Bucle de bloqueo de fase de bomba de carga

PLL de bomba de carga

El bucle de enganche de fase de bomba de carga (CP-PLL) es una modificación de los bucles de enganche de fase con detectores de frecuencia de fase y señales de forma de onda cuadrada. ^[1] Un CP-PLL permite un bloqueo rápido de la fase de la señal entrante, logrando un error de fase de estado estable bajo. ^[2]

Detector de fase-frecuencia (PFD)

Dinámica del detector de fase-frecuencia

El detector de fase-frecuencia (PFD) se activa mediante los bordes posteriores de las señales de referencia (Ref) y controladas (VCO). La señal de salida del PFD solo puede tener tres estados: 0, y . Un borde posterior de la señal de referencia obliga al PFD a cambiar a un estado superior, a menos que ya esté en el estado . Un borde posterior de la señal VCO obliga al PFD a cambiar a un estado inferior, a menos que ya esté en el estado . Si ambos bordes posteriores ocurren al mismo tiempo, entonces el PFD cambia a cero. ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle +I_{p}}$ ${\displaystyle -I_{p}}$ ${\displaystyle +I_{p}}$ ${\displaystyle -I_{p}}$

Modelos matemáticos de CP-PLL

F. Gardner sugirió un primer modelo matemático lineal de CP-PLL de segundo orden en 1980. ^[2] M. van Paemel sugirió un modelo no lineal sin la sobrecarga del VCO en 1994 ^[3] y luego N. Kuznetsov et al. lo refinaron en 2019. ^[4] El modelo matemático de forma cerrada de CP-PLL que tiene en cuenta la sobrecarga del VCO se deriva en. ^[5]

Estos modelos matemáticos de CP-PLL permiten obtener estimaciones analíticas del rango de retención (un rango máximo del período de la señal de entrada tal que existe un estado bloqueado en el que el VCO no está sobrecargado) y el rango de activación (un rango máximo del período de la señal de entrada dentro del rango de retención tal que para cualquier estado inicial el CP-PLL adquiere un estado bloqueado). ^[6]

Modelo lineal de tiempo continuo del CP-PLL de segundo orden y conjetura de Gardner

El análisis de Gardner se basa en la siguiente aproximación: ^[2] el intervalo de tiempo en el que PFD tiene un estado distinto de cero en cada período de la señal de referencia es

${\displaystyle t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.}$

Entonces, la salida promedio del PFD de la bomba de carga es

${\displaystyle i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi }$

con función de transferencia correspondiente

${\displaystyle I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi }$

Utilizando la función de transferencia de filtro y la función de transferencia VCO se obtiene el modelo promedio aproximado lineal de Gardner de CP-PLL de segundo orden ${\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}}$ ${\displaystyle \theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s}$

${\displaystyle {\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.}$

En 1980, F. Gardner , basándose en el razonamiento anterior, conjeturó que se puede esperar que la respuesta transitoria de los PLL de bombeo de carga prácticos sea casi la misma que la respuesta del PLL clásico equivalente ^{[2] : 1856} ( conjetura de Gardner sobre CP-PLL ^[7] ). Siguiendo los resultados de Gardner, por analogía con la conjetura de Egan sobre el rango de entrada del APLL tipo 2 , Amr M. Fahim conjeturó en su libro ^{[8] : 6} que para tener un rango de entrada (captura) infinito, se debe utilizar un filtro activo para el filtro de bucle en CP-PLL (conjetura de Fahim-Egan sobre el rango de entrada del CP-PLL tipo II).

Modelo no lineal de tiempo continuo del CP-PLL de segundo orden

Sin pérdida de generalidad, se supone que los bordes de salida de las señales VCO y Ref ocurren cuando la fase correspondiente alcanza un número entero. Sea la instancia de tiempo del primer borde de salida de la señal Ref definida como . El estado de PFD está determinado por el estado inicial de PFD , los cambios de fase iniciales de las señales VCO y Ref . ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle i(0)}$ ${\displaystyle i(0-)}$ ${\displaystyle \theta _{vco}(0)}$ ${\displaystyle \theta _{ref}(0)}$

La relación entre la corriente de entrada y el voltaje de salida para un filtro de integración proporcional (PI perfecto) basado en resistencia y capacitor es la siguiente ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle v_{F}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

donde es una resistencia, es una capacitancia y es la carga de un capacitor. La señal de control ajusta la frecuencia del VCO: ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle v_{c}(t)}$ ${\displaystyle v_{F}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}}$

donde es la frecuencia de funcionamiento libre (en reposo) del VCO (es decir, para ), es la ganancia (sensibilidad) del VCO y es la fase del VCO. Finalmente, el modelo matemático no lineal de tiempo continuo de CP-PLL es el siguiente ${\displaystyle \omega _{vco}^{\text{free}}}$ ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv 0}$ ${\displaystyle K_{vco}}$ ${\displaystyle \theta _{vco}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}}$

con la siguiente no linealidad constante discontinua por partes

${\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}}$

y las condiciones iniciales . Este modelo es un sistema no lineal, no autónomo, discontinuo y conmutado. ${\displaystyle {\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}}$

