[4] ampliaron el alcance de las posibilidades de comunicación inalámbrica al demostrar que, para el entorno de alta dispersión, se permiten ganancias de capacidad sustanciales cuando se utilizan conjuntos de antenas en ambos extremos de un enlace. Un enfoque alternativo para utilizar múltiples antenas se basa en tener múltiples antenas de transmisión y, solo opcionalmente, múltiples antenas de recepción. Propuestos por Vahid Tarokh , Nambi Seshadri y Robert Calderbank , estos códigos espacio-temporales ^[5] (STC) logran mejoras significativas en la tasa de error con respecto a los sistemas de antena única. Su esquema original se basaba en códigos de enrejado , pero los códigos de bloque más simples fueron utilizados por Siavash Alamouti ^[6] y más tarde Vahid Tarokh , Hamid Jafarkhani y Robert Calderbank ^[7] para desarrollar códigos de bloque espacio-temporales (STBC). STC implica la transmisión de múltiples copias redundantes de datos para compensar el desvanecimiento y el ruido térmico con la esperanza de que algunos de ellos puedan llegar al receptor en un mejor estado que otros. En el caso de STBC en particular, el flujo de datos a transmitir se codifica en bloques , que se distribuyen entre antenas espaciadas y a través del tiempo. Si bien es necesario tener múltiples antenas de transmisión, no es necesario tener múltiples antenas de recepción, aunque hacerlo mejora el rendimiento. Este proceso de recibir diversas copias de los datos se conoce como recepción de diversidad y es lo que se estudió en gran medida hasta el artículo de Foschini de 1998.

Un STBC suele representarse mediante una matriz . Cada fila representa un intervalo de tiempo y cada columna representa las transmisiones de una antena a lo largo del tiempo.

${\displaystyle {\text{time-slots}}{\begin{matrix}{\text{transmit antennas}}\\\left\downarrow {\overrightarrow {\begin{bmatrix}s_{11}&s_{12}&\cdots &s_{1n_{T}}\\s_{21}&s_{22}&\cdots &s_{2n_{T}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\s_{T1}&s_{T2}&\cdots &s_{Tn_{T}}\end{bmatrix}}}\right.\end{matrix}}}$

Aquí se muestra el símbolo modulado que se transmitirá en el intervalo de tiempo desde la antena . Debe haber intervalos de tiempo y antenas de transmisión, así como antenas de recepción. Este bloque generalmente se considera de "longitud". ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n_{T}}$ ${\displaystyle n_{R}}$ ${\displaystyle T}$

La tasa de código de un STBC mide cuántos símbolos por intervalo de tiempo transmite en promedio a lo largo de un bloque. ^[7] Si un bloque codifica símbolos, la tasa de código es ${\displaystyle k}$

${\displaystyle r={\frac {k}{T}}.}$

Sólo un STBC estándar puede alcanzar la velocidad completa (velocidad 1): código de Alamouti.

Ortogonalidad

Los STBC, tal como se introdujeron originalmente y como se estudian habitualmente, son ortogonales . Esto significa que el STBC está diseñado de modo que los vectores que representan cualquier par de columnas tomadas de la matriz de codificación sean ortogonales. El resultado de esto es una decodificación lineal simple y óptima en el receptor. Su desventaja más grave es que todos los códigos que satisfacen este criterio, excepto uno, deben sacrificar alguna proporción de su velocidad de datos (véase el código de Alamouti).

Además, existen STBC cuasi-ortogonales que logran velocidades de datos más altas a costa de la interferencia entre símbolos (ISI). Por lo tanto, su rendimiento en cuanto a tasa de error está limitado en menor medida por el de los STBC de tasa ortogonal 1, que proporcionan transmisiones libres de ISI debido a la ortogonalidad.

Diseño de STBC

El diseño de los STBC se basa en el llamado criterio de diversidad derivado por Tarokh et al. en su artículo anterior sobre códigos de red espacio-temporal . ^[5] Se puede demostrar que los STBC ortogonales logran la máxima diversidad permitida por este criterio.

