Cuando un fluido fluye alrededor de un objeto, ejerce una fuerza sobre el objeto. La sustentación es el componente de esta fuerza que es perpendicular a la dirección del flujo que se aproxima. [1] Contrasta con la fuerza de arrastre , que es el componente de la fuerza paralelo a la dirección del flujo. La sustentación actúa convencionalmente en dirección ascendente para contrarrestar la fuerza de la gravedad , pero se define que actúa perpendicularmente al flujo y, por lo tanto, puede actuar en cualquier dirección.
Si el fluido circundante es aire, la fuerza se denomina fuerza aerodinámica . En el agua o cualquier otro líquido, se denomina fuerza hidrodinámica .
La sustentación dinámica se distingue de otros tipos de sustentación en fluidos. La sustentación aerostática o flotabilidad , en la que un fluido interno es más ligero que el fluido circundante, no requiere movimiento y se utiliza en globos, dirigibles, barcos y submarinos. La sustentación de planeo , en la que solo la parte inferior del cuerpo está sumergida en un flujo de líquido, se utiliza en barcos a motor, tablas de surf, windsurfistas, veleros y esquíes acuáticos.
Un fluido que fluye alrededor de la superficie de un objeto sólido aplica una fuerza sobre él. No importa si el objeto se mueve a través de un fluido estacionario (por ejemplo, un avión volando por el aire) o si el objeto está estacionario y el fluido se está moviendo (por ejemplo, un ala en un túnel de viento) o si ambos se están moviendo (por ejemplo, un velero que usa el viento para avanzar). La sustentación es el componente de esta fuerza que es perpendicular a la dirección del flujo que se aproxima. [1] La sustentación siempre va acompañada de una fuerza de arrastre , que es el componente de la fuerza superficial paralela a la dirección del flujo.
La sustentación se asocia principalmente con las alas de los aviones de ala fija , aunque se genera más ampliamente por muchos otros cuerpos aerodinámicos como hélices , cometas , rotores de helicópteros , alas de autos de carrera , velas marítimas , turbinas eólicas y por quillas de veleros , timones de barcos e hidroalas en el agua. La sustentación también es utilizada por animales voladores y planeadores , especialmente por pájaros , murciélagos e insectos , e incluso en el mundo vegetal por las semillas de ciertos árboles. [2] Si bien el significado común de la palabra "sustentación" asume que la sustentación se opone al peso, la sustentación puede ser en cualquier dirección con respecto a la gravedad, ya que se define con respecto a la dirección del flujo en lugar de a la dirección de la gravedad. Cuando una aeronave está volando en vuelo recto y nivelado, la mayor parte de la sustentación se opone a la gravedad. [3] Sin embargo, cuando una aeronave está subiendo , descendiendo o inclinándose en un viraje, la sustentación está inclinada con respecto a la vertical. [4] La sustentación también puede actuar como fuerza descendente en algunas maniobras acrobáticas o en el ala de un coche de carreras. La sustentación también puede ser en gran medida horizontal, por ejemplo, en un barco de vela.
La sustentación analizada en este artículo está relacionada principalmente con los perfiles aerodinámicos, aunque los hidroplanos marinos y las hélices comparten los mismos principios físicos y funcionan de la misma manera, a pesar de las diferencias entre el aire y el agua, como la densidad, la compresibilidad y la viscosidad.
