Teorema de Beckman-Quarles

Los mapas que preservan la distancia unitaria son isometrías

En geometría , el teorema de Beckman-Quarles establece que si una transformación del plano euclidiano o de un espacio euclidiano de dimensiones superiores preserva las distancias unitarias, entonces preserva todas las distancias euclidianas . De manera equivalente, todo homomorfismo del grafo de distancias unitarias del plano hacia sí mismo debe ser una isometría del plano. El teorema recibe su nombre en honor a Frank S. Beckman y Donald A. Quarles Jr., quienes publicaron este resultado en 1953; posteriormente fue redescubierto por otros autores y vuelto a demostrar de múltiples maneras. También se conocen teoremas análogos para subconjuntos racionales de espacios euclidianos o para geometría no euclidiana .

Idea de enunciado y prueba

Formalmente, el resultado es el siguiente. Sea una función o función multivaluada de un espacio euclidiano de dimensión 1 a sí misma, y ​​supongamos que, para cada par de puntos y que están a una distancia unitaria entre sí, cada par de imágenes y están también a una distancia unitaria entre sí. Entonces debe ser una isometría : es una función biunívoca que conserva las distancias entre todos los pares de puntos. ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle f(q)}$ ${\displaystyle f}$

Una forma de reformular el teorema de Beckman-Quarles implica homomorfismos de grafos , aplicaciones entre grafos no dirigidos que toman vértices con vértices y aristas con aristas. Para el grafo de distancia unitaria cuyos vértices son todos los puntos del plano, con una arista entre dos puntos cualesquiera a distancia unitaria, un homomorfismo de este grafo hacia sí mismo es lo mismo que una transformación del plano que preserva la distancia unitaria. Por lo tanto, el teorema de Beckman-Quarles establece que los únicos homomorfismos de este grafo hacia sí mismo son los obvios que provienen de las isometrías del plano. ^[2] Para este grafo, todos los homomorfismos son simetrías del grafo , la propiedad definitoria de una clase de grafos llamados núcleos . ^[3]

Además de las pruebas originales de Beckman y Quarles del teorema, ^[1] y las pruebas en artículos posteriores que redescubrieron el resultado, ^{[4] [5] [6]} se han publicado varias pruebas alternativas. ^{[7] [8] [9]} Si es el conjunto de distancias preservadas por una aplicación , entonces se sigue de la desigualdad triangular que ciertas comparaciones de otras distancias con miembros de son preservadas por . Por lo tanto, si se puede demostrar que es un conjunto denso , entonces todas las distancias deben preservarse. La idea principal de varias pruebas del teorema de Beckman-Quarles es usar la rigidez estructural de ciertos grafos de distancias unitarias , como el grafo de un símplex regular , para demostrar que una aplicación que preserva distancias unitarias debe preservar suficientes otras distancias para formar un conjunto denso. ^[9] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

Contraejemplos para otros espacios

Beckman y Quarles observan que el teorema no es cierto para la línea real (espacio euclidiano unidimensional). Como ejemplo, considere la función que devuelve si es un entero y devuelve en caso contrario. Esta función obedece las condiciones previas del teorema: preserva las distancias unitarias. Sin embargo, no preserva las distancias entre números enteros y no enteros. ^[1] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Beckman y Quarles proporcionan otro contraejemplo que muestra que su teorema no puede generalizarse a un espacio de dimensión infinita, el espacio de Hilbert de secuencias de números reales que se pueden sumar al cuadrado . "Sumable al cuadrado" significa que la suma de los cuadrados de los valores en una secuencia de este espacio debe ser finita. La distancia entre dos secuencias de este tipo se puede definir de la misma manera que la distancia euclidiana para espacios de dimensión finita, sumando los cuadrados de las diferencias de coordenadas y luego sacando la raíz cuadrada. Para construir una función que preserve las distancias unitarias pero no otras distancias, Beckman y Quarles componen dos funciones discontinuas :

• La primera función asigna cada punto del espacio de Hilbert a un punto cercano en un subespacio denso contable . Por ejemplo, el subespacio denso podría elegirse como el subespacio de secuencias de números racionales . Mientras esta transformación mueva cada punto una distancia menor que , asignará puntos a una distancia unitaria entre sí a imágenes distintas. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
• La segunda función asigna este conjunto denso a un símplex unitario contable , un conjunto infinito de puntos todos a una distancia unitaria entre sí. Un ejemplo de un símplex contable en este espacio consiste en las secuencias de números reales que toman el valor en una sola posición y son cero en cualquier otro lugar. Hay infinitas secuencias de esta forma, y ​​la distancia entre dos de esas secuencias es uno. Esta segunda función debe ser biunívoca, pero de lo contrario puede elegirse arbitrariamente. ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

Cuando se combinan estas dos transformaciones, asignan dos puntos cualesquiera a una distancia unitaria entre sí a dos puntos diferentes en el subespacio denso, y de allí los asignan a dos puntos diferentes del símplex, que necesariamente están a una distancia unitaria entre sí. Por lo tanto, su composición conserva las distancias unitarias. Sin embargo, no es una isometría, porque asigna cada par de puntos, sin importar su distancia original, ya sea al mismo punto o a una distancia unitaria. ^{[1] [10]}

Resultados relacionados

Una coloración de siete colores del plano euclidiano de modo que ningún par de puntos a una distancia unitaria (como los puntos vecinos del huso de Moser superpuesto) tengan el mismo color. Al asignar los puntos por color a los siete vértices de un símplex regular de seis dimensiones se obtiene una función de a que conserva las distancias unitarias pero no es una isometría. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{6}}$

