Proyecto: Ley de Kirchhoff-Clausius

Añadiendo la Ley de Kirchhoff-Clausius utilizada por Max Planck para demostrar la universalidad de su ley

En la radiación térmica utilizando óptica geométrica , la ley de Kirchhoff-Clausius recibió el nombre de Gustav Kirchhoff y Rudolf Clausius , quienes publicaron sus hallazgos iniciales en 1862. ^[1] y 1863. ^[2]

La ley de Kirchhoff-Clausius establece que:

"El poder emisivo de los cuerpos perfectamente negros es directamente proporcional al cuadrado del índice de refracción del medio circundante (Kirchoff), y por tanto inversamente proporcional a los cuadrados de las velocidades de propagación en el medio circundante (Clausius)." ^{[3] [4] [5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]}

Con la fórmula:

${\displaystyle I=n^{2}I^{0}}$

(donde = potencia emisiva y n = índice de refracción, todo en el medio circundante, y = potencia emisiva de un cuerpo perfectamente negro en el vacío). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{0}}$

Demostración

Se dan las siguientes definiciones:

A la frecuencia se le llama “ ”, a la longitud de onda “ ” y a la velocidad de la luz “ c ”. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \lambda }$

La cantidad “ ” es la intensidad energética de la radiación isótropa en equilibrio térmico cuya descomposición espectral se obtiene mediante la siguiente integral: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }I_{\nu }\cdot d\nu }$

 Se trata ahora de calcular la intensidad energética en equilibrio térmico en un medio homogéneo e isótropo transparente de índice de refracción n . Esta radiación de equilibrio se establece en una cavidad cerrada ocupada enteramente por el medio considerado y cuyas paredes están a temperatura constante. La misma radiación existirá en el medio que ocupa sólo una parte de la cavidad. Consideremos una cavidad con un medio dado en una parte y el vacío en el resto. La radiación de equilibrio en el medio y el vacío no depende ni de la forma ni de las propiedades de la superficie de separación entre el medio y el vacío. Se puede suponer que esta superficie de separación es plana y perfectamente lisa.

Figura 1.

Figura 1.

 Se considera que el intercambio de energía entre el medio y el vacío sólo resultará de las reflexiones y refracciones de la radiación en la superficie de separación. Este intercambio de energía aplica el principio del equilibrio detallado y no puede alterar el estado de equilibrio entre la radiación en el medio y el vacío. A partir de ahí, se puede establecer una relación entre la intensidad de la radiación en el vacío y las mismas magnitudes en el medio. (Se asigna el índice cero a todas las magnitudes relacionadas con el vacío). ${\displaystyle I^{0}}$ ${\displaystyle I}$

 Para verificar el principio de equilibrio detallado, basta considerar sólo una parte de la radiación total, incluidas las frecuencias entre y . El flujo por unidad de tiempo procedente del vacío, que incide sobre la unidad de área de la superficie de separación, y está contenido en el cono de ángulo sólido donde es el ángulo de incidencia (Figura 1), es: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu +d\nu }$ ${\displaystyle d\Omega _{0}}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$

${\displaystyle \Phi _{1}=I_{\nu }^{0}d\Omega _{0}d\nu \cos(\varphi _{0})}$

Según el principio de equilibrio detallado, un flujo de energía igual debe propagarse en sentido contrario. Esto consta de dos flujos: el primer flujo resulta de la reflexión del flujo y tiene el valor: ${\displaystyle \Phi _{2}}$

${\displaystyle (1-A_{\nu })I_{\nu }^{0}d\Omega _{0}d\nu \cos(\varphi _{0})}$

El segundo resulta de la refracción del flujo del medio ( siendo el coeficiente de poder absorbente para la frecuencia ). Según las fórmulas de Fresnel, los coeficientes de reflexión en la superficie de separación de los rayos que se propagan en direcciones opuestas son iguales; el segundo flujo es, por tanto, igual a: ${\displaystyle \Phi _{3}}$ ${\displaystyle A_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle A_{\nu }I_{\nu }d\Omega d\nu \cos(\varphi _{0})}$

${\displaystyle \varphi }$siendo el ángulo de refracción y el ángulo sólido en el medio, que, después de la refracción, se vuelve igual a . Después de dividir por , se escribe la condición de equilibrio detallada de la siguiente manera: ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle d\Omega _{0}}$ ${\displaystyle d\nu }$