El flujo alrededor de un perfil sustentador es un fenómeno de mecánica de fluidos que se puede entender en dos niveles: existen teorías matemáticas, que se basan en leyes establecidas de la física y representan el flujo con precisión, pero que requieren la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Y existen explicaciones físicas sin matemáticas, que son menos rigurosas. [5] Explicar correctamente la sustentación en estos términos cualitativos es difícil porque las relaciones de causa y efecto involucradas son sutiles. [6] Una explicación integral que capture todos los aspectos esenciales es necesariamente compleja. También hay muchas explicaciones simplificadas, pero todas dejan partes significativas del fenómeno sin explicar, mientras que algunas también tienen elementos que son simplemente incorrectos. [5] [7] [8] [9] [10] [11]
Un perfil aerodinámico es una forma aerodinámica que es capaz de generar significativamente más sustentación que resistencia. [12] Una placa plana puede generar sustentación, pero no tanta como un perfil aerodinámico y con una resistencia ligeramente superior. La mayoría de las explicaciones simplificadas siguen uno de dos enfoques básicos, basados en las leyes del movimiento de Newton o en el principio de Bernoulli . [5] [13] [14] [15]
Un perfil aerodinámico genera sustentación al ejercer una fuerza descendente sobre el aire a medida que fluye. Según la tercera ley de Newton , el aire debe ejercer una fuerza igual y opuesta (hacia arriba) sobre el perfil aerodinámico, que es la sustentación. [16] [17] [18] [19]
A medida que el flujo de aire se acerca al perfil aerodinámico, se curva hacia arriba, pero cuando pasa por el perfil aerodinámico cambia de dirección y sigue una trayectoria que se curva hacia abajo. Según la segunda ley de Newton, este cambio en la dirección del flujo requiere una fuerza descendente aplicada al aire por el perfil aerodinámico. Luego, la tercera ley de Newton requiere que el aire ejerza una fuerza ascendente sobre el perfil aerodinámico; por lo tanto, se genera una fuerza de reacción, la sustentación, opuesta al cambio de dirección. En el caso del ala de un avión, el ala ejerce una fuerza descendente sobre el aire y el aire ejerce una fuerza ascendente sobre el ala. [20] [21] [22] [23] [24] [25] [ citas excesivas ]
El giro descendente del flujo no se produce únicamente por la superficie inferior del perfil aerodinámico, y el flujo de aire por encima del perfil aerodinámico es responsable de gran parte de la acción de giro descendente. [26] [27] [28] [29]
Esta explicación es correcta, pero es incompleta. No explica cómo el perfil aerodinámico puede hacer que una franja de flujo mucho más profunda de la que toca realmente gire hacia abajo. Además, no menciona que la fuerza de sustentación se ejerce por diferencias de presión y no explica cómo se mantienen esas diferencias de presión. [5]
Algunas versiones de la explicación de la sustentación por desviación del flujo citan el efecto Coandă como la razón por la que el flujo puede seguir la superficie superior convexa del perfil aerodinámico. La definición convencional en el campo de la aerodinámica es que el efecto Coandă se refiere a la tendencia de un chorro de fluido a permanecer adherido a una superficie adyacente que se curva alejándose del flujo, y al arrastre resultante de aire ambiental hacia el flujo. [30] [31] [32]
En términos más generales, algunos consideran que el efecto incluye la tendencia de cualquier capa límite de fluido a adherirse a una superficie curva, no solo la capa límite que acompaña a un chorro de fluido. Es en este sentido más amplio que el efecto Coandă es utilizado por algunas referencias populares para explicar por qué el flujo de aire permanece adherido al lado superior de un perfil aerodinámico. [33] [34] Este es un uso controvertido del término "efecto Coandă"; el flujo que sigue la superficie superior simplemente refleja una ausencia de separación de la capa límite, por lo tanto, no es un ejemplo del efecto Coandă. [35] [36] [37] [38] Independientemente de si esta definición más amplia del "efecto Coandă" es aplicable, llamarlo "efecto Coandă" no proporciona una explicación, solo le da un nombre al fenómeno. [39]
La capacidad de un fluido para seguir una trayectoria curva no depende de fuerzas de corte, de la viscosidad del fluido ni de la presencia de una capa límite. El aire que fluye alrededor de un perfil aerodinámico, adhiriéndose a las superficies superior e inferior y generando sustentación, se acepta como un fenómeno en el flujo no viscoso. [40]
Hay dos versiones comunes de esta explicación: una basada en el "tiempo de tránsito igual" y otra basada en la "obstrucción" del flujo de aire.
La explicación del "tiempo de tránsito igual" comienza argumentando que el flujo sobre la superficie superior es más rápido que el flujo sobre la superficie inferior porque la longitud del camino sobre la superficie superior es mayor y debe recorrerse en un tiempo de tránsito igual. [41] [42] [43] El principio de Bernoulli establece que, en determinadas condiciones, el aumento de la velocidad del flujo se asocia con una presión reducida. Se concluye que la presión reducida sobre la superficie superior da como resultado una sustentación ascendente. [44]
Si bien es cierto que el flujo se acelera, una falla grave en esta explicación es que no explica correctamente qué causa que el flujo se acelere. [5] La explicación de la longitud de trayectoria más larga es incorrecta. No se necesita ninguna diferencia en la longitud de la trayectoria, e incluso cuando hay una diferencia, normalmente es demasiado pequeña para explicar la diferencia de velocidad observada. [45] Esto se debe a que la suposición de un tiempo de tránsito igual es incorrecta cuando se aplica a un cuerpo que genera sustentación. No existe ningún principio físico que requiera un tiempo de tránsito igual en todas las situaciones y los resultados experimentales confirman que para un cuerpo que genera sustentación los tiempos de tránsito no son iguales. [46] [47] [48] [49] [50] [51] De hecho, el aire que pasa por la parte superior de un perfil aerodinámico que genera sustentación se mueve mucho más rápido de lo que predice el tiempo de tránsito igual. [52] La velocidad de flujo mucho más alta sobre la superficie superior se puede ver claramente en esta visualización de flujo animada.
