Borrador: Cálculo fraccionario de conjuntos

cálculo fraccionario; operadores fraccionarios; teoría de conjuntos; teoría de grupos; cálculo fraccionario de conjuntos

El cálculo fraccionario de conjuntos (FCS), introducido por primera vez en el artículo titulado "Conjuntos de operadores fraccionarios y estimación numérica del orden de convergencia de una familia de métodos fraccionarios de punto fijo" ^[1] , es una metodología derivada del cálculo fraccionario ^[2] . El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de elementos de cálculo fraccionario utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionarios disponibles. ^{[3] [4] [5]} . Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método fraccionario de Newton-Raphson ^[6] y trabajos relacionados posteriores. ^{[7] [8] [9] [10]} .

Ilustración de algunas líneas generadas por el método fraccionario de Newton-Raphson para la misma condición inicial pero con diferentes órdenes del operador fraccionario implementado. Fuente: Applied Mathematics and Computation ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Colocar Oh incógnita , alfa norte ( yo ) {\displaystyle O_{x,\alpha}^{n}(h)} de operadores fraccionarios

El cálculo fraccionario, una rama de las matemáticas que estudia las derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta aparición se debió en parte a la notación de Leibniz para las derivadas de orden entero: . Gracias a esta notación, L'Hôpital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar una derivada. En ese momento, Leibniz no podía proporcionar una interpretación física o geométrica para esta cuestión, por lo que simplemente respondió a L'Hôpital en una carta que "... es una aparente paradoja de la que, un día, se extraerán consecuencias útiles". ${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}$ ${\displaystyle n={\frac {1}{2}}}$

El nombre "cálculo fraccionario" tiene su origen en una cuestión histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia las derivadas e integrales de un cierto orden . Actualmente, el cálculo fraccionario carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccionaria. En consecuencia, cuando la forma explícita de una derivada fraccionaria no es necesaria, normalmente se la denota de la siguiente manera: ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}$

Los operadores fraccionarios tienen diversas representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional como . Considerando una función escalar y la base canónica de denotada por , se define el siguiente operador fraccionario de orden utilizando la notación de Einstein ^[11] ${\displaystyle \alpha \to n}$ ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}$

Denotando como derivada parcial de orden con respecto al componente -ésimo del vector , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionarios: ${\displaystyle \partial _{k}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ and }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},}$

con su complemento:

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ and }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ for at least one }}k\geq 1\right\}.}$

En consecuencia, se define el siguiente conjunto:

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).}$

Extensión a funciones vectoriales

Para una función , el conjunto se define como: ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},}$

donde denota el componente -ésimo de la función . ${\displaystyle [h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$

Colocar m M O x , α ∞ , u ( h ) {\displaystyle {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)} de operadores fraccionarios

El conjunto de operadores fraccionarios considerando órdenes infinitos se define como:

${\displaystyle {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h):=\bigcap _{k\in \mathbb {Z} }{}_{m}O_{x,\alpha }^{k,u}(h),}$

donde bajo el clásico producto de Hadamard ^[12] , se cumple que:

${\displaystyle o_{x}^{0}\circ h(x):=h(x)\quad \forall o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h).}$

Operadores de matrices fraccionarias

Para cada operador , el operador de matriz fraccionaria se define como: ${\displaystyle o_{x}^{\alpha }}$

${\displaystyle A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })=\left([A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{\alpha }\right),}$

y para cada operador , se puede definir la siguiente matriz, correspondiente a una generalización de la matriz jacobiana ^{[13] :} ${\displaystyle o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)}$

${\displaystyle A_{h,\alpha }:=A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })\circ A_{\alpha }^{T}(h),}$

dónde . ${\displaystyle A_{\alpha }(h):=\left([A_{\alpha }(h)]_{jk}\right)=\left([h]_{k}\right)}$

Producto Hadamard modificado

Considerando que, en general, , se define el siguiente producto de Hadamard modificado: ${\displaystyle o_{x}^{p\alpha }\circ o_{x}^{q\alpha }\neq o_{x}^{(p+q)\alpha }}$

${\displaystyle o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha }:=\left\{{\begin{array}{cl}o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha },&{\text{if }}i\neq j\ ({\text{horizontal type Hadamard product}})\\o_{i,x}^{(p+q)\alpha },&{\text{if }}i=j\ ({\text{vertical type Hadamard product}})\end{array}}\right.,}$

con lo cual se obtiene el siguiente teorema:

