Espacio Asplund

En matemáticas —específicamente, en análisis funcional— un espacio de Asplund o espacio de diferenciabilidad fuerte es un tipo de espacio de Banach de buen comportamiento . Los espacios de Asplund fueron introducidos en 1968 por el matemático Edgar Asplund, quien estaba interesado en las propiedades de diferenciabilidad de Fréchet de las funciones de Lipschitz en espacios de Banach.

Definiciones equivalentes

Existen muchas definiciones equivalentes de lo que significa que un espacio de Banach X sea un espacio de Asplund :

X es Asplund si, y sólo si, cada subespacio separable Y de X tiene un espacio dual continuo separable Y ^∗ .
X es Asplund si, y sólo si, toda función convexa continua en cualquier subconjunto convexo abierto U de X es diferenciable según el método de Fréchet en los puntos de un subconjunto denso G δ de U.
X es Asplund si, y sólo si, su espacio dual X ^∗ tiene la propiedad de Radon–Nikodým . Esta propiedad fue establecida por Namioka y Phelps en 1975 y Stegall en 1978.
X es Asplund si, y sólo si, cada subconjunto acotado no vacío de su espacio dual X ^∗ tiene porciones débiles-∗ de diámetro arbitrariamente pequeño.
X es Asplund si y solo si cada subconjunto convexo débilmente compacto no vacío del espacio dual X ^∗ es la envoltura convexa cerrada débilmente ∗ de sus puntos fuertemente expuestos débilmente ∗ . En 1975, Huff y Morris demostraron que esta propiedad es equivalente a la afirmación de que cada subconjunto acotado, cerrado y convexo del espacio dual X ^∗ es una envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos.

Propiedades de los espacios de Asplund

La clase de espacios de Asplund está cerrada bajo isomorfismos topológicos: es decir, si X e Y son espacios de Banach, X es Asplund y X es homeomorfo a Y , entonces Y también es un espacio de Asplund.
Cada subespacio lineal cerrado de un espacio de Asplund es un espacio de Asplund.
Todo espacio cociente de un espacio de Asplund es un espacio de Asplund.
La clase de espacios de Asplund está cerrada bajo extensiones: si X es un espacio de Banach e Y es un subespacio de Asplund de X para el cual el espacio cociente X ⁄ Y es Asplund, entonces X es Asplund.
Toda función Lipschitz local en un subconjunto abierto de un espacio de Asplund es diferenciable según el método de Fréchet en los puntos de algún subconjunto denso de su dominio. Este resultado fue establecido por Preiss en 1990 y tiene aplicaciones en la teoría de optimización.
El siguiente teorema del artículo original de Asplund de 1968 es un buen ejemplo de por qué los espacios que no son de Asplund se comportan mal: si X no es un espacio de Asplund, entonces existe una norma equivalente en X que no es diferenciable de Fréchet en cada punto de X.
En 1976, Ekeland y Lebourg demostraron que si X es un espacio de Banach que tiene una norma equivalente que es diferenciable a partir del origen según el método de Fréchet, entonces X es un espacio de Asplund. Sin embargo, en 1990, Haydon dio un ejemplo de un espacio de Asplund que no tiene una norma equivalente que sea diferenciable a partir del origen según el método de Gateaux.

Referencias

Asplund, Edgar (1968). "Diferenciabilidad de Fréchet de funciones convexas". Acta Matemática . 121 : 31–47. doi : 10.1007/bf02391908 . ISSN 0001-5962. SEÑOR 0231199.
Ekeland, Ivar; Lebourg, Gérard (1976). "Diferenciabilidad genérica de Fréchet y problemas de optimización perturbada en espacios de Banach". Transactions of the American Mathematical Society . 224 (2): 193–216 (1977). doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0431253-2 . ISSN 0002-9947. MR 0431253.
Haydon, Richard (1990). "Un contraejemplo para varias cuestiones sobre espacios compactos dispersos". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 22 (3): 261–268. doi :10.1112/blms/22.3.261. ISSN 0024-6093. MR 1041141.
Huff, RE; Morris, PD (1975). "Los espacios duales con la propiedad de Kerin–Milman tienen la propiedad de Radon–Nikodým". Actas de la American Mathematical Society . 49 : 104–108. doi : 10.1090/s0002-9939-1975-0361775-9 . ISSN: 0002-9939. MR: 0361775.
Namioka, I. ; Phelps, RR (1975). "Espacios de Banach que son espacios de Asplund". Duke Mathematical Journal . 42 (4): 735–750. doi :10.1215/s0012-7094-75-04261-1. hdl : 10338.dmlcz/127336 . ISSN 0012-7094. MR 0390721.
Preiss, David (1990). "Diferenciabilidad de funciones de Lipschitz en espacios de Banach". Journal of Functional Analysis . 91 (2): 312–345. doi :10.1016/0022-1236(90)90147-D. ISSN 0022-1236. MR 1058975.
Stegall, Charles (1978). "La dualidad entre espacios de Asplund y espacios con la propiedad de Radon–Nikodým". Revista israelí de matemáticas . 29 (4): 408–412. doi :10.1007/bf02761178. ISSN 0021-2172. MR 0493268.