Los términos de orden principal (o correcciones ) dentro de una ecuación , expresión o modelo matemático son los términos con mayor orden de magnitud . [1] [2] Los tamaños de los diferentes términos en las ecuaciones cambiarán a medida que cambien las variables y, por lo tanto, los términos que son de orden principal también pueden cambiar.
Una forma común y poderosa de simplificar y comprender una amplia variedad de modelos matemáticos complicados es investigar qué términos son los más grandes (y por lo tanto los más importantes), para tamaños particulares de variables y parámetros, y analizar el comportamiento producido solo por estos términos ( considerando los otros términos más pequeños como insignificantes). [3] [4] Esto da el comportamiento principal; el verdadero comportamiento está a sólo pequeñas desviaciones de este. Este comportamiento principal puede captarse suficientemente bien sólo con los términos de orden estrictamente principal, o puede decidirse que también se deben incluir términos ligeramente más pequeños. En cuyo caso, la frase términos de orden principal podría usarse informalmente para referirse a todo este grupo de términos. El comportamiento producido sólo por el grupo de términos de orden principal se denomina comportamiento de orden principal del modelo.
Considere la ecuación y = x 3 + 5 x + 0,1. Para cinco valores diferentes de x , la tabla muestra los tamaños de los cuatro términos de esta ecuación y qué términos son de orden principal. A medida que x aumenta aún más, los términos de orden principal permanecen como x 3 e y , pero a medida que x disminuye y luego se vuelve cada vez más negativo, los términos de orden principal cambian nuevamente.
No existe un límite estricto sobre cuándo dos términos deben o no considerarse aproximadamente del mismo orden o magnitud. Una posible regla general es que dos términos que están dentro de un factor de 10 (un orden de magnitud) entre sí deben considerarse aproximadamente del mismo orden, y dos términos que no están dentro de un factor de 100 (dos órdenes de magnitud) deben considerarse aproximadamente del mismo orden. magnitud) entre sí no debería ser así. Sin embargo, en el medio hay un área gris, por lo que no hay límites fijos entre los términos que deben considerarse aproximadamente de orden principal y los que no. En cambio, los términos aparecen y desaparecen a medida que cambian las variables. Decidir si los términos de un modelo son de orden principal (o aproximadamente de orden principal) y, en caso contrario, si son lo suficientemente pequeños como para considerarse insignificantes (dos preguntas diferentes), es a menudo una cuestión de investigación y juicio, y será depende del contexto.
Las ecuaciones con un solo término de orden principal son posibles, pero raras. [ dudoso – discutir ] Por ejemplo, la ecuación 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1, (donde el lado derecho comprende cien unos). Para cualquier combinación particular de valores de variables y parámetros, una ecuación normalmente contendrá al menos dos términos de orden principal y otros términos de orden inferior . En este caso, al suponer que los términos de orden inferior y las partes de los términos de orden principal que son del mismo tamaño que los términos de orden inferior (quizás la segunda o tercera cifra significativa en adelante), son insignificantes, Se puede formar una nueva ecuación eliminando todos estos términos de orden inferior y partes de los términos de orden principal. Los términos restantes proporcionan la ecuación de orden principal , o equilibrio de orden principal , [5] o equilibrio dominante , [6] [7] [8] y la creación de una nueva ecuación que solo incluya estos términos se conoce como llevar una ecuación a orden . Las soluciones de esta nueva ecuación se denominan soluciones de orden principal [9] [10] de la ecuación original. Analizando el comportamiento dado por esta nueva ecuación se obtiene el comportamiento de orden principal [11] [12] del modelo para estos valores de las variables y parámetros. El tamaño del error al hacer esta aproximación normalmente es aproximadamente el tamaño del término más grande despreciado.
Supongamos que queremos comprender el comportamiento del orden principal del ejemplo anterior.
Por tanto , el comportamiento principal de y puede investigarse para cualquier valor de x . El comportamiento del orden principal es más complicado cuando hay más términos en el orden principal. En x=2 hay un equilibrio de orden principal entre las dependencias cúbicas y lineales de y en x .
Tenga en cuenta que esta descripción de cómo encontrar equilibrios y comportamientos de orden principal proporciona sólo una descripción general del proceso; no es matemáticamente rigurosa.
Por supuesto, y en realidad no es completamente constante en x = 0,001; este es simplemente su comportamiento principal en las proximidades de este punto. Puede ser que retener sólo los términos de orden principal (o aproximadamente de orden principal), y considerar todos los demás términos más pequeños como insignificantes, sea insuficiente (cuando se utiliza el modelo para predicción futura, por ejemplo), y por lo tanto puede ser necesario para retener también el conjunto de los siguientes términos más grandes. Estos pueden denominarse términos o correcciones del orden siguiente al líder (NLO). [13] [14] El siguiente conjunto de términos después de ese puede denominarse términos o correcciones del orden siguiente al siguiente (NNLO). [15]
Las técnicas de simplificación de orden principal se utilizan junto con el método de expansiones asintóticas emparejadas , cuando la solución aproximada precisa en cada subdominio es la solución de orden principal. [3] [16] [17]
Para escenarios de flujo de fluidos particulares, las ecuaciones (muy generales) de Navier-Stokes pueden simplificarse considerablemente considerando solo los componentes de orden principal. Por ejemplo, las ecuaciones de flujo de Stokes . [18] Además, las ecuaciones de película delgada de la teoría de la lubricación .
Se pueden simplificar localmente varias ecuaciones diferenciales considerando sólo los componentes de orden principal. Los algoritmos de aprendizaje automático pueden dividir datos de simulación u observación en particiones localizadas con términos de ecuaciones de orden principal para aerodinámica, dinámica oceánica, angiogénesis inducida por tumores y aplicaciones de datos sintéticos. [19]