Un axioma , postulado o suposición es una afirmación que se considera verdadera , para servir como premisa o punto de partida para razonamientos y argumentos posteriores. La palabra proviene de la palabra griega antigua ἀξίωμα ( axíōma ), que significa "aquello que se considera digno o apto" o "aquello que se recomienda a sí mismo como evidente". [1] [2]
La definición precisa varía según los campos de estudio. En filosofía clásica , un axioma es una afirmación que es tan evidente o bien establecida, que se acepta sin controversia ni duda. [3] En lógica moderna , un axioma es una premisa o punto de partida para el razonamiento. [4]
En matemáticas , un axioma puede ser un "axioma lógico" o un "axioma no lógico". Los axiomas lógicos se consideran verdaderos dentro del sistema de lógica que definen y a menudo se muestran en forma simbólica (por ejemplo, ( A y B ) implica A ), mientras que los axiomas no lógicos (por ejemplo, a + b = b + a ) son verdaderos. Afirmaciones sustantivas sobre los elementos del dominio de una teoría matemática específica, como la aritmética .
Los axiomas no lógicos también pueden denominarse "postulados" o "supuestos". En la mayoría de los casos, un axioma no lógico es simplemente una expresión lógica formal utilizada en deducción para construir una teoría matemática, y puede o no ser de naturaleza evidente (por ejemplo, el postulado de las paralelas en la geometría euclidiana ). Axiomatizar un sistema de conocimiento es mostrar que sus afirmaciones pueden derivarse de un conjunto pequeño y bien comprendido de oraciones (los axiomas), y normalmente hay muchas maneras de axiomatizar un dominio matemático determinado.
Cualquier axioma es un enunciado que sirve como punto de partida del cual se derivan lógicamente otros enunciados. Si tiene sentido (y, de ser así, qué significa) que un axioma sea "verdadero" es un tema de debate en la filosofía de las matemáticas . [5]
La palabra axioma proviene del vocablo griego ἀξίωμα ( axíōma ), un sustantivo verbal proveniente del verbo ἀξιόειν ( axioein ), que significa "considerar digno", pero también "exigir", que a su vez proviene de ἄξιος ( áxios ), que significa " estar en equilibrio", y por tanto "tener (el mismo) valor(es)", "digno", "adecuado". Entre los filósofos y matemáticos griegos antiguos , los axiomas se consideraban proposiciones inmediatamente evidentes, fundamentales y comunes a muchos campos de investigación, y evidentemente verdaderos sin ningún argumento o prueba adicional. [6]
El significado fundamental de la palabra postulado es "exigir"; por ejemplo, Euclides exige que uno esté de acuerdo en que se pueden hacer algunas cosas (por ejemplo, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una línea recta). [7]
Los geómetras antiguos mantenían cierta distinción entre axiomas y postulados. Al comentar los libros de Euclides, Proclo observa que " Gémino sostuvo que este [cuarto] postulado no debería clasificarse como un postulado sino como un axioma, ya que no afirma, como los tres primeros postulados, la posibilidad de alguna construcción, sino que expresa una propiedad esencial." [8] Boecio tradujo 'postulado' como petitio y llamó a los axiomas notiones communes , pero en manuscritos posteriores este uso no siempre se mantuvo estrictamente. [ cita necesaria ]
El método lógico-deductivo mediante el cual las conclusiones (nuevo conocimiento) se derivan de premisas (conocimiento antiguo) mediante la aplicación de argumentos sólidos ( silogismos , reglas de inferencia ) fue desarrollado por los antiguos griegos y se ha convertido en el principio central de las matemáticas modernas. Excluidas las tautologías , nada se puede deducir si no se supone nada. Los axiomas y postulados son, por tanto, los supuestos básicos que subyacen a un determinado cuerpo de conocimiento deductivo. Se aceptan sin demostración. Todas las demás afirmaciones ( teoremas , en el caso de las matemáticas) deben demostrarse con la ayuda de estos supuestos básicos. Sin embargo, la interpretación del conocimiento matemático ha cambiado desde la antigüedad hasta la actualidad y, en consecuencia, los términos axioma y postulado tienen un significado ligeramente diferente para el matemático actual que para Aristóteles y Euclides . [6]
Los antiguos griegos consideraban la geometría sólo como una de varias ciencias y mantenían los teoremas de la geometría a la par de los hechos científicos. Como tal, desarrollaron y utilizaron el método lógico-deductivo como medio para evitar errores y para estructurar y comunicar conocimientos. La analítica posterior de Aristóteles es una exposición definitiva de la visión clásica. [ cita necesaria ]
Un "axioma", en terminología clásica, se refería a una suposición evidente y común a muchas ramas de la ciencia. Un buen ejemplo sería la afirmación de que:
Cuando se toma una cantidad igual de iguales, se obtiene una cantidad igual.
