Estimación bayesiana de plantillas en anatomía computacional

El análisis estadístico de la forma y la teoría estadística de la forma en anatomía computacional (AC) se realizan en relación con plantillas, por lo tanto, es una teoría local de estadísticas sobre la forma. La estimación de plantillas en anatomía computacional a partir de poblaciones de observaciones es una operación fundamental omnipresente en la disciplina. Han surgido varios métodos para la estimación de plantillas basados ​​en la probabilidad y la estadística bayesianas en el modelo de órbita aleatoria de AC para subvariedades ^{[1] [2]} y volúmenes de imágenes densos. ^[3]

El modelo de plantilla deformable de formas y figuras a través de acciones grupales difeomórficas

El álgebra lineal es una de las herramientas centrales de la ingeniería moderna. La noción de órbita de vectores, en la que las matrices forman grupos (matrices con inversas e identidad) que actúan sobre los vectores, es central para el álgebra lineal. En el álgebra lineal, las ecuaciones que describen los elementos de la órbita (los vectores) son lineales en los vectores sobre los que actúan las matrices. En la anatomía computacional, el espacio de todas las formas y figuras se modela como una órbita similar a los vectores en el álgebra lineal; sin embargo, los grupos no actúan de manera lineal como lo hacen las matrices y las formas y figuras no son aditivas. En la anatomía computacional, la adición se reemplaza esencialmente por la ley de la composición.

El grupo central que actúa CA definido sobre volúmenes en son los difeomorfismos que son aplicaciones con 3 componentes , ley de composición de funciones , con inversa . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq Diff}$ ${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=id}$

Los grupos y grupos son familiares para la comunidad de ingeniería con la popularización y estandarización universal del álgebra lineal como modelo básico.

Una acción de grupo popular es sobre imágenes escalares, , con acción a la derecha a través de la inversa. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

Para subvariedades parametrizadas por un gráfico o inmersión , la acción difeomorfa del flujo de la posición ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U.}$

Se han definido varias acciones de grupo en anatomía computacional .

Posicionamiento geodésico mediante la exponencial de Riemann

Para el estudio de la forma deformable en la anatomía computacional, se ha elegido un grupo de difeomorfismos más general, que es el análogo de dimensión infinita. Los grupos de difeomorfismos de alta dimensión utilizados en la anatomía computacional se generan mediante flujos suaves que satisfacen la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria: ${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$

Mostrando el flujo lagrangiano de coordenadas con campos vectoriales asociados que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),\phi _{0}=id}$

con los campos vectoriales en denominados velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio de funciones, modelado como un espacio de Hilbert suave con los campos vectoriales que tienen derivada 1-continua . Para , con la inversa para el flujo dada por ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v_{t}={\dot {\phi }}_{t}\circ \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

y la matriz jacobiana para flujos se da como ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ D\phi \doteq \left({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Los flujos se introdujeron por primera vez ^{[4] [5]} para grandes deformaciones en la correspondencia de imágenes; es la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo . con los campos vectoriales denominados velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. El enfoque de modelado utilizado en CA impone una condición de diferenciabilidad continua en los campos vectoriales modelando el espacio de campos vectoriales como un espacio de Hilbert de kernel de reproducción (RKHS), con la norma definida por un operador diferencial 1-1 , la inversa de Green . La norma según donde para una función o distribución generalizada, entonces . Dado que es un operador diferencial, la finitud del cuadrado de la norma incluye derivadas del operador diferencial, lo que implica suavidad de los campos vectoriales. ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$ ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,v\in V,}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma \mid w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \int _{X}Av\cdot vdx<\infty }$

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[6] [7]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tenga derivadas integrables en 3 cuadrados. Por lo tanto, se incrustan suavemente en funciones 1 vez continuamente diferenciables. ^{[6] [7]} El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