Al igual que la explicación del tiempo de tránsito igual, la explicación de la "obstrucción" o "estrangulamiento del tubo de corriente" sostiene que el flujo sobre la superficie superior es más rápido que el flujo sobre la superficie inferior, pero da una razón diferente para la diferencia de velocidad. Argumenta que la superficie superior curvada actúa como un obstáculo mayor para el flujo, obligando a las líneas de corriente a estrecharse más, haciendo que los tubos de corriente se estrechen. Cuando los tubos de corriente se vuelven más estrechos, la conservación de la masa requiere que la velocidad del flujo aumente. [53] La presión reducida en la superficie superior y la sustentación ascendente se derivan de la mayor velocidad por el principio de Bernoulli , al igual que en la explicación del tiempo de tránsito igual. A veces se hace una analogía con una tobera Venturi , afirmando que la superficie superior del ala actúa como una tobera Venturi para restringir el flujo. [54]
Un grave defecto de la explicación de la obstrucción es que no explica cómo se produce el estrechamiento del tubo de corriente ni por qué es mayor en la superficie superior que en la inferior. En el caso de las alas convencionales, que son planas en la parte inferior y curvadas en la parte superior, esto tiene cierto sentido intuitivo, pero no explica cómo las placas planas, los perfiles aerodinámicos simétricos, las velas de los veleros o los perfiles aerodinámicos convencionales que vuelan al revés pueden generar sustentación, y los intentos de calcular la sustentación basándose en la cantidad de constricción u obstrucción no predicen los resultados experimentales. [55] [56] [57] [58] Otro defecto es que la conservación de la masa no es una razón física satisfactoria de por qué el flujo se aceleraría. Para explicar eficazmente la aceleración de un objeto es necesario identificar la fuerza que lo acelera. [59]
Un grave defecto común a todas las explicaciones basadas en Bernoulli es que implican que una diferencia de velocidad puede surgir de causas distintas a una diferencia de presión, y que la diferencia de velocidad conduce entonces a una diferencia de presión, según el principio de Bernoulli. Esta causalidad unidireccional implícita es un error. La relación real entre la presión y la velocidad del flujo es una interacción mutua. [5] Como se explica más adelante en una explicación física más completa, producir una fuerza de sustentación requiere mantener diferencias de presión tanto en la dirección vertical como en la horizontal. Las explicaciones basadas únicamente en Bernoulli no explican cómo se mantienen las diferencias de presión en la dirección vertical. Es decir, dejan de lado la parte de la interacción relacionada con la desviación del flujo. [5]
Aunque las dos explicaciones simples basadas en Bernoulli anteriores son incorrectas, no hay nada incorrecto en el principio de Bernoulli o en el hecho de que el aire va más rápido en la parte superior del ala, y el principio de Bernoulli se puede utilizar correctamente como parte de una explicación más complicada de la sustentación. [60]
La sustentación es el resultado de las diferencias de presión y depende del ángulo de ataque, la forma del perfil aerodinámico, la densidad del aire y la velocidad del aire.
La presión es la fuerza normal por unidad de área que ejerce el aire sobre sí mismo y sobre las superficies que toca. La fuerza de sustentación se transmite a través de la presión, que actúa perpendicularmente a la superficie del perfil aerodinámico. Por lo tanto, la fuerza neta se manifiesta como diferencias de presión. La dirección de la fuerza neta implica que la presión promedio en la superficie superior del perfil aerodinámico es menor que la presión promedio en la parte inferior. [61]
Estas diferencias de presión surgen en conjunción con el flujo de aire curvado. Cuando un fluido sigue una trayectoria curva, existe un gradiente de presión perpendicular a la dirección del flujo con una presión más alta en el exterior de la curva y una presión más baja en el interior. [62] Esta relación directa entre las líneas de corriente curvas y las diferencias de presión, a veces llamada teorema de curvatura de la línea de corriente , se derivó de la segunda ley de Newton por Leonhard Euler en 1754:
El lado izquierdo de esta ecuación representa la diferencia de presión perpendicular al flujo del fluido. En el lado derecho de la ecuación, ρ es la densidad, v es la velocidad y R es el radio de curvatura. Esta fórmula muestra que las velocidades más altas y las curvaturas más cerradas crean mayores diferenciales de presión y que, para un flujo recto (R → ∞), la diferencia de presión es cero. [63]
El ángulo de ataque es el ángulo entre la línea de cuerda de un perfil aerodinámico y el flujo de aire que se aproxima. Un perfil aerodinámico simétrico genera sustentación nula con un ángulo de ataque nulo. Pero a medida que aumenta el ángulo de ataque, el aire se desvía en un ángulo mayor y el componente vertical de la velocidad de la corriente de aire aumenta, lo que genera más sustentación. Para ángulos pequeños, un perfil aerodinámico simétrico genera una fuerza de sustentación aproximadamente proporcional al ángulo de ataque. [64] [65]