En la base de las diversas ciencias se encontraban ciertas hipótesis adicionales que fueron aceptadas sin pruebas. Esta hipótesis se denominó postulado . Si bien los axiomas eran comunes a muchas ciencias, los postulados de cada ciencia en particular eran diferentes. Su validez tuvo que establecerse mediante la experiencia del mundo real. Aristóteles advierte que el contenido de una ciencia no puede comunicarse con éxito si el alumno tiene dudas sobre la verdad de los postulados. [9]
El enfoque clásico está bien ilustrado [a] por los Elementos de Euclides , donde se da una lista de postulados (hechos geométricos de sentido común extraídos de nuestra experiencia), seguida de una lista de "nociones comunes" (afirmaciones muy básicas y evidentes). ).
Una lección aprendida por las matemáticas en los últimos 150 años es que es útil despojar de significado a las afirmaciones y definiciones matemáticas (axiomas, postulados, proposiciones , teoremas). Hay que admitir la necesidad de nociones primitivas , o términos o conceptos indefinidos, en cualquier estudio. Tal abstracción o formalización hace que el conocimiento matemático sea más general, capaz de múltiples significados diferentes y, por lo tanto, útil en múltiples contextos. Alessandro Padoa , Mario Pieri y Giuseppe Peano fueron pioneros en este movimiento.
Las matemáticas estructuralistas van más allá y desarrollan teorías y axiomas (por ejemplo , teoría de campos , teoría de grupos , topología , espacios vectoriales ) sin ninguna aplicación particular en mente. La distinción entre un "axioma" y un "postulado" desaparece. Los postulados de Euclides se motivan provechosamente al decir que conducen a una gran riqueza de hechos geométricos. La verdad de estos complicados hechos depende de la aceptación de las hipótesis básicas. Sin embargo, al descartar el quinto postulado de Euclides, se pueden obtener teorías que tienen significado en contextos más amplios (por ejemplo, la geometría hiperbólica ). Como tal, simplemente hay que estar preparado para utilizar etiquetas como "línea" y "paralelo" con mayor flexibilidad. El desarrollo de la geometría hiperbólica enseñó a los matemáticos que es útil considerar los postulados como declaraciones puramente formales y no como hechos basados en la experiencia.
Cuando los matemáticos emplean los axiomas de campo , las intenciones son aún más abstractas. Las proposiciones de la teoría de campos no se refieren a ninguna aplicación particular; el matemático trabaja ahora en completa abstracción. Hay muchos ejemplos de campos; La teoría de campo proporciona un conocimiento correcto sobre todos ellos.
No es correcto decir que los axiomas de la teoría de campos son "proposiciones que se consideran verdaderas sin prueba". Más bien, los axiomas de campo son un conjunto de restricciones. Si cualquier sistema dado de suma y multiplicación satisface estas restricciones, entonces uno está en condiciones de conocer instantáneamente una gran cantidad de información adicional sobre este sistema.
Las matemáticas modernas formalizan sus fundamentos hasta tal punto que las teorías matemáticas pueden considerarse objetos matemáticos y las matemáticas mismas pueden considerarse una rama de la lógica . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert y Gödel son algunas de las figuras clave en este desarrollo.
Otra lección aprendida en las matemáticas modernas es examinar cuidadosamente las supuestas pruebas en busca de suposiciones ocultas.