El modelo de Bayes de anatomía computacional

El modelo estadístico central de la anatomía computacional en el contexto de las imágenes médicas es el modelo de fuente-canal de la teoría de Shannon ; ^{[8] [9] [10]} la fuente es la plantilla deformable de imágenes , las salidas del canal son los sensores de imágenes con observables . La variación en las configuraciones anatómicas se modela por separado de las modalidades de imágenes médicas Tomografía axial computarizada , máquina de resonancia magnética , máquina PET y otras. La teoría de Bayes modela la previa en la fuente de imágenes en , y la densidad condicional en las imágenes observables , condicionada a . Para imágenes con difeomorfismo acción de grupo , entonces la previa en el grupo induce la previa en imágenes , escrita como densidades el logaritmo posterior toma la forma ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle p(\cdot |I)\ {\text{on}}\ I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \phi \cdot I_{\mathrm {temp} },\phi \in Diff_{V}}$ ${\displaystyle \pi _{Diff_{V}}(\cdot )}$ ${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$

${\displaystyle \log p(\phi \cdot I\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid \phi \cdot I)+\log \pi _{\operatorname {Diff} _{V}}(\phi )\ .}$

La estimación a posteriori máxima (MAP) es fundamental para la teoría estadística moderna . Los parámetros de interés adoptan muchas formas, entre ellas (i) el tipo de enfermedad, como las enfermedades neurodegenerativas o del desarrollo neurológico , (ii) el tipo de estructura, como las estructuras corticales o subcorticales en problemas asociados a la segmentación de imágenes, y (iii) la reconstrucción de plantillas a partir de poblaciones. Dada la imagen observada , la estimación MAP maximiza la estimación a posteriori máxima: ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ ${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

Se muestran plantillas de forma de la amígdala, el hipocampo y el ventrículo generadas a partir de 754 muestras de ADNI. El panel superior denota las diferencias de grupo de área de superficie localizada entre el envejecimiento normal y la enfermedad de Alzheimer (positivo representa atrofia en Alzheimer mientras que negativo sugiere expansión). El panel inferior denota las diferencias de grupo en las tasas anualizadas de cambio en las áreas de superficie localizadas (positivo representa tasas de atrofia más rápidas (o tasas de expansión más lentas) en Alzheimer mientras que negativo sugiere tasas de expansión más rápidas (o tasas de atrofia más lentas) en Alzheimer); tomado de Tang et al. ^{[11] [12] [13]}

Esto requiere el cálculo de las probabilidades condicionales . El modelo de órbita de atlas múltiples se aleatoriza sobre el conjunto numerable de atlas . El modelo sobre imágenes en la órbita adopta la forma de una distribución de mezcla multimodal. ${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$ ${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

Plantillas de superficie para neuroanatomía computacional y estructuras subcorticales

El estudio de la neuroanatomía subcortical ha sido el foco de muchos estudios. Desde las publicaciones originales de Csernansky y colegas sobre el cambio hipocampal en la esquizofrenia, ^{[14] [15] [16] [17]} la enfermedad de Alzheimer, ^{[18] [19] [20]} y la depresión, ^{[21] [22]} se han completado muchos estudios estadísticos de forma neuroanatómica utilizando plantillas construidas a partir de todas las estructuras subcorticales para la depresión, ^[23] Alzheimer, ^{[11] [12 ] [24] [25] [26] [27]} el trastorno bipolar, el TDAH, ^[28] el autismo, ^[29] y la enfermedad de Huntington. ^{[30] [31]} Las plantillas se generaron utilizando datos de estimación de plantillas bayesianas que se remontan a Ma, Younes y Miller. ^[32]

En la figura adjunta se muestra un ejemplo de plantillas de estructura subcortical generadas a partir de imágenes de resonancia magnética ponderadas en T1 por Tang et al. ^{[11] [12] [13]} para el estudio de la enfermedad de Alzheimer en la población de sujetos ADNI.