Teorema: Grupo abeliano de operadores matriciales fraccionarios

Sea un operador fraccionario tal que . Considerando el producto de Hadamard modificado, se define el siguiente conjunto de operadores matriciales fraccionarios: ${\displaystyle o_{x}^{\alpha }}$ ${\displaystyle o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })):=\left\{A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }(o_{x}^{r\alpha }):r\in \mathbb {Z} \ {\text{ and }}\ A_{\alpha }^{\circ r}=\left([A_{\alpha }^{\circ r}]_{jk}\right):=\left(o_{k}^{r\alpha }\right)\right\},\end{array}}\quad (1)}$

que corresponde al grupo abeliano ^[14] generado por el operador . ${\displaystyle A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })}$

Prueba

Como el conjunto de la ecuación (1) se define aplicando únicamente el producto Hadamard de tipo vertical entre sus elementos, para todo se cumple que: ${\displaystyle A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))}$

${\displaystyle A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=\left([A_{\alpha }^{\circ p}]_{jk}\right)\circ \left([A_{\alpha }^{\circ q}]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{(p+q)\alpha }\right)=\left([A_{\alpha }^{\circ (p+q)}]_{jk}\right)=A_{\alpha }^{\circ (p+q)},}$

con lo cual es posible demostrar que el conjunto (1) satisface las siguientes propiedades de un grupo abeliano:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q},A_{\alpha }^{\circ r}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \left(A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}\right)\circ A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }^{\circ p}\circ \left(A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ r}\right)\\\exists A_{\alpha }^{\circ 0}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{such that}}\ \forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ 0}\circ A_{\alpha }^{\circ p}=A_{\alpha }^{\circ p}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \exists A_{\alpha }^{\circ -p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{such that}}\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ -p}=A_{\alpha }^{\circ 0}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ p}\end{array}}\right..}$

Colocar m S x , α n , γ ( h ) {\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)} de operadores fraccionarios

Sea el conjunto . Si y , entonces se puede definir la siguiente notación multiíndice : ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {N} _{0}^{m}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}\displaystyle \gamma !:=\prod _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k}!,&|\gamma |:=\displaystyle \sum _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k},&\displaystyle x^{\gamma }:=\prod _{k=1}^{m}[x]_{k}^{[\gamma ]_{k}}\end{array}}\\\displaystyle {\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}:={\frac {\partial ^{[\gamma ]_{1}}}{\partial [x]_{1}}}{\frac {\partial ^{[\gamma ]_{2}}}{\partial [x]_{2}}}\cdots {\frac {\partial ^{[\gamma ]_{m}}}{\partial [x]_{m}}}\end{array}}\right..}$

Entonces, considerando una función y el operador fraccionario: ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right):=o_{1}^{\alpha [\gamma ]_{1}}o_{2}^{\alpha [\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{\alpha [\gamma ]_{m}},}$

Se define el siguiente conjunto de operadores fraccionarios:

${\displaystyle S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }=s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right)\ :\ \exists s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)\ {\text{ such that }}\ o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{s}(h)\ \forall s\leq n^{2}\ {\text{ and }}\ \lim _{\alpha \to k}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)={\frac {\partial ^{k\gamma }}{\partial x^{k\gamma }}}h(x)\ \forall \alpha ,|\gamma |\leq n\right\}.}$

De donde se obtienen los siguientes resultados:

${\displaystyle {\text{If }}s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)\ \Rightarrow \ \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{0}o_{2}^{0}\cdots o_{m}^{0}h(x)=h(x)\\\displaystyle \lim _{\alpha \to 1}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{[\gamma ]_{1}}o_{2}^{[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}h(x)\ \forall |\gamma |\leq n\\\displaystyle \lim _{\alpha \to q}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{q[\gamma ]_{1}}o_{2}^{q[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{q[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{q\gamma }}{\partial x^{q\gamma }}}h(x)\ \forall q|\gamma |\leq qn\\\displaystyle \lim _{\alpha \to n}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{n[\gamma ]_{1}}o_{2}^{n[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{n[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{n\gamma }}{\partial x^{n\gamma }}}h(x)\ \forall n|\gamma |\leq n^{2}\end{array}}\right..}$