En la comprensión moderna, un conjunto de axiomas es cualquier colección de afirmaciones formuladas formalmente de las que se derivan otras afirmaciones formuladas formalmente (mediante la aplicación de ciertas reglas bien definidas). Desde este punto de vista, la lógica se convierte en un sistema formal más. Un conjunto de axiomas debe ser coherente ; debería ser imposible derivar una contradicción de los axiomas. Un conjunto de axiomas tampoco debería ser redundante; una afirmación que puede deducirse de otros axiomas no tiene por qué considerarse como un axioma.
La primera esperanza de los lógicos modernos fue que varias ramas de las matemáticas, quizás todas las matemáticas, pudieran derivarse de una colección consistente de axiomas básicos. Uno de los primeros éxitos del programa formalista fue la formalización por parte de Hilbert [b] de la geometría euclidiana , [10] y la demostración relacionada de la coherencia de esos axiomas.
En un contexto más amplio, hubo un intento de basar todas las matemáticas en la teoría de conjuntos de Cantor . En este caso, el surgimiento de la paradoja de Russell y antinomias similares de la teoría ingenua de conjuntos planteó la posibilidad de que cualquier sistema de este tipo pudiera resultar inconsistente.
El proyecto formalista sufrió un revés decisivo, cuando en 1931 Gödel demostró que es posible, para cualquier conjunto de axiomas suficientemente grande ( los axiomas de Peano , por ejemplo) construir un enunciado cuya verdad sea independiente de ese conjunto de axiomas. Como corolario , Gödel demostró que la consistencia de una teoría como la aritmética de Peano es una afirmación indemostrable dentro del alcance de esa teoría. [11]
Es razonable creer en la consistencia de la aritmética de Peano porque se satisface con el sistema de los números naturales , un sistema formal infinito pero intuitivamente accesible. Sin embargo, en la actualidad, no se conoce ninguna forma de demostrar la coherencia de los axiomas modernos de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos. Además, utilizando técnicas de forzado ( Cohen ) se puede demostrar que la hipótesis del continuo (Cantor) es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. [12] Por lo tanto, incluso este conjunto tan general de axiomas no puede considerarse como la base definitiva de las matemáticas.
Las ciencias experimentales -a diferencia de las matemáticas y la lógica- también tienen afirmaciones fundamentales generales a partir de las cuales se puede construir un razonamiento deductivo para expresar proposiciones que predicen propiedades, ya sean generales o mucho más especializadas para un contexto experimental específico. Por ejemplo, las leyes de Newton en la mecánica clásica, las ecuaciones de Maxwell en el electromagnetismo clásico, la ecuación de Einstein en la relatividad general, las leyes de la genética de Mendel , la ley de selección natural de Darwin , etc. Estas afirmaciones fundamentales generalmente se denominan principios o postulados para distinguirlas de los axiomas matemáticos .
De hecho, el papel de los axiomas en matemáticas y de los postulados en las ciencias experimentales es diferente. En matemáticas ni se "prueba" ni se "refuta" un axioma. Un conjunto de axiomas matemáticos proporciona un conjunto de reglas que fijan un ámbito conceptual, en el que los teoremas se siguen lógicamente. En cambio, en las ciencias experimentales, un conjunto de postulados permitirá deducir resultados que coincidan o no con los resultados experimentales. Si los postulados no permiten deducir predicciones experimentales, no establecen un marco conceptual científico y deben completarse o hacerse más precisos. Si los postulados permiten deducir predicciones de resultados experimentales, la comparación con experimentos permite falsar ( falsificada ) la teoría que instalan los postulados. Una teoría se considera válida mientras no haya sido refutada.
Ahora bien, la transición entre los axiomas matemáticos y los postulados científicos siempre resulta un poco confusa, especialmente en física. Esto se debe al uso intensivo de herramientas matemáticas para respaldar las teorías físicas. Por ejemplo, la introducción de las leyes de Newton rara vez establece como requisito previo ni la geometría euclidiana ni el cálculo diferencial que implican. Se hizo más evidente cuando Albert Einstein introdujo por primera vez la relatividad especial , donde la cantidad invariante ya no es la longitud euclidiana (definida como ) sino el intervalo espacio-temporal de Minkowski (definido como ), y luego la relatividad general, donde la geometría plana de Minkowski se reemplaza por pseudo-riemanniana. Geometría en colectores curvos .