Estimación de superficies en anatomía computacional cardíaca

Se muestran atlas poblacionales que identifican diferencias regionales en el grosor radial en la fase cardíaca sistólica final entre pacientes con miocardiopatía hipertrófica (izquierda) y enfermedad cardíaca hipertensiva (derecha). La malla gris muestra la plantilla de superficie común para la población, con el mapa de color que representa la pared septal basilar y la pared epicárdica anterior con mayor grosor radial en pacientes con miocardiopatía hipertrófica frente a enfermedad cardíaca hipertensiva. ^[33]

Se han realizado numerosos estudios sobre la hipertrofia cardíaca y el papel de las integraciones estructurales en la mecánica funcional del corazón. Siamak Ardekani ha estado trabajando en poblaciones de anatomías cardíacas reconstruyendo sistemas de coordenadas del atlas a partir de poblaciones. ^{[34] [35] [36]} La figura de la derecha muestra el método de anatomía cardíaca computacional que se utiliza para identificar diferencias regionales en el grosor radial en la fase cardíaca sistólica final entre pacientes con miocardiopatía hipertrófica (izquierda) y enfermedad cardíaca hipertensiva (derecha). El mapa de color que se coloca en una plantilla de superficie común (malla gris) representa la región (septal basilar y pared epicárdica anterior) que tiene en promedio un grosor radial significativamente mayor en pacientes con miocardiopatía hipertrófica frente a enfermedad cardíaca hipertensiva (referencia a continuación). ^[33]

Estimación MAP de plantillas de volumen a partir de poblaciones y el algoritmo EM

La generación empírica de plantillas a partir de poblaciones es una operación fundamental omnipresente en la disciplina. Han surgido varios métodos basados ​​en estadísticas bayesianas para subvariedades y volúmenes de imágenes densos. Para el caso del volumen de imágenes denso, dado el observable, el problema es estimar la plantilla en la órbita de imágenes densas . El procedimiento de Ma toma una hiperplantilla inicial como punto de partida y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar , con los parámetros que se van a estimar, las coordenadas logarítmicas que determinan el mapeo geodésico de la hiperplantilla . ${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$

En el modelo de órbita aleatoria bayesiana de anatomía computacional, las imágenes de resonancia magnética observadas se modelan como un campo aleatorio condicionalmente gaussiano con un campo medio , con una transformación aleatoria desconocida de la plantilla. El problema de estimación de MAP consiste en estimar la plantilla desconocida dadas las imágenes de resonancia magnética observadas. ${\displaystyle I^{D_{i}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\cdot I}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

El procedimiento de Ma para imágenes densas toma una hiperplantilla inicial como punto de partida y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar . Los observables se modelan como campos aleatorios condicionales, un campo aleatorio gaussiano condicional con campo medio . La variable desconocida que se va a estimar explícitamente mediante MAP es el mapeo de la hiperplantilla , y los otros mapeos se consideran variables molestas u ocultas que se integran mediante el procedimiento de Bayes. Esto se logra utilizando el algoritmo de expectativa-maximización (EM) . ${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle I^{D_{i}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\cdot I\doteq \phi _{i}\cdot \phi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$

El modelo de órbita se explota asociando los flujos desconocidos que se van a estimar a sus coordenadas logarítmicas a través del logaritmo geodésico de Riemann y exponencial para la anatomía computacional el campo vectorial inicial en el espacio tangente en la identidad de modo que , con el mapeo de la hiperplantilla. El problema de estimación MAP se convierte en ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$ ${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \phi _{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

El algoritmo EM toma como datos completos las coordenadas del campo vectorial que parametrizan el mapeo y calcula iterativamente la expectativa condicional. ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$

${\displaystyle {\begin{matrix}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-E(\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )|I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{matrix}}}$

• Calcular una nueva plantilla que maximice la función Q, configurando ${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}$
• Calcule la aproximación de modo para la expectativa actualizando los valores esperados para los valores de modo:

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$

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