Criterio de diversidad

Llamar a una palabra clave

${\displaystyle \mathbf {c} =c_{1}^{1}c_{1}^{2}\cdots c_{1}^{n_{T}}c_{2}^{1}c_{2}^{2}\cdots c_{2}^{n_{T}}\cdots c_{T}^{1}c_{T}^{2}\cdots c_{T}^{n_{T}}}$

y llamar a una palabra de código recibida decodificada erróneamente

${\displaystyle \mathbf {e} =e_{1}^{1}e_{1}^{2}\cdots e_{1}^{n_{T}}e_{2}^{1}e_{2}^{2}\cdots e_{2}^{n_{T}}\cdots e_{T}^{1}e_{T}^{2}\cdots e_{T}^{n_{T}}.}$

Entonces la matriz

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {c} ,\mathbf {e} )={\begin{bmatrix}e_{1}^{1}-c_{1}^{1}&e_{2}^{1}-c_{2}^{1}&\cdots &e_{T}^{1}-c_{T}^{1}\\e_{1}^{2}-c_{1}^{2}&e_{2}^{2}-c_{2}^{2}&\cdots &e_{T}^{2}-c_{T}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{1}^{n_{T}}-c_{1}^{n_{T}}&e_{2}^{n_{T}}-c_{2}^{n_{T}}&\cdots &e_{T}^{n_{T}}-c_{T}^{n_{T}}\end{bmatrix}}}$

tiene que ser de rango completo para cualquier par de palabras de código distintas y dar el orden de diversidad máximo posible de . Si, en cambio, tiene un rango mínimo sobre el conjunto de pares de palabras de código distintas, entonces el código espacio-temporal ofrece un orden de diversidad . Un examen de los STBC de ejemplo que se muestran a continuación revela que todos satisfacen este criterio de máxima diversidad. ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle n_{T}n_{R}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {c} ,\mathbf {e} )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle bn_{R}}$

Los STBC ofrecen únicamente ganancia de diversidad (en comparación con los esquemas de antena única) y no ganancia de codificación. No se incluye ningún esquema de codificación aquí: la redundancia simplemente proporciona diversidad en el espacio y el tiempo. Esto contrasta con los códigos de enrejado espacio-temporales que proporcionan tanto diversidad como ganancia de codificación, ya que distribuyen un código de enrejado convencional en el espacio y el tiempo.

Codificación

El código de Alamouti

Rendimiento de la tasa de error de bits de la transmisión simulada de Alamouti sobre los canales MISO y MIMO parcialmente invariantes en el tiempo (K = 0,6). Nótese que el caso de Alamouti 2x1 coincidió completamente con la diversidad teórica de segundo orden; sin embargo, Alamouti 2x2 tiene un mejor rendimiento de BER debido a la ganancia adicional del conjunto. ^[8]

Siavash Alamouti inventó el más simple de todos los STBC en 1998, ^[6] aunque no acuñó él mismo el término "código de bloque espacio-temporal". Fue diseñado para un sistema de dos antenas de transmisión y tiene la matriz de codificación:

${\displaystyle C_{2}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}\end{bmatrix}},}$

donde * denota complejo conjugado .

Es evidente que se trata de un código de tasa 1. Se necesitan dos intervalos de tiempo para transmitir dos símbolos. Si se utiliza el esquema de decodificación óptimo que se analiza a continuación, la tasa de error de bit (BER) de este STBC es equivalente a la combinación de relación máxima de rama (MRC). Esto es el resultado de la ortogonalidad perfecta entre los símbolos después del procesamiento de recepción: hay dos copias de cada símbolo transmitidas y dos copias recibidas. ${\displaystyle 2n_{R}}$ ${\displaystyle n_{R}}$

Este es un STBC muy especial. Es el único STBC ortogonal que alcanza una tasa de 1. ^[5] Es decir, es el único STBC que puede alcanzar su ganancia de diversidad completa sin necesidad de sacrificar su tasa de datos. Estrictamente, esto solo es cierto para símbolos de modulación complejos . Sin embargo, dado que casi todos los diagramas de constelación se basan en números complejos, esta propiedad generalmente le da al código de Alamouti una ventaja significativa sobre los STBC de orden superior, aunque logren un mejor rendimiento en cuanto a tasa de error. Consulte 'Límites de tasa' para obtener más detalles.

