Prueba de Breusch-Pagan

Prueba estadística

En estadística , la prueba de Breusch-Pagan , desarrollada en 1979 por Trevor Breusch y Adrian Pagan , ^[1] se utiliza para probar la heterocedasticidad en un modelo de regresión lineal . Fue sugerida independientemente con cierta extensión por R. Dennis Cook y Sanford Weisberg en 1983 ( prueba de Cook-Weisberg ). ^[2] Derivada del principio de la prueba del multiplicador de Lagrange , prueba si la varianza de los errores de una regresión depende de los valores de las variables independientes. En ese caso, hay heterocedasticidad.

Formulación

Supongamos que estimamos el modelo de regresión

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x+u,\,}$

y obtener de este modelo ajustado un conjunto de valores para , los residuos. Los mínimos cuadrados ordinarios restringen estos de modo que su media sea 0 y, por lo tanto, dado el supuesto de que su varianza no depende de las variables independientes , se puede obtener una estimación de esta varianza a partir del promedio de los valores al cuadrado de los residuos. Si el supuesto no se cumple, un modelo simple podría ser que la varianza está relacionada linealmente con las variables independientes. Tal modelo se puede examinar haciendo una regresión de los residuos al cuadrado sobre las variables independientes, utilizando una ecuación de regresión auxiliar de la forma ${\displaystyle {\widehat {u}}}$

${\displaystyle {\widehat {u}}^{2}=\gamma _{0}+\gamma _{1}x+v.\,}$

Esta es la base de la prueba de Breusch-Pagan. Es una prueba de chi-cuadrado : el estadístico de prueba se distribuye nχ 2 con k grados de libertad. Si el estadístico de prueba tiene un valor p por debajo de un umbral apropiado (por ejemplo, p  < 0,05), se rechaza la hipótesis nula de homocedasticidad y se supone que existe heterocedasticidad.

Si la prueba de Breusch-Pagan muestra que hay heterocedasticidad condicional, se podrían utilizar mínimos cuadrados ponderados (si se conoce la fuente de la heterocedasticidad) o utilizar errores estándar consistentes con la heterocedasticidad .

Procedimiento

Según los supuestos clásicos, el método de mínimos cuadrados ordinarios es el mejor estimador lineal insesgado (BLUE), es decir, es insesgado y eficiente. Sigue siendo insesgado en condiciones de heterocedasticidad, pero se pierde eficiencia. Antes de decidirse por un método de estimación, se puede realizar la prueba de Breusch-Pagan para examinar la presencia de heterocedasticidad. La prueba de Breusch-Pagan se basa en modelos del tipo de las varianzas de las observaciones donde se explica la diferencia en las varianzas. La hipótesis nula es equivalente a las restricciones de parámetros: ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=h(z_{i}'\gamma )}$ ${\displaystyle z_{i}=(1,z_{2i},\ldots ,z_{pi})}$ ${\displaystyle (p-1)\,}$

${\displaystyle \gamma _{2}=\cdots =\gamma _{p}=0.}$

El siguiente multiplicador de Lagrange (LM) produce la estadística de prueba para la prueba de Breusch-Pagan: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\text{LM}}=\left({\frac {\partial \ell }{\partial \theta }}\right)^{\mathsf {T}}\left(-E\left[{\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \theta \,\partial \theta '}}\right]\right)^{-1}\left({\frac {\partial \ell }{\partial \theta }}\right).}$

Esta prueba se puede implementar mediante el siguiente procedimiento de tres pasos:

• Paso 1 : Aplicar MCO en el modelo

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\beta +\varepsilon _{i},\quad i=1,\dots {},n}$

• Paso 2 : Calcule los residuos de regresión, elévelos al cuadrado y divídalos por la estimación de máxima verosimilitud de la varianza del error de la regresión del paso 1, para obtener lo que Breusch y Pagan llaman : ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle g_{i}={\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}/{\hat {\sigma }}^{2},\quad {\hat {\sigma }}^{2}=\sum {{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}/n}$

• Paso 2 : Estimar la regresión auxiliar

${\displaystyle g_{i}=\gamma _{1}+\gamma _{2}z_{2i}+\cdots +\gamma _{p}z_{pi}+\eta _{i}.}$

donde los términos z normalmente, pero no necesariamente, serán los mismos que las covariables originales  x .

