Ecuación de Born-Landé

Fórmula para la energía reticular

La ecuación de Born-Landé es un método para calcular la energía reticular de un compuesto iónico cristalino . En 1918 ^[1] Max Born y Alfred Landé propusieron que la energía reticular podía derivarse del potencial electrostático de la red iónica y de un término de energía potencial repulsiva. ^[2]

${\displaystyle E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}$

Dónde:

• E = La energía reticular.
• N _A = Constante de Avogadro ;
• M = Constante de Madelung , relativa a la geometría del cristal;
• z ⁺ = número de carga numérica del catión
• z ⁻ = número de carga numérica del anión
• e = carga elemental , 1,6022 × 10 ⁻¹⁹ C
• ε ₀ = permitividad del espacio libre

  4π ε ₀ = 1.112 × 10 ⁻¹⁰ C ² /(J·m)

• r ₀ = distancia entre el catión [+ve] y el anión [-ve] más cercanos.
• n = exponente de Born, normalmente un número entre 5 y 12, determinado experimentalmente midiendo la compresibilidad del sólido o derivado teóricamente.

Derivación

La red iónica se modela como un conjunto de esferas elásticas duras que se comprimen entre sí por la atracción mutua de las cargas electrostáticas sobre los iones. Alcanzan la distancia de equilibrio observada entre ellas gracias a una repulsión de corto alcance que las equilibra.

Potencial electrostático

La energía potencial electrostática, E _par , entre un par de iones de carga igual y opuesta es:

${\displaystyle E_{\text{pair}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

dónde

z = magnitud de la carga en un ion

e = carga elemental, 1,6022 × 10 ⁻¹⁹ C

ε ₀ = permitividad del espacio libre

4 π ε ₀ = 1.112 × 10 ⁻¹⁰ C ² /(J·m)

r = distancia que separa los centros iónicos

Para una red simple que consta de iones con carga igual y opuesta en una proporción de 1:1, las interacciones entre un ion y todos los demás iones de la red deben sumarse para calcular E _M , a veces llamada Madelung o energía de red:

${\displaystyle E_{\text{M}}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

dónde

M = Constante de Madelung , que está relacionada con la geometría del cristal.

r = distancia más cercana entre dos iones de carga opuesta

Término repulsivo

Born y Lande sugirieron que una interacción repulsiva entre los iones de la red sería proporcional a ⁠1/rn^​⁠ de modo que el término de energía repulsiva, E _R , se expresaría:

${\displaystyle E_{\text{R}}={\frac {B}{r^{n}}}}$

dónde

B = escala constante de la fuerza de la interacción repulsiva

r = distancia más cercana entre dos iones de carga opuesta

n = exponente de Born, un número entre 5 y 12 que expresa la inclinación de la barrera repulsiva

Energía total

Por lo tanto, la energía potencial intensiva total de un ion en la red se puede expresar como la suma de los potenciales de Madelung y repulsivo:

${\displaystyle E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n}}}}$

Al minimizar esta energía con respecto a r se obtiene la separación de equilibrio r ₀ en términos de la constante desconocida B :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}n}}r_{0}^{n-1}\end{aligned}}}$

Evaluando la energía potencial intensiva mínima y sustituyendo la expresión para B en términos de r ₀ se obtiene la ecuación de Born-Landé:

${\displaystyle E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}$

Energías reticulares calculadas

La ecuación de Born-Landé da una idea de la energía reticular de un sistema. ^[2]

Nacido exponente

El exponente de Born suele estar entre 5 y 12. A continuación se enumeran los valores experimentales aproximados: ^[3]

Véase también

• Ecuación de Kapustinski
• Ecuación de Born-Mayer

Referencias

1. Brown, I. David (2002). El enlace químico en la química inorgánica: el modelo de enlace de valencia (Reimpresión. ed.). Nueva York: Oxford University Press . ISBN 0-19-850870-0.
2. Johnson, Open University; RSC; editado por David (2002). Metales y cambio químico (1.ª ed. publ.). Cambridge: Royal Society of Chemistry . ISBN 0-85404-665-8. {{cite book}}: |first=tiene nombre genérico ( ayuda )Mantenimiento de CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
3. "Energía reticular" (PDF) .