Método de Bogacki-Shampine

El método de Bogacki-Shampine es un método para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias , que fue propuesto por Przemysław Bogacki y Lawrence F. Shampine en 1989 (Bogacki & Shampine 1989). El método de Bogacki-Shampine es un método de Runge-Kutta de orden tres con cuatro etapas con la propiedad First Same As Last (FSAL), de modo que utiliza aproximadamente tres evaluaciones de función por paso. Tiene un método de segundo orden incorporado que se puede utilizar para implementar un tamaño de paso adaptativo . El método de Bogacki-Shampine se implementa en el ode3solucionador de pasos fijos y ode23en una función de solucionador de pasos variables en MATLAB (Shampine & Reichelt 1997).

Los métodos de orden bajo son más adecuados que los de orden superior, como el método Dormand-Prince de orden cinco, si solo se requiere una aproximación rudimentaria a la solución. Bogacki y Shampine sostienen que su método supera a otros métodos de tercer orden con un método incorporado de orden dos.

La tabla de Butcher para el método Bogacki-Shampine es:

Siguiendo la notación estándar, la ecuación diferencial a resolver es . Además, denota la solución numérica en el tiempo y es el tamaño del paso, definido por . Entonces, un paso del método de Bogacki-Shampine viene dado por: ${\displaystyle y'=f(t,y)}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}=t_{n+1}-t_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n})\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n}k_{1})\\k_{3}&=f(t_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n}k_{2})\\y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {2}{9}}h_{n}k_{1}+{\tfrac {1}{3}}h_{n}k_{2}+{\tfrac {4}{9}}h_{n}k_{3}\\k_{4}&=f(t_{n}+h_{n},y_{n+1})\\z_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {7}{24}}h_{n}k_{1}+{\tfrac {1}{4}}h_{n}k_{2}+{\tfrac {1}{3}}h_{n}k_{3}+{\tfrac {1}{8}}h_{n}k_{4}.\end{aligned}}}$

Aquí, es una aproximación de segundo orden a la solución exacta. El método para calcularlo se debe a Ralston (1965). Por otro lado, es una aproximación de tercer orden, por lo que la diferencia entre y se puede utilizar para adaptar el tamaño del paso . La propiedad FSAL (primero igual que último) es que el valor de la etapa en un paso es igual en el siguiente paso; por lo tanto, solo se necesitan tres evaluaciones de función por paso. ${\displaystyle z_{n+1}}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$ ${\displaystyle z_{n+1}}$ ${\displaystyle k_{4}}$ ${\displaystyle k_{1}}$

Referencias

• Bogacki, Przemysław; Shampine, Lawrence F. (1989), "Un par 3(2) de fórmulas de Runge-Kutta", Applied Mathematics Letters , 2 (4): 321–325, doi : 10.1016/0893-9659(89)90079-7 , ISSN  0893-9659.
• Ralston, Anthony (1965), Un primer curso de análisis numérico , Nueva York: McGraw-Hill.
• Shampine, Lawrence F.; Reichelt, Mark W. (1997), "La suite Matlab ODE" (PDF) , SIAM Journal on Scientific Computing , 18 (1): 1–22, Bibcode :1997SJSC...18....1S, doi :10.1137/S1064827594276424, ISSN  1064-8275, S2CID  14004171.