${\displaystyle (1-A_{\nu })I_{\nu }^{0}\cos(\varphi _{0})d\Omega _{0}+A_{\nu }I_{\nu }\cos(\varphi )d\Omega =I_{\nu }^{0}\cos(\varphi _{0})d\Omega _{0}}$

Da:

${\displaystyle I_{\nu }\cos(\varphi )d\Omega =I_{\nu }^{0}\cos(\varphi _{0})d\Omega _{0}}$

Tomemos como ángulo sólido (no mostrado en la Figura 1) delimitado por los conos cuyas generatrices forman los ángulos con la normal a la superficie de separación y ; resulta: ${\displaystyle d\Omega _{0}}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle \varphi _{0}+d\varphi _{0}}$

${\displaystyle d\Omega _{0}=2\pi \sin(\varphi _{0})d\varphi _{0}}$

Asimismo:

${\displaystyle d\Omega =2\pi \sin(\varphi )d\varphi }$

La igualdad (2) ahora se escribe:

${\displaystyle I_{\nu }\cos(\varphi )\sin(\varphi )d\varphi =I_{\nu }^{0}\nu \cos(\varphi _{0})\sin(\varphi _{0})d\varphi _{0}}$

Según la ley de refracción, , y posteriormente: ${\displaystyle \sin(\varphi _{0})=n\sin(\varphi )}$

${\displaystyle \cos(\varphi _{0})d\varphi _{0}=n\cos(\varphi )d\varphi }$

Por lo tanto:

${\displaystyle I_{\nu }\sin(\varphi )=nI_{\nu }^{0}\sin(\varphi _{0})}$

Por lo tanto, por la misma ley de refracción:

${\displaystyle I_{\nu }=n^{2}I_{\nu }^{0}}$

Kirchhoff encontró esta solución en 1860, y Clausius, que la conocía, la encontró en 1863 por otra vía y con otra forma:

${\displaystyle I_{\nu }c_{n}^{2}=I_{\nu }^{0}c^{2}}$

Se llama ley de Kirchhoff-Clausius.

Historia

En 1849, Foucault observó que se producen líneas brillantes donde se encuentra la doble línea D del espectro solar y que esta línea oscura D se produce o se hace más intensa cuando los rayos del sol, o los de uno de los polos incandescentes del carbono, pasan a través del arco luminoso. ^[13] Gustav Kirchhoff descubrió la ley de la radiación térmica en 1859 mientras colaboraba con Robert Bunsen en la Universidad de Heidelberg, donde desarrollaron el espectroscopio moderno. La demostró en 1861 y luego, en 1862, definió el cuerpo negro perfecto. El mismo año, como había notado, como Foucault, que el espectro de la luz solar se amplificaba en la llama del mechero Bunsen, encontró una explicación teórica en la óptica geométrica con una fórmula que daba el coeficiente de amplificación con el cuadrado del índice de refracción ( ) para una nueva ley, que se convertiría en la ley de Kirchhoff-Clausius. ${\displaystyle I'=n^{2}\cdot I}$

En 1863, Rudolf Clausius revisó el estudio de Kirchhoff en el espíritu de la segunda ley de la termodinámica. Para ello, consideró dos cuerpos negros perfectos (a y c) uno al lado del otro y a la misma temperatura, inmersos en dos medios adyacentes diferentes, como el agua y el aire, y radiando uno hacia el otro a diferentes velocidades. Entonces, para respetar la segunda ley, la radiación térmica mutua entre estos dos cuerpos negros debe ser igual, y obtiene una forma diferente de la fórmula: (donde y = potencia emisiva, y y = velocidad de la luz, en cada medio circundante ). Por lo tanto y . Como escribió Clausius, Kirchhoff utilizó solo un cuerpo negro en el vacío y lo radió en otro medio, por lo que tenía un índice de refracción en el vacío de uno. Entonces, para simplificar, se obtiene la forma de Kirchhoff: ${\displaystyle I_{a}\cdot v_{a}^{2}=I_{c}\cdot v_{c}^{2}}$
${\displaystyle I_{a}}$ ${\displaystyle I_{c}}$ ${\displaystyle v_{a}}$ ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle I_{a}\div I_{c}=v_{c}^{2}\div v_{a}^{2}}$ ${\displaystyle I_{a}\div I_{c}=n_{a}^{2}\div n_{c}^{2}}$
${\displaystyle I_{c}=n_{c}^{2}\cdot I_{a}}$

