Bucle de bloqueo de fase de la bomba de carga

PLL de bomba de carga

El bucle de bloqueo de fase de la bomba de carga (CP-PLL) es una modificación de los bucles de bloqueo de fase con detectores de frecuencia de fase y señales de forma de onda cuadrada. ^[1] Un CP-PLL permite un bloqueo rápido de la fase de la señal entrante, logrando un error de fase bajo en estado estable. ^[2]

Detector de frecuencia de fase (PFD)

Dinámica del detector de frecuencia de fase.

El detector de frecuencia de fase (PFD) se activa mediante los flancos de salida de las señales de referencia (Ref) y controladas (VCO). La señal de salida de PFD solo puede tener tres estados: 0 , y . Un flanco posterior de la señal de referencia obliga al PFD a cambiar a un estado superior, a menos que ya esté en el estado . Un flanco posterior de la señal VCO obliga al PFD a cambiar a un estado inferior, a menos que ya esté en el estado . Si ambos bordes de salida ocurren al mismo tiempo, entonces el PFD cambia a cero. ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle +I_{p}}$ ${\displaystyle -I_{p}}$ ${\displaystyle +I_{p}}$ ${\displaystyle -I_{p}}$

Modelos matemáticos de CP-PLL

F. Gardner sugirió un primer modelo matemático lineal de CP-PLL de segundo orden en 1980. ^[2] M. van Paemel sugirió un modelo no lineal sin sobrecarga de VCO en 1994 ^[3] y luego lo perfeccionó N. Kuznetsov. et al. en 2019. ^[4] Se deriva el modelo matemático de forma cerrada de CP-PLL teniendo en cuenta la sobrecarga de VCO. ^[5]

Estos modelos matemáticos de CP-PLL permiten obtener estimaciones analíticas del rango de retención (un rango máximo del período de la señal de entrada tal que existe un estado bloqueado en el que el VCO no está sobrecargado) y el rango de entrada (un rango máximo del período de la señal de entrada dentro del rango de retención de modo que para cualquier estado inicial el CP-PLL adquiera un estado bloqueado). ^[6]

Modelo lineal de tiempo continuo de CP-PLL de segundo orden y conjetura de Gardner

El análisis de Gardner se basa en la siguiente aproximación: ^[2] el intervalo de tiempo en el que PFD tiene un estado distinto de cero en cada período de la señal de referencia es

${\displaystyle t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.}$

Entonces, la salida promedio del PFD de la bomba de carga es

${\displaystyle i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi }$

con la función de transferencia correspondiente

${\displaystyle I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi }$

Usando la función de transferencia de filtro y la función de transferencia VCO se obtiene el modelo promedio lineal aproximado de Gardner de CP-PLL de segundo orden ${\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}}$ ${\displaystyle \theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s}$

${\displaystyle {\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.}$

En 1980, F. Gardner , basándose en el razonamiento anterior, conjeturó que se puede esperar que la respuesta transitoria de los PLL de bombas de carga prácticas sea casi la misma que la respuesta del PLL clásico equivalente ^{[2] : 1856} ( la conjetura de Gardner sobre CP- PLL ^[7] ). Siguiendo los resultados de Gardner, por analogía con la conjetura de Egan sobre el rango de atracción del APLL tipo 2 , Amr M. Fahim conjeturó en su libro ^{[8] : 6} que para tener un rango de atracción (captura) infinito, un Se debe utilizar un filtro activo para el filtro de bucle en CP-PLL (conjetura de Fahim-Egan sobre el rango de entrada del CP-PLL tipo II).

Modelo no lineal de tiempo continuo de CP-PLL de segundo orden

Sin pérdida de generalidad, se supone que los flancos de salida de las señales VCO y Ref se producen cuando la fase correspondiente alcanza un número entero. Dejemos que la instancia de tiempo del primer flanco de salida de la señal Ref se defina como . El estado de PFD está determinado por el estado inicial de PFD , los cambios de fase iniciales de las señales VCO y Ref . ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle i(0)}$ ${\displaystyle i(0-)}$ ${\displaystyle \theta _{vco}(0)}$ ${\displaystyle \theta _{ref}(0)}$

La relación entre la corriente de entrada y el voltaje de salida para un filtro proporcionalmente integrador (PI perfecto) basado en resistencia y capacitor es la siguiente ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle v_{F}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

donde es una resistencia, es una capacitancia y es una carga de capacitor. La señal de control ajusta la frecuencia VCO: ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle v_{c}(t)}$ ${\displaystyle v_{F}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}}$

donde es la frecuencia libre (inactiva) del VCO (es decir, para ), es la ganancia (sensibilidad) del VCO y es la fase del VCO. Finalmente, el modelo matemático no lineal de tiempo continuo de CP-PLL es el siguiente ${\displaystyle \omega _{vco}^{\text{free}}}$ ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv 0}$ ${\displaystyle K_{vco}}$ ${\displaystyle \theta _{vco}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}}$

con la siguiente no linealidad constante discontinua por partes

${\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}}$

y las condiciones iniciales . Este modelo es un sistema de conmutación no lineal, no autónomo y discontinuo. ${\displaystyle {\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}}$

Modelo no lineal en tiempo discreto del CP-PLL de segundo orden

Intervalos de tiempo de la dinámica del PFD.