En consecuencia, considerando una función , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionarios: ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }\ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }\left([h]_{k}\right)\ \forall k\leq m\right\}.}$

Colocar m T x , α ∞ , γ ( a , h ) {\displaystyle {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)} de operadores fraccionarios

Considerando una función y el siguiente conjunto de operadores fraccionarios: ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h):=\lim _{n\to \infty }{}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h).}$

Luego, tomando una bola , es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionarios: ${\displaystyle B(a;\delta )\subset \Omega }$

${\displaystyle {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h):=\left\{t_{x}^{\alpha ,\infty }=t_{x}^{\alpha ,\infty }\left(s_{x}^{\alpha \gamma }\right)\ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in {}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h)\ {\text{ and }}\ t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x):=\sum _{|\gamma |=0}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\right\},}$

lo que permite generalizar la expansión en serie de Taylor de una función vectorial en notación multiíndice. Como consecuencia, se puede obtener el siguiente resultado:

${\displaystyle {\text{If }}t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x)=&\displaystyle {\hat {e}}_{j}[h]_{j}(a)+\sum _{|\gamma |=1}{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\\=&\displaystyle h(a)+\sum _{k=1}^{n}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[h]_{j}(a)\left[(x-a)\right]_{k}+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\end{array}}\right..}$

Método fraccionario de Newton-Raphson

Sea una función con un punto tal que . Entonces, para algún y un operador fraccionario , es posible definir un tipo de aproximación lineal de la función en torno a la siguiente forma: ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \xi \in \Omega }$ ${\displaystyle \|f(\xi )\|=0}$ ${\displaystyle x_{i}\in B(\xi ;\delta )\subset \Omega }$ ${\displaystyle t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(x_{i},f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\sum _{k=1}^{m}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\left[(x-x_{i})\right]_{k},}$

que puede expresarse de forma más compacta como:

${\displaystyle t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(x-x_{i}),}$

donde denota una matriz cuadrada. Por otra parte, como y dado que , se infiere lo siguiente: ${\displaystyle \left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)}$ ${\displaystyle x\to \xi }$ ${\displaystyle \|f(\xi )\|=0}$

${\displaystyle 0\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(\xi -x_{i})\quad \Rightarrow \quad \xi \approx x_{i}-\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)^{-1}f(x_{i}).}$

En consecuencia, definiendo la matriz:

${\displaystyle A_{f,\alpha }(x)=\left([A_{f,\alpha }]_{jk}(x)\right):=\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x)\right)^{-1},}$

Se puede definir el siguiente método iterativo fraccional:

${\displaystyle x_{i+1}:=\Phi (\alpha ,x_{i})=x_{i}-A_{f,\alpha }(x_{i})f(x_{i}),\quad i=0,1,2,\cdots ,}$

que corresponde al caso más general del método fraccionario de Newton-Raphson .

Ilustración de algunas líneas generadas por el método fraccionario de Newton-Raphson para la misma condición inicial pero con diferentes órdenes del operador fraccionario implementado. El método fraccionario de Newton-Raphson suele generar líneas que no son tangentes a la función cuyos ceros se buscan, a diferencia del método clásico de Newton-Raphson. Fuente: MDPI ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$

El uso de operadores fraccionarios en métodos de punto fijo ha sido ampliamente estudiado y citado en varias fuentes académicas. Se pueden encontrar ejemplos de esto en varios artículos publicados en revistas de prestigio, como los que aparecen en ScienceDirect ^{[15] [16]} , Springer ^[17] , World Scientific ^[18] y MDPI ^{[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26]} . También se incluyen estudios de Taylor & Francis (Tandfonline) ^[27] , Cubo ^[28] , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas ^[29] , Journal of Research and Creativity ^[30] , MQR ^[31] y Актуальные вопросы науки и техники ^[32] . Estos trabajos resaltan la relevancia y aplicabilidad de los operadores fraccionarios en la resolución de problemas.

