Fórmula Bunch-Nielsen-Sorensen

En matemáticas , en particular en álgebra lineal , la fórmula de Bunch-Nielsen-Sorensen , ^[1] llamada así en honor a James R. Bunch, Christopher P. Nielsen y Danny C. Sorensen, expresa los vectores propios de la suma de una matriz simétrica y el producto externo , , del vector consigo mismo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle vv^{T}}$ ${\displaystyle v}$

Declaración

Sean los valores propios de y los valores propios de la matriz actualizada . En el caso especial cuando es diagonal, los vectores propios de se pueden escribir ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}=A+vv^{T}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle ({\tilde {q}}_{i})_{k}={\frac {N_{i}v_{k}}{\lambda _{k}-{\tilde {\lambda }}_{i}}}}$

donde es un número que hace que el vector sea normalizado. ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {q}}_{i}}$

Derivación

Esta fórmula se puede derivar de la fórmula de Sherman-Morrison examinando los polos de . ${\displaystyle (A-{\tilde {\lambda }}I+vv^{T})^{-1}}$

Observaciones

Los valores propios de fueron estudiados por Golub. ^[2] ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

Gu y Eisenstat estudian la estabilidad numérica del cálculo. ^[3]

Véase también

• Fórmula de Sherman-Morrison

Referencias

1. Manojo, JR; Nielsen, CP; Sorensen, DC (1978). "Modificación de rango uno del problema propio simétrico". Matemática numérica . 31 : 31–48. doi :10.1007/BF01396012. S2CID  120776348.
2. Golub, GH (1973). "Algunos problemas de valores propios de matrices modificadas". SIAM Review . 15 (2): 318–334. CiteSeerX 10.1.1.454.9868 . doi :10.1137/1015032. 
3. Gu, M.; Eisenstat, SC (1994). "Un algoritmo estable y eficiente para la modificación de rango uno del problema propio simétrico". Revista SIAM sobre análisis de matrices y aplicaciones . 15 (4): 1266. doi :10.1137/S089547989223924X.

Enlaces externos

• Modificación de rango uno del problema propio simétrico en EUDML
• Algunos problemas de valores propios de matrices modificadas
• Un algoritmo estable y eficiente para la modificación de rango uno del problema propio simétrico