Se supone que la frecuencia de la señal de referencia es constante: donde , y son un período, una frecuencia y una fase de la señal de referencia. Dejar . Denote por el primer instante de tiempo tal que la salida del PFD se vuelve cero (si , entonces ) y por el primer flanco de salida del VCO o Ref. Además se definen las secuencias crecientes correspondientes y para . Dejar . Entonces para the es una constante distinta de cero ( ). Denote por el ancho del pulso PFD (longitud del intervalo de tiempo, donde la salida PFD es una constante distinta de cero), multiplicado por el signo de la salida PFD: es decir, for y for . Si el flanco de salida del VCO llega antes que el flanco de salida de Ref, entonces y en el caso contrario tenemos , es decir, muestra cómo una señal va por detrás de otra. Salida cero de PFD en el intervalo : para . La transformación de variables ^[9] permite reducir el número de parámetros a dos: Aquí hay un cambio de fase normalizado y es una relación entre la frecuencia VCO y la frecuencia de referencia . Finalmente, el modelo de tiempo discreto de CP-PLL de segundo orden sin sobrecarga de VCO ^{[4] [6]} ${\displaystyle \theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},}$ ${\displaystyle T_{ref}}$ ${\displaystyle \omega _{ref}}$ ${\displaystyle \theta _{ref}(t)}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle i(0)=0}$ ${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}=0}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \{t_{k}\}}$ ${\displaystyle \{t_{k}^{\rm {middle}}\}}$ ${\displaystyle k=0,1,2...}$ ${\displaystyle t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ ${\displaystyle {\text{sign}}(i(t))}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle \tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))}$ ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ ${\displaystyle \tau _{k}=0}$ ${\displaystyle t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle \tau _{k}<0}$ ${\displaystyle \tau _{k}>0}$ ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle i(t)\equiv 0}$ ${\displaystyle (t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$ ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv v_{k}}$ ${\displaystyle t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$ ${\displaystyle (\tau _{k},v_{k})}$ ${\displaystyle p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,}$ ${\displaystyle \alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle u_{k}+1}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}}$

Este modelo de tiempo discreto tiene el único estado estable y permite estimar los rangos de retención y tracción. ^[6] ${\displaystyle (u_{k}=0,p_{k}=0)}$

Si el VCO está sobrecargado, es decir, es cero, o lo que es lo mismo: o , entonces hay que tener en cuenta los casos adicionales de la dinámica CP-PLL. ^[5] Para cualquier parámetro, la sobrecarga del VCO puede ocurrir para una diferencia de frecuencia suficientemente grande entre el VCO y las señales de referencia. En la práctica se debe evitar la sobrecarga del VCO. ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)}$ ${\displaystyle (p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)}$ ${\displaystyle (p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)}$

Modelos no lineales de CP-PLL de alto orden.

La derivación de modelos matemáticos no lineales de CP-PLL de alto orden conduce a ecuaciones de fase trascendentales que no pueden resolverse analíticamente y requieren enfoques numéricos como el método clásico del punto fijo o el enfoque de Newton-Raphson. ^[10]

Referencias

1. EE.UU. US3714463A, Jon M. Laune, "Bomba de carga del detector de fase y/o frecuencia digital", publicado el 30 de enero de 1973 
2. F. Gardner (1980). "Bucles de bloqueo de fase de la bomba de carga". Transacciones IEEE sobre Comunicaciones . 28 (11): 1849–1858. Código Bib : 1980ITCom..28.1849G. doi :10.1109/TCOM.1980.1094619.
3. M. van Paemel (1994). "Análisis de una bomba de carga pll: un nuevo modelo". Transacciones IEEE sobre Comunicaciones . 42 (7): 2490–2498. doi : 10.1109/26.297861.
4. N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova y T. Mokaev (2019). "Comentarios sobre el modelo matemático de van Paemel del bucle de bloqueo de fase de la bomba de carga" (PDF) . Ecuaciones Diferenciales y Procesos de Control . 1 : 109-120.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, T. Mokaev (2020). "Lazo de bloqueo de fase de la bomba de carga con detector de frecuencia de fase: modelo matemático de forma cerrada". 1901 (1468). arXiv : 1901.01468 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. NV Kuznetsov, AS Matveev, MV Yuldashev, RV Yuldashev (2020). "Análisis no lineal del bucle de bloqueo de fase de la bomba de carga: los rangos de retención y tracción". Congreso Mundial de la IFAC . arXiv : 2005.00864 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Kuznetsov, Nevada; Matveev, AS; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2021). "Análisis no lineal del bucle de bloqueo de fase de la bomba de carga: los rangos de retención y tracción". Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas I: artículos habituales . 68 (10): 4049–4061. arXiv : 2005.00864 . doi : 10.1109/TCSI.2021.3101529 .
8. Fahim, Amr M. (2005). Generadores de reloj para procesadores SOC: circuitos y arquitectura . Boston-Dordrecht-Londres: Kluwer Academic Publishers.
9. P. Curran, C. Bi y O. Feely (2013). "Dinámica de bucles de bloqueo de fase de bomba de carga". Revista internacional de teoría y aplicaciones de circuitos . 41 (11): 1109-1135. doi : 10.1002/cta.1814 . S2CID  3792988.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. C. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc y G. Benbassat (1999). "Modelado y caracterización del PLL de la bomba de carga de tercer orden: un enfoque totalmente basado en eventos". Circuitos integrados analógicos y procesamiento de señales . 19 (1): 25–45. doi :10.1023/A:1008326315191. S2CID  58204942.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)