En física cuántica coexisten desde hace algún tiempo dos conjuntos de postulados, lo que constituye un muy buen ejemplo de falsación. La ' escuela de Copenhague ' ( Niels Bohr , Werner Heisenberg , Max Born ) desarrolló un enfoque operacional con un formalismo matemático completo que implica la descripción del sistema cuántico mediante vectores ('estados') en un espacio de Hilbert separable, y cantidades físicas como operadores lineales. que actúan en este espacio de Hilbert. Este enfoque es totalmente falsable y hasta ahora ha producido las predicciones más precisas en física. Pero tiene el aspecto insatisfactorio de no permitir respuestas a preguntas que uno se haría naturalmente. Por esta razón, Albert Einstein, Erwin Schrödinger y David Bohm desarrollaron durante algún tiempo otro enfoque de ' variables ocultas ' . Fue creado para intentar dar una explicación determinista a fenómenos como el entrelazamiento . Este enfoque asumió que la descripción de la escuela de Copenhague no estaba completa y postuló que alguna variable aún desconocida debía agregarse a la teoría para permitir responder algunas de las preguntas que no responde (cuyos elementos fundacionales se discutieron como EPR) . paradoja en 1935). Tomando en serio estas ideas, John Bell derivó en 1964 una predicción que llevaría a resultados experimentales diferentes ( desigualdades de Bell ) en el caso de Copenhague y de la variable oculta. El experimento fue realizado por primera vez por Alain Aspect a principios de la década de 1980, y el resultado excluyó el enfoque simple de variables ocultas (todavía podrían existir variables ocultas sofisticadas, pero sus propiedades seguirían siendo más perturbadoras que los problemas que intentan resolver). Esto no significa que el marco conceptual de la física cuántica pueda considerarse completo ahora, ya que aún existen algunas cuestiones abiertas (el límite entre los reinos cuántico y clásico, qué sucede durante una medición cuántica, qué sucede en un sistema cuántico completamente cerrado como como el universo mismo, etc.).
En el campo de la lógica matemática , se hace una clara distinción entre dos nociones de axiomas: lógicos y no lógicos (algo similar a la antigua distinción entre "axiomas" y "postulados" respectivamente).
Se trata de determinadas fórmulas en un lenguaje formal que son universalmente válidas , es decir, fórmulas que se satisfacen con toda asignación de valores. Generalmente se toma como axiomas lógicos al menos un conjunto mínimo de tautologías que sea suficiente para probar todas las tautologías del lenguaje; en el caso de la lógica de predicados se requieren más axiomas lógicos que esos para demostrar verdades lógicas que no son tautologías en sentido estricto.
En lógica proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas de las siguientes formas, donde , y pueden ser cualquier fórmula del lenguaje y donde los conectivos primitivos incluidos son sólo " " para la negación de la proposición inmediatamente siguiente y " " para Implicación de proposiciones antecedente a consecuente:
Cada uno de estos patrones es un esquema de axioma , una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si , y son variables proposicionales , entonces y son ambas instancias del esquema de axioma 1 y, por tanto, son axiomas. Se puede demostrar que con sólo estos tres esquemas de axiomas y modus ponens se pueden probar todas las tautologías del cálculo proposicional. También se puede demostrar que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías con modus ponens .
Alternativamente, se pueden construir otros esquemas de axiomas que impliquen conjuntos iguales o diferentes de conectivos primitivos. [13]
Estos esquemas de axiomas también se utilizan en el cálculo de predicados , pero se necesitan axiomas lógicos adicionales para incluir un cuantificador en el cálculo. [14]
Axioma de igualdad.
Sea un lenguaje de primer orden . Para cada variable , la siguiente fórmula es universalmente válida.
Esto significa que, para cualquier símbolo variable , la fórmula puede considerarse como un axioma. Además, en este ejemplo, para que esto no caiga en la vaguedad y en una serie interminable de "nociones primitivas", debe existir una noción precisa de lo que queremos decir con ( o, de hecho, "ser igual"). bien establecido primero, o se debe imponer un uso puramente formal y sintáctico del símbolo , considerándolo sólo como una cadena y sólo una cadena de símbolos, y la lógica matemática efectivamente hace eso.