Referencias

1. Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. (29 de diciembre de 2021). "Conjuntos de operadores fraccionarios y estimación numérica del orden de convergencia de una familia de métodos fraccionarios de punto fijo". Fractal y Fraccional . 5 (4): 240. doi : 10.3390/fractalfract5040240 .
2. Hilfer, Rudolf (2 de marzo de 2000). Aplicaciones del cálculo fraccionario en física. World Scientific. ISBN 978-981-4496-20-9.
3. de Oliveira, Edmundo Capelas; Tenreiro Machado, José António (10 de junio de 2014). "Una revisión de las definiciones de derivadas fraccionarias e integrales". Problemas Matemáticos en Ingeniería . 2014 : e238459. doi : 10.1155/2014/238459 .
4. Sales Teodoro, G.; Tenreiro Machado, JA; Capelas de Oliveira, E. (29 de julio de 2019). "Una revisión de las definiciones de derivadas fraccionarias y otros operadores". Journal of Computational Physics . 388 : 195–208. Bibcode :2019JCoPh.388..195S. doi :10.1016/j.jcp.2019.03.008.
5. Valerio, Duarte; Ortigueira, Manuel D.; Lopes, António M. (29 de enero de 2022). "¿Cuántas derivadas fraccionarias hay?". Matemáticas . 10 (5): 737. doi : 10.3390/math10050737 .
6. Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. (2021). "Método fraccionario de Newton-Raphson". Applied Mathematics and Sciences an International Journal (Mathsj) . 8 : 1–13. doi :10.5121/mathsj.2021.8101.
7. Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Montufar-Chaveznava, R. (29 de septiembre de 2022). "Aceleración del orden de convergencia de una familia de métodos de punto fijo fraccionarios y su implementación en la solución de un sistema algebraico no lineal relacionado con receptores solares híbridos". Matemáticas Aplicadas y Computación . 429 : 127231. arXiv : 2109.03152 . doi :10.1016/j.amc.2022.127231. hdl :10230/60337.
8. Torres-Hernandez, A. (2022). "Código de un método cuasi-Newton fraccionario multidimensional con un orden de convergencia al menos cuadrático utilizando programación recursiva". Applied Mathematics and Sciences an International Journal (MathSJ) . 9 : 17–24. doi :10.5121/mathsj.2022.9103.
9. Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Ramirez-Melendez, R. (2022). "Conjuntos de operadores fraccionarios y algunas de sus aplicaciones". Teoría de operadores: avances recientes, nuevas perspectivas y aplicaciones .
10. Torres-Hernandez, Anthony; Brambila-Paz, Fernando; Ramirez-Melendez, Rafael (enero de 2024). "Propuesta para el uso de la derivada fraccionaria de funciones radiales en problemas de interpolación". Fractal and Fractional . 8 (1): 16. doi : 10.3390/fractalfract8010016 . ISSN  2504-3110.
11. Suma de Einstein para matrices multidimensionales
12. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). El producto Hadamard. Cambridge University Press. pág. 87. ISBN 978-0-8218-0154-3.
13. Turner, AM; Weir, AD (abril de 1965). "Jacobianos de transformación de matrices y funciones de argumentos matriciales". Mathematische Annalen . 159 (1): 76–84. doi :10.1007/BF01360282.
14. Arnold, David (2015). Grupos abelianos. Springer Monographs in Mathematics. Springer. doi :10.1007/978-3-319-19422-6. ISBN 978-3-319-19422-6.
15. Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S. (2024). "Esquema numérico de tipo Caputo fraccional difuso para resolver ecuaciones no lineales difusas". Ecuaciones diferenciales fraccionarias . págs. 167–175. doi :10.1016/B978-0-44-315423-2.00016-3. ISBN 978-0-443-15423-2.
16. Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Edalatpanah, SA (2024). "Esquema simultáneo de tipo Caputo fraccionario para hallar todas las raíces polinómicas". Tendencias recientes en cálculo fraccionario y sus aplicaciones . págs. 261–272. doi :10.1016/B978-0-44-318505-2.00021-0. ISBN 978-0-443-18505-2.
17. Al-Nadhari, AM; Abderrahmani, S.; Hamadi, D.; Legouirah, M. (2024). "El método de análisis no lineal geométrico eficiente para estructuras de ingeniería civil". Revista asiática de ingeniería civil . 25 (4): 3565–3573. doi :10.1007/s42107-024-00996-z.