Posteriormente, esta ley se utilizó principalmente en astrofísica, quizás por primera vez por Georges MESLIN en 1872. ^[14]

Marian Smoluchowski de Smolan también lo estudió en 1896 en París ^{[15] [16]}

Sobre todo, se convirtió en un punto crucial en la demostración de Planck de la ley de radiación del cuerpo negro en 1901. Con la ley de Kirchhoff-Clausius, demostró que la densidad de energía emitida por un cuerpo negro es la misma en cualquier medio y es una función universal de su temperatura y frecuencia. Si reemplaza con la densidad de energía , la ley de Kirchhoff-Clausius se convierte en . Entonces, como ( para la longitud de onda) , obtiene . Por lo tanto, la energía de una radiación de equilibrio localizada en un cubo con un borde igual a la longitud de onda es la misma en cualquier medio. ^[9] Además, como también condujo a la relación de Planck-Einstein, se convirtió indirectamente en un punto clave en la demostración de Albert Einstein del efecto fotoeléctrico en 1905. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{c}=n_{c}^{3}\cdot U_{a}}$ ${\displaystyle n_{c}=\lambda _{a}/\lambda _{c}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{c}^{3}U_{c}=\lambda _{a}^{3}U_{a}}$ ${\displaystyle \lambda }$

En 1902, Rudolf Straubel extendió esta ley al plano paralelo a la radiación ^[17] , por lo que a veces se la conoce como ley de Kirchhoff-Clausius-Straubel. ^[18]

Wolfgang Pauli también demostró la ley. ^[19]

E. Schoenberg, en 1929, en su artículo sobre "Fotometría teórica", utilizó la ley. ^[20]

MOLCHANOV, AP, en 1966, aplicó la ley en su curso "Física del Sistema Solar". ^[21] La aplicó para pequeños volúmenes en equilibrio termodinámico local.

Sivoukhine D., en su "Curso de Física General" de 1982, reanuda la demostración de la ley de Planck para la radiación del cuerpo negro, detallando tanto la ley de Kirchhoff-Clausius como las otras leyes, lo cual es poco común. ^[22]

En 1993, un equipo de la Academia de Ciencias de Ucrania citó brevemente la ley en su introducción. ^[23]

En 2014, un artículo de investigación utilizó la ley sobre el tema de la desinfección del agua por UV. ^[24]

Ese mismo año, un artículo de investigación de un equipo que trabajaba en la teoría de la "velocidad variable de la luz " utilizó la ley. ^[12]

También puedes encontrar alguna biografía de Gustav Kirchhoff citando la ley. ^{[25] [26] [27]}