• Paso 3 : La estadística de prueba LM es entonces la mitad de la suma de cuadrados explicada de la regresión auxiliar en el Paso 2:

${\displaystyle {\text{LM}}={\frac {1}{2}}\left({\text{TSS}}-{\text{RSS}}\right).}$

donde TSS es la suma de las desviaciones al cuadrado de la media de 1, y RSS es la suma de los residuos al cuadrado de la regresión auxiliar. La estadística de prueba se distribuye asintóticamente como bajo la hipótesis nula de homocedasticidad y se distribuye normalmente , como lo demostraron Breusch y Pagan en su artículo de 1979. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{p-1}^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Variante robusta

Una variante de esta prueba, robusta en el caso de un término de error no gaussiano , fue propuesta por Roger Koenker . ^[3] En esta variante, la variable dependiente en la regresión auxiliar es simplemente el residuo al cuadrado de la regresión del Paso 1, y la estadística de prueba es de la regresión auxiliar. Como señala Koenker (1981, página 111), si bien la estadística revisada tiene un tamaño asintótico correcto, su potencia "puede ser bastante pobre excepto en condiciones gaussianas idealizadas". ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}$ ${\displaystyle nR^{2}}$

Software

En R , esta prueba se realiza mediante la función ncvTest disponible en el paquete car , ^[4] la función bptest disponible en el paquete lmtest , ^{[5] [6]} la función plmtest disponible en el paquete plm , ^[7] o la función breusch_pagan disponible en el paquete skedastic . ^[8]

En Stata, se especifica la regresión completa y luego se ingresa el comando estat hettestseguido de todas las variables independientes. ^{[9] [10]}

En SAS, Breusch–Pagan se puede obtener utilizando la opción Proc Model.

En Python , hay un método het_breuschpagan en statsmodels.stats.diagnostic (el paquete statsmodels) para la prueba de Breusch-Pagan. ^[11]

En gretl , el comando modtest --breusch-paganse puede aplicar después de una regresión OLS.

Véase también

• Prueba de Glejser
• Prueba de Goldfeld-Quandt
• Prueba de parque
• Prueba blanca

Referencias

1. Breusch, TS ; Pagan, AR (1979). "Una prueba simple para heterocedasticidad y variación aleatoria de coeficientes". Econometrica . 47 (5): 1287–1294. doi :10.2307/1911963. JSTOR  1911963. MR  0545960.
2. Cook, RD ; Weisberg, S. (1983). "Diagnóstico de heterocedasticidad en regresión". Biometrika . 70 (1): 1–10. doi :10.1093/biomet/70.1.1. hdl : 11299/199411 .
3. Koenker, Roger (1981). "Una nota sobre la estudentización de una prueba de heterocedasticidad". Journal of Econometrics . 17 : 107–112. doi :10.1016/0304-4076(81)90062-2.
4. MRAN: ncvTest {coche}
5. Documentación R sobre bptest
6. Kleiber, Christian; Zeileis, Achim (2008). Econometría aplicada con R. Nueva York: Springer. págs. 101-102. ISBN 978-0-387-77316-2.
7. MRAN: plmtest {plm}
8. "skedastic: Diagnóstico de heterocedasticidad para modelos de regresión lineal".
9. "postestimación de regresión — Herramientas de postestimación para regresión" (PDF) . Manual de Stata .
10. Cameron, A. Colin; Trivedi, Pravin K. (2010). Microeconometría con Stata (edición revisada). Stata Press. pág. 97. ISBN 9781597180481– a través de Google Books .
11. "statsmodels.stats.diagnostic.het_breuschpagan - documentación de statsmodels 0.8.0". www.statsmodels.org . Consultado el 16 de noviembre de 2017 .

Lectura adicional

• Gujarati, Damodar N. ; Porter, Dawn C. (2009). Econometría básica (quinta edición). Nueva York: McGraw-Hill Irwin. págs. 385–86. ISBN 978-0-07-337577-9.
• Kmenta, Jan (1986). Elementos de econometría (segunda edición). Nueva York: Macmillan. Págs. 292-298. ISBN. 0-02-365070-2.
• Krämer, W.; Sonnberger, H. (1986). El modelo de regresión lineal bajo prueba. Heidelberg: Physica. pp. 32–39. ISBN 9783642958762.
• Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009). Introducción a la econometría (Cuarta ed.). Chichester: Wiley. págs. 216-218. ISBN 978-0-470-01512-4.