cálculo fraccionario; operadores fraccionarios; teoría de conjuntos; teoría de grupos; cálculo fraccionario de conjuntos
El cálculo fraccionario de conjuntos (FCS), introducido por primera vez en el artículo titulado "Conjuntos de operadores fraccionarios y estimación numérica del orden de convergencia de una familia de métodos fraccionarios de punto fijo" [1] , es una metodología derivada del cálculo fraccionario [2] . El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de elementos de cálculo fraccionario utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionarios disponibles. [3] [4] [5] . Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método fraccionario de Newton-Raphson [6] y trabajos relacionados posteriores. [7] [8] [9] [10] .
Colocar Oh incógnita , alfa norte ( yo ) {\displaystyle O_{x,\alpha}^{n}(h)}
de operadores fraccionarios
El cálculo fraccionario, una rama de las matemáticas que estudia las derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta aparición se debió en parte a la notación de Leibniz para las derivadas de orden entero: . Gracias a esta notación, L'Hôpital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar una derivada. En ese momento, Leibniz no podía proporcionar una interpretación física o geométrica para esta cuestión, por lo que simplemente respondió a L'Hôpital en una carta que "... es una aparente paradoja de la que, un día, se extraerán consecuencias útiles".
El nombre "cálculo fraccionario" tiene su origen en una cuestión histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia las derivadas e integrales de un cierto orden . Actualmente, el cálculo fraccionario carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccionaria. En consecuencia, cuando la forma explícita de una derivada fraccionaria no es necesaria, normalmente se la denota de la siguiente manera:
Los operadores fraccionarios tienen diversas representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional como . Considerando una función escalar y la base canónica de denotada por , se define el siguiente operador fraccionario de orden utilizando la notación de Einstein [11]
Denotando como derivada parcial de orden con respecto al componente -ésimo del vector , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionarios:
con su complemento:
En consecuencia, se define el siguiente conjunto:
Extensión a funciones vectoriales
Para una función , el conjunto se define como:
donde denota el componente -ésimo de la función .
Colocar m M O x , α ∞ , u ( h ) {\displaystyle {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)}
de operadores fraccionarios
El conjunto de operadores fraccionarios considerando órdenes infinitos se define como:
Para cada operador , el operador de matriz fraccionaria se define como:
y para cada operador , se puede definir la siguiente matriz, correspondiente a una generalización de la matriz jacobiana [13] :
dónde .
Producto Hadamard modificado
Considerando que, en general, , se define el siguiente producto de Hadamard modificado:
con lo cual se obtiene el siguiente teorema:
Teorema: Grupo abeliano de operadores matriciales fraccionarios
Sea un operador fraccionario tal que . Considerando el producto de Hadamard modificado, se define el siguiente conjunto de operadores matriciales fraccionarios:
que corresponde al grupo abeliano [14] generado por el operador .
Prueba
Como el conjunto de la ecuación (1) se define aplicando únicamente el producto Hadamard de tipo vertical entre sus elementos, para todo se cumple que:
con lo cual es posible demostrar que el conjunto (1) satisface las siguientes propiedades de un grupo abeliano:
Colocar m S x , α n , γ ( h ) {\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)}
de operadores fraccionarios
Entonces, considerando una función y el operador fraccionario:
Se define el siguiente conjunto de operadores fraccionarios:
De donde se obtienen los siguientes resultados:
En consecuencia, considerando una función , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionarios:
Colocar m T x , α ∞ , γ ( a , h ) {\displaystyle {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)}
de operadores fraccionarios
Considerando una función y el siguiente conjunto de operadores fraccionarios:
Luego, tomando una bola , es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionarios:
lo que permite generalizar la expansión en serie de Taylor de una función vectorial en notación multiíndice. Como consecuencia, se puede obtener el siguiente resultado:
Método fraccionario de Newton-Raphson
Sea una función con un punto tal que . Entonces, para algún y un operador fraccionario , es posible definir un tipo de aproximación lineal de la función en torno a la siguiente forma:
que puede expresarse de forma más compacta como:
donde denota una matriz cuadrada. Por otra parte, como y dado que , se infiere lo siguiente:
En consecuencia, definiendo la matriz:
Se puede definir el siguiente método iterativo fraccional:
El uso de operadores fraccionarios en métodos de punto fijo ha sido ampliamente estudiado y citado en varias fuentes académicas. Se pueden encontrar ejemplos de esto en varios artículos publicados en revistas de prestigio, como los que aparecen en ScienceDirect [15] [16] , Springer [17] , World Scientific [18] y MDPI [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] . También se incluyen estudios de Taylor & Francis (Tandfonline) [27] , Cubo [28] , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas [29] , Journal of Research and Creativity [30] , MQR [31] y Актуальные вопросы науки и техники [32] . Estos trabajos resaltan la relevancia y aplicabilidad de los operadores fraccionarios en la resolución de problemas.
Referencias
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