18. Shams, M.; Kausar, N.; Samaniego, C.; Agarwal, P.; Ahmed, SF; Momani, S. (2023). "Sobre un esquema simultáneo de tipo Caputo fraccional eficiente para encontrar todas las raíces de ecuaciones polinómicas con aplicaciones en ingeniería biomédica". Fractales . 31 (4): 2340075–2340085. Bibcode :2023Fract..3140075S. doi :10.1142/S0218348X23400753.
19. Wang, X.; Jin, Y.; Zhao, Y. (2021). "Métodos iterativos sin derivadas con algunos parámetros de aceleración de tipo Kurchatov para resolver sistemas no lineales". Simetría . 13 (6): 943. Bibcode :2021Symm...13..943W. doi : 10.3390/sym13060943 .
20. Tverdyi, D.; Parovik, R. (2021). "Investigación de esquemas de diferencias finitas para la solución numérica de una ecuación no lineal fraccionaria". Fractal y fraccionario . 6 (1): 23. doi : 10.3390/fractalfract6010023 .
21. Tverdyi, D.; Parovik, R. (2022). "Aplicación de la ecuación de Riccati fraccionaria para el modelado matemático de procesos dinámicos con saturación y efecto memoria". Fractal y Fraccional . 6 (3): 163. doi : 10.3390/fractalfract6030163 .
22. Srivastava, HM (2023). "Editorial para el número especial "Operadores del cálculo fraccionario y sus aplicaciones multidisciplinarias"". Fractal y fraccionario . 7 (5): 415. doi : 10.3390/fractalfract7050415 .
23. Shams, M.; Carpentieri, B. (2023). "Esquemas simultáneos basados ​​en redes neuronales fraccionarias inversas eficientes para aplicaciones de ingeniería no lineal". Fractal and Fractional . 7 (12): 849. doi : 10.3390/fractalfract7120849 .
24. Candelario, G.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vassileva, MP (2023). "Resolución de ecuaciones trascendentales no lineales mediante métodos iterativos con derivadas conformes: un enfoque general". Matemáticas . 11 (11): 2568. doi : 10.3390/math11112568 .
25. Shams, M.; Carpentieri, B. (2023). "Sobre un método numérico fraccionario de alta eficiencia para resolver modelos de ingeniería no lineal". Matemáticas . 11 (24): 4914. doi : 10.3390/math11244914 .
26. Martínez, F.; Kaabar, MKA; Martínez, I. (2024). "Resultados novedosos sobre polinomios de Legendre en el sentido de una derivada fraccionaria generalizada". Aplicaciones matemáticas y computacionales . 29 (4): 54. doi : 10.3390/mca29040054 .
27. Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S.; Salman, MA; Shah, MA (2023). "Sobre la familia del esquema numérico fraccionario de tipo Caputo para resolver ecuaciones polinómicas". Matemáticas Aplicadas en Ciencia e Ingeniería . 31 (1): 2181959. doi :10.1080/27690911.2023.2181959.
28. Nayak, SK; Parida, PK (2024). "Análisis de convergencia global del método fraccional de Caputo de Whittaker con aplicaciones en el mundo real". Cubo (Temuco) . 26 (1): 167–190. doi :10.56754/0719-0646.2601.167.
29. Rebollar-Rebollar, S.; Martínez-Damián, M.Á.; Hernández-Martínez, J.; Hernández-Aguirre, P. (2021). "Óptimo económico en una función Cobb-Douglas bivariada: una aplicación a ganadería de carne semi extensiva". Revista mexicana de ciencias agrícolas . 12 (8): 1517-1523. doi :10.29312/remexca.v12i8.2915.
30. Mogro, MF; Jácome, FA; Cruz, GM; Zurita, JR (2024). "Línea de clasificación asistida por un manipulador robótico y visión artificial con seguridad activa". Journal of Robotics and Control (JRC) . 5 (2): 388–396. doi :10.18196/jrc.v5i2.20327 (inactivo 2024-09-20).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
31. Luna-Fox, SB; Uvidia-Armijo, JH; Uvidia-Armijo, LA; Romero-Medina, WY (2024). "Exploración comparativa de los métodos numéricos de Newton-Raphson y bisección para la resolución de ecuaciones no lineales". MQRInvestigar . 8 (2): 642–655. doi :10.56048/MQR20225.8.2.2024.642-655.
32. Tvyordyj, DA; Parovik, RI (2022). "Modelado matemático en MATLAB de ciclos de actividad solar según el crecimiento-declive del número de Wolf". Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki . 41 (4): 47–64. doi :10.26117/2079-6641-2022-41-4-47-65 (inactivo 2024-09-20).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)