Todo espacio euclidiano puede asignarse a un espacio de dimensión suficientemente superior de forma que preserve las distancias unitarias pero no sea una isometría. Para ello, siguiendo los resultados conocidos del problema de Hadwiger-Nelson , coloree los puntos del espacio dado con un número finito de colores de forma que no haya dos puntos a una distancia unitaria que tengan el mismo color. A continuación, asigne cada color a un vértice de un símplex regular de dimensión superior con longitudes de arista unitarias. Por ejemplo, el plano euclidiano puede colorearse con siete colores, utilizando un mosaico de hexágonos de un diámetro ligeramente inferior a la unidad, de forma que no haya dos puntos del mismo color separados por una distancia unitaria. A continuación, los puntos del plano pueden asignarse por sus colores a los siete vértices de un símplex regular de seis dimensiones . No se sabe si seis es la dimensión más pequeña para la que esto es posible, y unos resultados mejorados en el problema de Hadwiger-Nelson podrían mejorar este límite. ^{[11] [12]}

Para las transformaciones de los puntos con coordenadas de números racionales , la situación es más complicada que para el plano euclidiano completo. Existen aplicaciones que preservan la distancia unitaria de puntos racionales a puntos racionales que no preservan otras distancias para dimensiones de hasta cuatro, pero ninguna para dimensiones de cinco y superiores. ^{[13] [14]} Resultados similares se aplican también para las aplicaciones de los puntos racionales que preservan otras distancias, como la raíz cuadrada de dos , además de las distancias unitarias. ^[15] Para pares de puntos cuya distancia es un número algebraico , ${\displaystyle A}$ existe una versión finita de este teorema: Maehara demostró que, para cada número algebraico , existe un grafo de distancia unitaria rígido finito en el que algunos dos vértices y deben estar a una distancia entre sí. De esto se deduce que cualquier transformación del plano que preserve las distancias unitarias en también debe preservar la distancia entre y . ^{[16] [17] [18]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

AD Alexandrov preguntó qué espacios métricos tienen la misma propiedad, que las aplicaciones que preservan la distancia unitaria son isometrías, ^[19] y siguiendo esta pregunta varios autores han estudiado resultados análogos para otros tipos de geometrías. Esto se conoce como el problema de Aleksandrov–Rassias . Por ejemplo, es posible reemplazar la distancia euclidiana por el valor de una forma cuadrática . ^[20] Los teoremas de Beckman–Quarles se han demostrado para espacios no euclidianos como el espacio de Minkowski , ^[21] la distancia inversa en el plano de Möbius , ^[22] los planos desarguesianos finitos , ^[23] y los espacios definidos sobre cuerpos con característica distinta de cero . ^{[24] [25]} Además, los teoremas de este tipo se han utilizado para caracterizar transformaciones distintas de las isometrías, como las transformaciones de Lorentz . ^[26]

Historia

El teorema de Beckman-Quarles fue publicado por primera vez por Frank S. Beckman y Donald A. Quarles Jr. en 1953. ^[1] Ya en 1960, Victor Klee lo había denominado "un teorema de Beckman y Quarles" . ^[27] Más tarde fue redescubierto por otros autores, durante las décadas de 1960 y 1970. ^{[4] [5] [6]}

Quarles era hijo del ingeniero de comunicaciones y ejecutivo de defensa Donald A. Quarles . Se educó en la Academia Phillips , la Universidad de Yale y la Academia Naval de los Estados Unidos . Trabajó como meteorólogo en la Marina de los Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial y se convirtió en ingeniero de IBM. Su trabajo allí incluyó proyectos para el seguimiento del Sputnik , el desarrollo de una supercomputadora , impresión de inyección de tinta y resonancia magnética ; ^[28] completó un doctorado en 1964 en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas sobre la simulación por computadora de ondas de choque , supervisado conjuntamente por Robert D. Richtmyer y Peter Lax . ^[29]

Beckman estudió en el City College de Nueva York y sirvió en el ejército de los EE. UU. durante la guerra. Al igual que Quarles, trabajó para IBM a partir de 1951. ^[30] Obtuvo un doctorado en 1965, bajo la supervisión de Louis Nirenberg en la Universidad de Columbia , sobre ecuaciones diferenciales parciales . ^[31] En 1971, dejó IBM para convertirse en el presidente fundador del Departamento de Ciencias de la Computación y la Información en el Brooklyn College , y más tarde dirigió el programa de posgrado en ciencias de la computación en el Centro de Posgrado de la CUNY . ^[30]

Referencias

1. Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953), "Sobre isometrías de espacios euclidianos", Actas de la American Mathematical Society , 4 : 810–815, doi : 10.2307/2032415 , MR  0058193
2. Kuzminykh, Alexandr (2009), "Sobre la diversidad y estabilidad de las bases unitarias para la métrica euclidiana", Journal of Geometry , 94 (1–2): 143–150, doi :10.1007/s00022-009-0010-x, MR  2534414
3. Nešetřil, Jaroslav ; Ossona de Mendez, Patrice (2012), Sparsity: Graphs, Structures, and Algorithms , Algorithms and Combinatorics, vol. 28, Heidelberg: Springer, p. 43, doi :10.1007/978-3-642-27875-4, ISBN 978-3-642-27874-7, Sr.  2920058
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27. Klee, Victor (1960), Problemas sin resolver en geometría intuitiva , pág. 41, hdl :1773/16201
28. "Donald Quarles Jr.", The Cape Codder , 14 de junio de 2014, archivado desde el original el 2024-05-02 , consultado el 2024-05-02 – vía Legacy.com
29. Donald Aubrey Quarles, Jr. en el Proyecto de Genealogía Matemática
30. "Frank Samuel Beckman", Richmond Times-Dispatch , 23 de octubre de 2009, archivado desde el original el 2024-05-02 , consultado el 2024-05-02 – vía Legacy.com
31. Frank S. Beckman en el Proyecto de Genealogía Matemática