La importancia de la propuesta de Alamouti en 1998 es que fue la primera demostración de un método de codificación que permite una diversidad total con procesamiento lineal en el receptor. Las propuestas anteriores para la diversidad de transmisión requerían esquemas de procesamiento que escalaban exponencialmente con el número de antenas de transmisión. Además, fue la primera técnica de diversidad de transmisión de bucle abierto que tenía esta capacidad. Las generalizaciones posteriores del concepto de Alamouti han tenido un tremendo impacto en la industria de las comunicaciones inalámbricas.

STBC de orden superior

Tarokh et al. descubrieron un conjunto de STBC ^{[7] [9]} que son particularmente sencillos y acuñaron el nombre del esquema. También demostraron que ningún código para más de 2 antenas de transmisión podía alcanzar la velocidad máxima. Desde entonces, sus códigos han sido mejorados (tanto por los autores originales como por muchos otros). Sin embargo, sirven como ejemplos claros de por qué la velocidad no puede alcanzar 1 y qué otros problemas deben resolverse para producir STBC "buenos". También demostraron el esquema de decodificación lineal simple que acompaña a sus códigos bajo el supuesto de información perfecta del estado del canal .

3 antenas de transmisión

Dos códigos sencillos para 3 antenas de transmisión son:

${\displaystyle C_{3,1/2}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}\\-c_{2}&c_{1}&-c_{4}\\-c_{3}&c_{4}&c_{1}\\-c_{4}&-c_{3}&c_{2}\\c_{1}^{*}&c_{2}^{*}&c_{3}^{*}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&-c_{4}^{*}\\-c_{3}^{*}&c_{4}^{*}&c_{1}^{*}\\-c_{4}^{*}&-c_{3}^{*}&c_{2}^{*}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad C_{3,3/4}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {\left(-c_{1}-c_{1}^{*}+c_{2}-c_{2}*\right)}{2}}\\{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&-{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {\left(c_{2}+c_{2}^{*}+c_{1}-c_{1}^{*}\right)}{2}}.\end{bmatrix}}}$

Estos códigos alcanzan una tasa de 1/2 y una tasa de 3/4 respectivamente. Estas dos matrices dan ejemplos de por qué los códigos para más de dos antenas deben sacrificar la tasa: es la única forma de lograr ortogonalidad. Un problema particular es que tiene una potencia desigual entre los símbolos que transmite. Esto significa que la señal no tiene una envolvente constante y que la potencia que cada antena debe transmitir tiene que variar, lo cual no es deseable. Desde entonces se han diseñado versiones modificadas de este código que superan este problema. ${\displaystyle C_{3,3/4}}$

4 antenas de transmisión

Dos códigos sencillos para 4 antenas de transmisión son:

${\displaystyle C_{4,1/2}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}&c_{4}\\-c_{2}&c_{1}&-c_{4}&c_{3}\\-c_{3}&c_{4}&c_{1}&-c_{2}\\-c_{4}&-c_{3}&c_{2}&c_{1}\\c_{1}^{*}&c_{2}^{*}&c_{3}^{*}&c_{4}^{*}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&-c_{4}^{*}&c_{3}^{*}\\-c_{3}^{*}&c_{4}^{*}&c_{1}^{*}&-c_{2}^{*}\\-c_{4}^{*}&-c_{3}^{*}&c_{2}^{*}&c_{1}^{*}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {}C_{4,3/4}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}&-{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {\left(-c_{1}-c_{1}^{*}+c_{2}-c_{2}^{*}\right)}{2}}&{\frac {\left(-c_{2}-c_{2}^{*}+c_{1}-c_{1}^{*}\right)}{2}}\\{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&-{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {\left(c_{2}+c_{2}^{*}+c_{1}-c_{1}^{*}\right)}{2}}&-{\frac {\left(c_{1}+c_{1}^{*}+c_{2}-c_{2}^{*}\right)}{2}}\end{bmatrix}}.}$