Referencias

1. Kirchhoff, Gustav; Boltzmann, Ludwig (1882). "KIRCHHOFF, GESAMMELT ABHANDLUNGEN". Kirchhoff, Tratados recopilados. Por Ludwig Boltzmann (en alemán). LEIPZIG: Johann Ambrosius BARTH.: 571.
2. Clausius, Rudolf (1867). "La teoría mecánica del calor, con sus aplicaciones a la máquina de vapor y a las propiedades físicas de los cuerpos". Google Books de T. ARCHER HIRST, FRS, 1867. P : 290.
3. Clausius, Rudolf (1867). "La teoría mecánica del calor, con sus aplicaciones a la máquina de vapor y a las propiedades físicas de los cuerpos". Google Books de T. ARCHER HIRST, FRS, 1867. P : 310, 326.
4. Clausius, Rudolf (1879). "Teoría mecánica del calor" (PDF) . Internet Archive Tr. Por Walter R. Browne 1879. P : 315, 330–331.
5. MESLIN, Georges (1872). "Sur le renversement complexe des raies spectrales dans les Couches chromosphériques". Le Journal de physique théorique et appliquée (en francés): 456.
6. Smoluchowski de Smolan, Marian (1896). "Investigaciones sobre una ley de Clausius en el punto de vista de una teoría general de la radiación". J. Física. Teor. Aplica. (en francés): 488. Archivado desde el original el 15 de enero de 2024.
7. Planck, Max (1914). "La teoría de la radiación térmica" (PDF) . Proyecto Gutenberg : 43.
8. NORTHRUP, EDWIN F. (1917). "LEYES DE LA CIENCIA FÍSICA. LIBRO DE REFERENCIA". Filadelfia y Londres, JB Lippincott Company (Libro): 184.
9. SIVOUKHINE, D. (1984). "COURS DE PHYSIQUE GENERALE Tomo IV OPTIQUE Deuxième partie Chapitre X $ 114. Formule de Kirchhoff-Clausius". Ediciones MIR (en francés): 298.
10. HALL, Carl W. (2000). "Leyes y modelos: ciencia, ingeniería y tecnología". Boca Raton CRC Press : 261–262.
11. Sharkov, Eugene A. (2003). "Radiación de cuerpo negro" (PDF) . Teledetección pasiva de la Tierra por microondas: fundamentos físicos . Springer-Praxis books in geophysical sciences. Berlín; Nueva York: Chichester, Reino Unido: Springer; Praxis Pub. p. 210. ISBN 978-3-540-43946-2.
12. Barrow, John D.; Magueijo, João (2014). "Desplazamiento al rojo de cuerpos negros cosmológicos en las teorías de alfa variable de Bekenstein-Sandvik-Barrow-Magueijo". Phys. Rev. D90 (2014) 123506 . 90 (12): 6. arXiv : 1406.1053 . Código Bibliográfico :2014PhRvD..90l3506B. doi :10.1103/PhysRevD.90.123506. S2CID  53700017.
13. Kirchhoff; Bunsen (1860). "Análisis químico por observaciones espectrales". Londres, Edimburgo y Dublín Philosophical Magazine and Journal of Science : 108.
14. MESLIN, Georges (1872). "Sur le renversement complexe des raies spectrales dans les Couches chromosphériques". Le Journal de physique théorique et appliquée (en francés): 454–463.
15. Teske, Andrzej A. "SMOLUCHOWSKI, MARIAN". Enciclopedia.com .
16. Smoluchowski de Smolan, Marian (1896). "Investigaciones sobre una ley de Clausius en el punto de vista de una teoría general de la radiación". J. Física. Teor. Aplica. (en francés): 488-499. Archivado desde el original el 15 de enero de 2024.
17. Straubel, R. (1902). "Sobre un teorema general de óptica geométrica y algunas aplicaciones" (PDF) . Phys. Zeit. 4 (1902-03), 114-117 .
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19. Pauli, Wolfgang (1973). "Óptica y teoría de los electrones". Física . 2 : 12. ISBN. 0-486-41458-2.
20. Schoenberg, E (1967). "Fotometría teórica". Documentos técnicos de la NASA .
21. MOLCHANOV, AP (1966). "FÍSICA DEL SISTEMA SOLAR Volumen 3 de Un curso de astrofísica y astronomía estelar Capítulo IX". Traducción técnica de la NASA . 3 : 187.
22. SIVOUKHINE, D. (1984). "COURS DE PHYSIQUE GENERALE Tomo IV OPTIQUE Deuxième partie Chapitre X $ 114. Formule de Kirchhoff-Clausius". Ediciones MIR (en francés): 289–322.
23. Zagorodnii, A. G; Usenko, AS; Yakimenko, I . P. (1993). "Densidad de energía de radiación térmica en medios transparentes no homogéneos" (PDF) . Jetp 77 . 3 (3): 361. Código Bibliográfico :1993JETP...77..361Z.
24. Ilinsky, Roman; Ulyanov, Andrey (2014). "Tasa de fluencia en fotorreactor UV para desinfección de agua: cilindro de radiación isotrópica". Revista internacional de ingeniería química : 1–13. doi : 10.1155/2014/310720 .
25. Navas, Rosario Domingo (diciembre de 2021). «Kirchhoff, Gustav Robert (1824-1887)». MCN biografias.com .
26. Barlau, Santiago (6 de septiembre de 2023). «Gustav Kirchhoff: biografía, leyes, aportes, obras».
27. Jackson, Lewis (5 de mayo de 2021). «Gustav Kirchhoff: biografía, leyes, contribuciones, obras». warbletoncouncil .