Otro ejemplo de esquema de axiomas , más interesante , es el que nos proporciona lo que se conoce como Instanciación Universal :
Esquema de axiomas para la creación de instancias universales.
Dada una fórmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un término que es sustituible en , la siguiente fórmula es universalmente válida.
Donde el símbolo representa la fórmula con el término sustituido por . (Ver Sustitución de variables .) En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que, si sabemos que una determinada propiedad es válida para todos y que representa un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos poder reclamar . Nuevamente estamos afirmando que la fórmula es válida , es decir, debemos poder dar una "prueba" de este hecho, o más propiamente hablando, una metaprueba . Estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática, ya que estamos tratando con el concepto mismo de prueba . Aparte de esto, también podemos tener una Generalización Existencial :
Esquema de axiomas de generalización existencial. Dada una fórmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un término que es sustituible en , la siguiente fórmula es universalmente válida.
Los axiomas no lógicos son fórmulas que desempeñan el papel de supuestos específicos de la teoría. Razonar sobre dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los enteros , puede implicar los mismos axiomas lógicos; los axiomas no lógicos apuntan a capturar lo que tiene de especial una estructura particular (o un conjunto de estructuras, como los grupos ). Por tanto, los axiomas no lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías . Otro nombre para un axioma no lógico es postulado . [15]
Casi todas las teorías matemáticas modernas parten de un conjunto determinado de axiomas no lógicos y se pensaba que, en principio, toda teoría podía axiomatizarse de esta manera y formalizarse hasta el simple lenguaje de fórmulas lógicas. [ cita requerida ] [ se necesita más explicación ]
Los axiomas no lógicos a menudo se denominan simplemente axiomas en el discurso matemático . Esto no significa que se afirme que sean ciertas en algún sentido absoluto. Por ejemplo, en algunos grupos, la operación de grupo es conmutativa , y esto se puede afirmar con la introducción de un axioma adicional, pero sin este axioma, podemos desarrollar bastante bien la teoría de grupos (la más general), e incluso podemos tomar su negación como axioma para el estudio de grupos no conmutativos.
Así, un axioma es una base elemental de un sistema lógico formal que junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo .
Esta sección ofrece ejemplos de teorías matemáticas que se desarrollan enteramente a partir de un conjunto de axiomas no lógicos (axiomas, en adelante). Un tratamiento riguroso de cualquiera de estos temas comienza con una especificación de estos axiomas.
Las teorías básicas, como la aritmética , el análisis real y el análisis complejo , a menudo se introducen de forma no axiomática, pero implícita o explícitamente generalmente se supone que los axiomas que se utilizan son los axiomas de la teoría de conjuntos con elección de Zermelo-Fraenkel , abreviada ZFC, o alguna Sistema muy similar de teoría de conjuntos axiomáticos como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , una extensión conservadora de ZFC. A veces se utilizan teorías ligeramente más sólidas, como la teoría de conjuntos de Morse-Kelley o la teoría de conjuntos con un cardinal fuertemente inaccesible que permite el uso de un universo de Grothendieck , pero de hecho, la mayoría de los matemáticos pueden demostrar todo lo que necesitan en sistemas más débiles que ZFC, como el segundo. -aritmética de orden . [ cita necesaria ]
El estudio de la topología en matemáticas se extiende a través de la topología de conjuntos de puntos , la topología algebraica , la topología diferencial y toda la parafernalia relacionada, como la teoría de la homología y la teoría de la homotopía . El desarrollo del álgebra abstracta trajo consigo la teoría de grupos , anillos , campos y la teoría de Galois .
Esta lista podría ampliarse para incluir la mayoría de los campos de las matemáticas, incluida la teoría de la medida , la teoría ergódica , la probabilidad , la teoría de la representación y la geometría diferencial .
