Cálculo de Mueller

Sistema para describir la polarización óptica

El cálculo de Mueller es un método matricial para manipular vectores de Stokes , que representan la polarización de la luz. Fue desarrollado en 1943 por Hans Mueller . En esta técnica, el efecto de un elemento óptico particular se representa mediante una matriz de Mueller, una matriz de 4×4 que es una generalización superpuesta de la matriz de Jones .

Introducción

Sin tener en cuenta la superposición de ondas coherentes , cualquier estado de luz totalmente polarizado, parcialmente polarizado o no polarizado puede representarse mediante un vector de Stokes ( ) ; y cualquier elemento óptico puede representarse mediante una matriz de Mueller (M). ${\displaystyle {\vec {S}}}$

Si un haz de luz está inicialmente en el estado y luego pasa a través de un elemento óptico M y sale en un estado , entonces se escribe ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}_{o}}$

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} {\vec {S}}_{i}\ .}$

Si un haz de luz pasa a través del elemento óptico M ₁ seguido de M ₂ y luego M ₃ se escribe

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\left(\mathrm {M} _{2}\left(\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\right)\right)}$

Dado que la multiplicación de matrices es asociativa, se puede escribir

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\ .}$

La multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que en general

${\displaystyle \mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\neq \mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}{\vec {S}}_{i}\ .}$

Cálculos de Mueller contra Jones

Sin tener en cuenta la coherencia, la luz no polarizada o parcialmente polarizada debe tratarse utilizando el cálculo de Mueller, mientras que la luz totalmente polarizada puede tratarse con el cálculo de Mueller o con el cálculo de Jones , más simple . Sin embargo, muchos problemas que involucran luz coherente (como la de un láser ) deben tratarse con el cálculo de Jones, porque trabaja directamente con el campo eléctrico de la luz en lugar de con su intensidad o potencia, y por lo tanto retiene información sobre la fase de las ondas. Más específicamente, se puede decir lo siguiente sobre las matrices de Mueller y las matrices de Jones: ^[1]

Los vectores de Stokes y las matrices de Mueller operan sobre intensidades y sus diferencias, es decir, superposiciones incoherentes de luz; no son adecuados para describir efectos de interferencia o difracción.

(...)

Cualquier matriz de Jones [J] se puede transformar en la matriz de Mueller-Jones correspondiente, M, utilizando la siguiente relación: ^[2]

${\displaystyle \mathrm {M=A(J\otimes J^{*})A^{-1}} }$,

donde * indica el complejo conjugado [ sic ], [ A es:]

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&i&-i&0\\\end{pmatrix}}}$

y ⊗ es el producto tensorial (Kronecker) .

(...)

Si bien la matriz de Jones tiene ocho parámetros independientes [dos componentes cartesianos o polares para cada uno de los cuatro valores complejos en la matriz de 2 por 2], la información de fase absoluta se pierde en la [ecuación anterior], lo que lleva a solo siete elementos de matriz independientes para una matriz de Mueller derivada de una matriz de Jones.

Matrices de Mueller

A continuación se enumeran las matrices de Mueller para algunos elementos ópticos comunes ideales:

Expresión general para la rotación del marco de referencia ^[3] desde el marco local al marco de laboratorio:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\0&-\sin {(2\theta )}&\cos {(2\theta )}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

donde es el ángulo de rotación. Para la rotación desde el marco de referencia del laboratorio al marco de referencia local, el signo de los términos del seno se invierte. ${\displaystyle \theta }$

Polarizador lineal (transmisión horizontal)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Las matrices de Mueller para otros ángulos de rotación del polarizador se pueden generar mediante la rotación del marco de referencia.

Polarizador lineal (transmisión vertical)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Polarizador lineal (transmisión de +45°)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Polarizador lineal (transmisión de −45°)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Matriz polarizadora lineal general

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\\cos {(2\theta )}&\cos ^{2}(2\theta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&0\\\sin {(2\theta )}&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&\sin ^{2}(2\theta )&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad }$

¿Dónde está el ángulo de rotación del polarizador? ${\displaystyle \theta }$

Retardador lineal general (a partir de aquí se realizan los cálculos de placa de onda)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\theta )+\sin ^{2}(2\theta )\cos(\delta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\sin(2\theta )\sin(\delta )\\0&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\cos ^{2}(2\theta )\cos(\delta )+\sin ^{2}(2\theta )&-\cos(2\theta )\sin(\delta )\\0&-\sin(2\theta )\sin(\delta )&\cos(2\theta )\sin(\delta )&\cos(\delta )\end{pmatrix}}\quad }$

donde es la diferencia de fase entre el eje rápido y lento y es el ángulo del eje rápido. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta }$

Placa de cuarto de onda (eje rápido vertical)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

Placa de cuarto de onda (eje rápido horizontal)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}}$

Placa de media onda (eje rápido horizontal y vertical; también, espejo ideal)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

Filtro atenuador (transmisión del 25%)

${\displaystyle {1 \over 4}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

Tensores de Mueller

La arquitectura de Mueller/Stokes también se puede utilizar para describir procesos ópticos no lineales, como la fluorescencia excitada por múltiples fotones y la generación de segundos armónicos. El tensor de Mueller se puede conectar con el tensor de Jones del marco de laboratorio por analogía directa con las matrices de Mueller y Jones.

${\displaystyle \mathrm {M} ^{(2)}=\mathrm {A} \left(\chi ^{(2)*}\otimes \chi ^{(2)}\right):\mathrm {A} ^{-1}\mathrm {A} ^{-1}}$,

donde es el tensor de Mueller de rango tres que describe el vector de Stokes producido por un par de vectores de Stokes incidentes, y es el tensor de Jones del marco de laboratorio 2×2×2. ${\displaystyle M^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

Véase también

• Parámetros de Stokes
• Cálculo de Jones
• Polarización (ondas)

Referencias

1. Savenkov, SN (2009). "Matrices de Jones y Mueller: Estructura, relaciones de simetría y contenido de información". Light Scattering Reviews 4. págs. 71–119. doi :10.1007/978-3-540-74276-0_3. ISBN . 978-3-540-74275-3.
2. * Nathan G. Parke (1949). "Álgebra óptica". Revista de matemáticas y física . 28 (1–4): 131. doi :10.1002/sapm1949281131.
3. Chipman, Russell (6 de octubre de 2009). "Capítulo 14: Polarimetría". En Bass, Michael (ed.). Manual de óptica . Vol. 1: Óptica geométrica y física, luz polarizada, componentes e instrumentos. McGraw Hill Education. ISBN 978-0071498890.

Otras fuentes

• E. Collett (2005) Guía de campo de polarización , Guías de campo SPIE vol. FG05 , SPIE ISBN 0-8194-5868-6 . 
• Eugene Hecht (1987) Óptica , 2.a ed., Addison-Wesley ISBN 0-201-11609-X . 
• del Toro Iniesta, Jose Carlos (2003). Introducción a la espectropolarimetría. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . p. 227. ISBN 978-0-521-81827-8.
• N. Mukunda y otros (2010) "Una caracterización completa de las matrices pre-Mueller y Mueller en óptica de polarización", Journal of the Optical Society of America A 27(2): 188 a 99 doi :10.1364/JOSAA.27.000188 MR 2642868
• William Shurcliff (1966) Luz polarizada: producción y uso , capítulo 8 Cálculo de Mueller y Cálculo de Jones, página 109, Harvard University Press .
• Simpson, Garth (2017). Análisis de polarización óptica no lineal en química y biología. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. p. 392. ISBN 978-0-521-51908-3.