Modelo no lineal de tiempo discreto del CP-PLL de segundo orden

Intervalos de tiempo de la dinámica del PFD

Se supone que la frecuencia de la señal de referencia es constante: donde , y son un período, una frecuencia y una fase de la señal de referencia. Sea . Denote por el primer instante de tiempo tal que la salida PFD se vuelve cero (si , entonces ) y por el primer borde posterior del VCO o Ref. Además, se definen las secuencias crecientes correspondientes y para . Sea . Entonces, para es una constante distinta de cero ( ). Denote por el ancho de pulso PFD (longitud del intervalo de tiempo, donde la salida PFD es una constante distinta de cero), multiplicado por el signo de la salida PFD: es decir, para y para . Si el borde posterior del VCO llega antes que el borde posterior de Ref, entonces y en el caso opuesto tenemos , es decir, muestra cómo una señal se retrasa con respecto a otra. Salida cero de PFD en el intervalo : para . La transformación de variables ^[9] a permite reducir el número de parámetros a dos: Aquí hay un cambio de fase normalizado y es una relación entre la frecuencia del VCO y la frecuencia de referencia . Finalmente, el modelo de tiempo discreto del CP-PLL de segundo orden sin la sobrecarga del VCO ^{[4] [6]} ${\displaystyle \theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},}$ ${\displaystyle T_{ref}}$ ${\displaystyle \omega _{ref}}$ ${\displaystyle \theta _{ref}(t)}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle i(0)=0}$ ${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}=0}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \{t_{k}\}}$ ${\displaystyle \{t_{k}^{\rm {middle}}\}}$ ${\displaystyle k=0,1,2...}$ ${\displaystyle t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ ${\displaystyle {\text{sign}}(i(t))}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle \tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))}$ ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ ${\displaystyle \tau _{k}=0}$ ${\displaystyle t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle \tau _{k}<0}$ ${\displaystyle \tau _{k}>0}$ ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle i(t)\equiv 0}$ ${\displaystyle (t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$ ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv v_{k}}$ ${\displaystyle t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$ ${\displaystyle (\tau _{k},v_{k})}$ ${\displaystyle p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,}$ ${\displaystyle \alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle u_{k}+1}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}}$

Este modelo de tiempo discreto tiene un único estado estable y permite estimar los rangos de retención y atracción. ^[6] ${\displaystyle (u_{k}=0,p_{k}=0)}$

Si el VCO está sobrecargado, es decir, es cero, o lo que es lo mismo: o , entonces se deben tener en cuenta los casos adicionales de la dinámica del CP-PLL. ^[5] Para cualquier parámetro, la sobrecarga del VCO puede ocurrir para una diferencia de frecuencia suficientemente grande entre el VCO y las señales de referencia. En la práctica, la sobrecarga del VCO debe evitarse. ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)}$ ${\displaystyle (p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)}$ ${\displaystyle (p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)}$

Modelos no lineales de CP-PLL de orden superior

La derivación de modelos matemáticos no lineales de CP-PLL de orden superior conduce a ecuaciones de fase trascendentales que no se pueden resolver analíticamente y requieren enfoques numéricos como el método clásico de punto fijo o el enfoque de Newton-Raphson. ^[10]

Referencias

1. EE. UU. US3714463A, Jon M. Laune, "Bomba de carga con detector de fase y/o frecuencia digital", publicado el 30 de enero de 1973 
2. F. Gardner (1980). "Bucles de bloqueo de fase de bombeo de carga". IEEE Transactions on Communications . 28 (11): 1849–1858. Código Bibliográfico :1980ITCom..28.1849G. doi :10.1109/TCOM.1980.1094619.
3. M. van Paemel (1994). "Análisis de un PLL de bomba de carga: un nuevo modelo". IEEE Transactions on Communications . 42 (7): 2490–2498. doi :10.1109/26.297861.
4. N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova y T. Mokaev (2019). "Comentarios sobre el modelo matemático de van Paemel de bucle de enganche de fase de bomba de carga" (PDF) . Ecuaciones diferenciales y procesos de control . 1 : 109–120.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, T. Mokaev (2020). "Bucle de enganche de fase de bomba de carga con detector de fase-frecuencia: modelo matemático de forma cerrada". 1901 (1468). arXiv : 1901.01468 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. NV Kuznetsov, AS Matveev, MV Yuldashev, RV Yuldashev (2020). "Análisis no lineal del bucle de enganche de fase de la bomba de carga: rangos de retención y de activación". Congreso Mundial IFAC . arXiv : 2005.00864 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Kuznetsov, NV; Matveev, AS; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2021). "Análisis no lineal del bucle de enganche de fase de la bomba de carga: rangos de retención y de atracción". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 68 (10): 4049–4061. arXiv : 2005.00864 . doi : 10.1109/TCSI.2021.3101529 .
8. Fahim, Amr M. (2005). Generadores de reloj para procesadores SOC: circuitos y arquitectura . Boston-Dordrecht-Londres: Kluwer Academic Publishers.
9. P. Curran, C. Bi y O. Feely (2013). "Dinámica de bucles de enganche de fase de bombeo de carga". Revista internacional de teoría de circuitos y aplicaciones . 41 (11): 1109–1135. doi : 10.1002/cta.1814 . S2CID  3792988.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. C. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc y G. Benbassat (1999). "Modelado y caracterización del PLL de bombeo de carga de tercer orden: un enfoque totalmente impulsado por eventos". Circuitos integrados analógicos y procesamiento de señales . 19 (1): 25–45. doi :10.1023/A:1008326315191. S2CID  58204942.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)