Estos códigos alcanzan una tasa de 1/2 y una tasa de 3/4 respectivamente, al igual que sus contrapartes de 3 antenas. presenta los mismos problemas de potencia desigual que . Una versión mejorada de es ^[10] ${\displaystyle C_{4,3/4}}$ ${\displaystyle C_{3,3/4}}$ ${\displaystyle C_{4,3/4}}$

${\displaystyle C_{4,3/4}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}&0\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&0&c_{3}\\-c_{3}^{*}&0&c_{1}^{*}&-c_{2}\\0&-c_{3}^{*}&c_{2}^{*}&c_{1}\end{bmatrix}},}$

que tiene la misma potencia desde todas las antenas en todos los intervalos de tiempo.

Descodificación

Una característica particularmente atractiva de los STBC ortogonales es que la decodificación de máxima verosimilitud se puede lograr en el receptor con solo un procesamiento lineal . Para considerar un método de decodificación, se necesita un modelo del sistema de comunicaciones inalámbricas.

En el momento , la señal recibida en la antena es: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r_{t}^{j}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle r_{t}^{j}=\sum _{i=1}^{n_{T}}\alpha _{ij}s_{t}^{i}+n_{t}^{j},}$

donde es la ganancia de trayectoria desde la antena transmisora ​​a la antena receptora , es la señal transmitida por la antena transmisora ​​y es una muestra de ruido gaussiano blanco aditivo ( AWGN ). ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle s_{t}^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n_{t}^{j}}$

La regla de detección de máxima verosimilitud ^[9] es formar las variables de decisión

${\displaystyle R_{i}=\sum _{t=1}^{n_{T}}\sum _{j=1}^{n_{R}}r_{t}^{j}\alpha _{\epsilon _{t}(i)j}\delta _{t}(i)}$

donde es el signo de en la fila ^ésima de la matriz de codificación, denota que es (hasta una diferencia de signo), el elemento de la matriz de codificación, para y luego decide el símbolo de constelación que satisface ${\displaystyle \delta _{k}(i)}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon _{k}(p)=q}$ ${\displaystyle s_{p}}$ ${\displaystyle (k,q)}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n_{T}}$ ${\displaystyle s_{i}}$

${\displaystyle s_{i}=\arg {}\min _{s\in {\mathcal {A}}}\left(\left|R_{i}-s\right|^{2}+\left(-1+\sum _{k,l}^{}\left|\alpha _{kl}\right|^{2}\right)\left|s\right|^{2}\right),}$

con el alfabeto de las constelaciones . A pesar de su apariencia, se trata de un esquema de decodificación lineal simple que proporciona la máxima diversidad. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Límites de velocidad

Además de que no existe un STBC ortogonal complejo de velocidad completa para más de dos antenas, se ha demostrado además que, para más de dos antenas, la velocidad máxima posible es 3/4. ^[11] Se han diseñado códigos que logran una buena proporción de esto, pero tienen una longitud de bloque muy larga. Esto los hace inadecuados para el uso práctico, porque la decodificación no puede continuar hasta que se hayan recibido todas las transmisiones en un bloque, y por lo tanto una longitud de bloque más larga, , da como resultado un retardo de decodificación más largo. Un ejemplo particular, para 16 antenas de transmisión, tiene una velocidad de 9/16 y una longitud de bloque de 22 880 intervalos de tiempo. ^[12] ${\displaystyle T}$

Se ha demostrado ^[13] que la tasa más alta que cualquier código de antena puede alcanzar es ${\displaystyle n_{T}}$