Los axiomas de Peano son la axiomatización de la aritmética de primer orden más utilizada . Son un conjunto de axiomas lo suficientemente fuertes como para probar muchos hechos importantes sobre la teoría de números y permitieron a Gödel establecer su famoso segundo teorema de incompletitud . [dieciséis]
Tenemos un lenguaje donde es un símbolo constante y es una función unaria y los siguientes axiomas:
La estructura estándar es donde está el conjunto de los números naturales, es la función sucesora y naturalmente se interpreta como el número 0.
Probablemente la lista de axiomas más antigua y famosa son los postulados de geometría plana de Euclides 4 + 1 . Los axiomas se denominan "4 + 1" porque durante casi dos milenios se sospechó que el quinto postulado (paralelo) ("por un punto fuera de una línea pasa exactamente un paralelo") era derivable de los primeros cuatro. Finalmente, se encontró que el quinto postulado era independiente de los cuatro primeros. Se puede suponer que existe exactamente un paralelo que pasa por un punto fuera de una línea, o que existen infinitos. Esta elección nos brinda dos formas alternativas de geometría en las que los ángulos interiores de un triángulo suman exactamente 180 grados o menos, respectivamente, y se conocen como geometrías euclidiana e hiperbólica . Si además se elimina el segundo postulado ("una recta se puede extender indefinidamente") entonces surge la geometría elíptica , donde no hay paralelo que pase por un punto fuera de una recta, y en la que los ángulos interiores de un triángulo suman más de 180 grados. .
Los objetivos del estudio se encuentran dentro del dominio de los números reales . Los números reales se seleccionan de forma única (hasta el isomorfismo ) por las propiedades de un campo ordenado completo de Dedekind , lo que significa que cualquier conjunto no vacío de números reales con un límite superior tiene un límite superior mínimo. Sin embargo, expresar estas propiedades como axiomas requiere el uso de lógica de segundo orden . Los teoremas de Löwenheim-Skolem nos dicen que si nos limitamos a la lógica de primer orden , cualquier sistema de axiomas para los reales admite otros modelos, incluidos tanto modelos más pequeños que los reales como modelos más grandes. Algunos de estos últimos se estudian en análisis no estándar .
Un sistema deductivo consta de un conjunto de axiomas lógicos, un conjunto de axiomas no lógicos y un conjunto de reglas de inferencia . Una propiedad deseable de un sistema deductivo es que sea completo . Se dice que un sistema es completo si, para todas las fórmulas ,
es decir, para cualquier enunciado que sea una consecuencia lógica de realmente existe una deducción del enunciado de . Esto a veces se expresa como "todo lo que es verdadero es demostrable", pero debe entenderse que "verdadero" aquí significa "hecho verdadero por el conjunto de axiomas" y no, por ejemplo, "verdadero en la interpretación prevista". El teorema de completitud de Gödel establece la completitud de un determinado tipo de sistema deductivo de uso común.
Tenga en cuenta que "completitud" tiene un significado diferente aquí que en el contexto del primer teorema de incompletitud de Gödel , que establece que ningún conjunto recursivo y consistente de axiomas no lógicos de la teoría de la aritmética es completo , en el sentido de que siempre habrá Existe un enunciado aritmético tal que ni ni pueden demostrarse a partir del conjunto de axiomas dado.
Existe así, por un lado, la noción de completitud de un sistema deductivo y, por otro, la de completitud de un conjunto de axiomas no lógicos . El teorema de completitud y el teorema de incompletitud, a pesar de sus nombres, no se contradicen entre sí.
Los primeros matemáticos consideraban la geometría axiomática como un modelo de espacio físico y, obviamente, sólo podía haber un modelo de ese tipo. La idea de que pudieran existir sistemas matemáticos alternativos era muy preocupante para los matemáticos del siglo XIX y los desarrolladores de sistemas como el álgebra de Boole hicieron elaborados esfuerzos para derivarlos de la aritmética tradicional. Galois demostró justo antes de su prematura muerte que estos esfuerzos fueron en gran medida en vano. Al final, se consideró que los paralelos abstractos entre sistemas algebraicos eran más importantes que los detalles, y nació el álgebra moderna . Desde el punto de vista moderno, los axiomas pueden ser cualquier conjunto de fórmulas, siempre que no se sepa que son inconsistentes.
una declaración o proposición que se considera establecida, aceptada o evidentemente verdadera
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