${\displaystyle r_{\max }={\frac {n_{0}+1}{2n_{0}}},}$

donde o , si no se permite ningún procesamiento lineal en la matriz de código (la tasa máxima anterior demostrada en ^[13] solo se aplica a la definición original de diseños ortogonales, es decir, cualquier entrada en la matriz es , o , lo que obliga a que cualquier variable no se pueda repetir en ninguna columna de la matriz). Se conjetura que este límite de tasa se cumple para cualquier código de bloque de espacio-tiempo ortogonal complejo incluso cuando se permite cualquier procesamiento lineal entre las variables complejas. ^[11] Se han encontrado diseños recursivos de forma cerrada. ^[14] ${\displaystyle n_{T}=2n_{0}}$ ${\displaystyle n_{T}=2n_{0}-1}$ ${\displaystyle 0,c_{i},-c_{i},c_{i}^{*},}$ ${\displaystyle -c_{i}^{*}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

STBC cuasi-ortogonales

Estos códigos presentan una ortogonalidad parcial y proporcionan solo una parte de la ganancia de diversidad mencionada anteriormente. Un ejemplo reportado por Hamid Jafarkhani es: ^[15]

${\displaystyle C_{4,1}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}&c_{4}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&-c_{4}^{*}&c_{3}^{*}\\-c_{3}^{*}&-c_{4}^{*}&c_{1}^{*}&c_{2}^{*}\\c_{4}&-c_{3}&-c_{2}&c_{1}\end{bmatrix}}.}$

El criterio de ortogonalidad sólo se cumple para las columnas (1 y 2), (1 y 3), (2 y 4) y (3 y 4). Sin embargo, lo más importante es que el código es de velocidad completa y sólo requiere procesamiento lineal en el receptor, aunque la decodificación es ligeramente más compleja que para los STBC ortogonales. Los resultados muestran que este Q-STBC supera (en el sentido de tasa de error de bits) al STBC de 4 antenas totalmente ortogonal en un buen rango de relaciones señal-ruido (SNR). Sin embargo, en SNR altas (por encima de unos 22 dB en este caso particular), la mayor diversidad que ofrecen los STBC ortogonales produce una mejor BER. Más allá de este punto, deben considerarse los méritos relativos de los esquemas en términos de rendimiento de datos útiles.

Los Q-STBC también se han desarrollado considerablemente a partir del ejemplo básico mostrado.

Véase también

• Múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO)
• Diversidad de transmisión basada en codificación de bloques espacio-temporales (STTD)
• Código espacio-temporal
• Código de red de espacio-tiempo
• Código diferencial espacio-temporal

Referencias

1. E. Larsson y P. Stoica, Codificación de bloques espacio-temporales para comunicaciones inalámbricas . Cambridge University Press, Reino Unido, 2003 (edición china, 2006).
2. Gerard J. Foschini y Michael J. Gans (enero de 1998). "Sobre los límites de las comunicaciones inalámbricas en un entorno de desvanecimiento cuando se utilizan múltiples antenas". Comunicaciones personales inalámbricas . 6 (3): 311–335. doi :10.1023/A:1008889222784.
3. Gerard J. Foschini (otoño de 1996). "Arquitectura espacio-temporal en capas para comunicaciones inalámbricas en un entorno de desvanecimiento cuando se utilizan antenas multielemento". Bell Labs Technical Journal . 1 (2): 41–59. doi :10.1002/bltj.2015.
4. I. Emre Telatar (noviembre de 1999). "Capacidad de canales gaussianos multiantena". Transacciones europeas de telecomunicaciones . 10 (6): 585–595. doi :10.1002/ett.4460100604.
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6. SM Alamouti (octubre de 1998). "Una técnica de diversidad de transmisión simple para comunicaciones inalámbricas". Revista IEEE sobre áreas seleccionadas en comunicaciones . 16 (8): 1451–1458. doi :10.1109/49.730453.
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8. Introducción a los sistemas MIMO (MathWorks)
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