A medida que aumenta el ángulo de ataque, la sustentación alcanza un máximo en un ángulo determinado; aumentar el ángulo de ataque más allá de este ángulo crítico de ataque hace que el flujo de la superficie superior se separe del ala; hay menos desviación hacia abajo, por lo que el perfil aerodinámico genera menos sustentación. Se dice que el perfil aerodinámico está en pérdida . [66]
La fuerza de sustentación máxima que puede generar un perfil aerodinámico a una velocidad aerodinámica determinada depende de la forma del perfil aerodinámico, especialmente de la cantidad de comba (curvatura tal que la superficie superior es más convexa que la superficie inferior, como se ilustra a la derecha). El aumento de la comba generalmente aumenta la sustentación máxima a una velocidad aerodinámica determinada. [67] [68]
Los perfiles aerodinámicos combados generan sustentación con un ángulo de ataque cero. Cuando la línea de cuerda está horizontal, el borde de salida tiene una dirección descendente y, dado que el aire sigue el borde de salida, se desvía hacia abajo. [69] Cuando un perfil aerodinámico combado está al revés, el ángulo de ataque se puede ajustar de modo que la fuerza de sustentación sea ascendente. Esto explica por qué un avión puede volar al revés. [70] [71]
Las condiciones ambientales del flujo que afectan la sustentación incluyen la densidad del fluido, la viscosidad y la velocidad del flujo. La densidad se ve afectada por la temperatura y por la velocidad acústica del medio, es decir, por los efectos de compresibilidad.
La sustentación es proporcional a la densidad del aire y aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad del flujo. La sustentación también depende del tamaño del ala, siendo generalmente proporcional al área del ala proyectada en la dirección de sustentación. En los cálculos es conveniente cuantificar la sustentación en términos de un coeficiente de sustentación basado en estos factores.
No importa cuán lisa parezca la superficie de un perfil aerodinámico, cualquier superficie es áspera en la escala de las moléculas de aire. Las moléculas de aire que vuelan hacia la superficie rebotan en la superficie áspera en direcciones aleatorias en relación con sus velocidades originales. El resultado es que cuando el aire se ve como un material continuo, se ve que no puede deslizarse a lo largo de la superficie, y la velocidad del aire en relación con el perfil aerodinámico disminuye a casi cero en la superficie (es decir, las moléculas de aire "se adhieren" a la superficie en lugar de deslizarse a lo largo de ella), algo conocido como la condición de no deslizamiento . [72] Debido a que el aire en la superficie tiene una velocidad cercana a cero pero el aire alejado de la superficie se está moviendo, hay una capa límite delgada en la que el aire cerca de la superficie está sujeto a un movimiento de cizallamiento . [73] [74] La viscosidad del aire resiste el cizallamiento, dando lugar a una tensión de cizallamiento en la superficie del perfil aerodinámico llamada resistencia por fricción superficial . Sobre la mayor parte de la superficie de la mayoría de los perfiles aerodinámicos, la capa límite es naturalmente turbulenta, lo que aumenta la resistencia por fricción superficial. [74] [75]
En condiciones de vuelo normales, la capa límite permanece adherida tanto a las superficies superior como inferior hasta el borde de salida, y su efecto sobre el resto del flujo es modesto. En comparación con las predicciones de la teoría del flujo no viscoso , en la que no hay capa límite, la capa límite adherida reduce la sustentación en una cantidad modesta y modifica un poco la distribución de la presión, lo que da como resultado una resistencia a la presión relacionada con la viscosidad que se suma a la resistencia a la fricción superficial. La suma de la resistencia a la fricción superficial y la resistencia a la presión relacionada con la viscosidad se suele denominar resistencia al perfil . [75] [76]
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La sustentación máxima de un perfil aerodinámico a una velocidad aerodinámica dada está limitada por la separación de la capa límite . A medida que aumenta el ángulo de ataque, se llega a un punto en el que la capa límite ya no puede permanecer unida a la superficie superior. Cuando la capa límite se separa, deja una región de flujo recirculante por encima de la superficie superior, como se ilustra en la foto de visualización del flujo a la derecha. Esto se conoce como pérdida o estancamiento . En ángulos de ataque superiores a la pérdida, la sustentación se reduce significativamente, aunque no cae a cero. La sustentación máxima que se puede lograr antes de la pérdida, en términos del coeficiente de sustentación, es generalmente inferior a 1,5 para perfiles aerodinámicos de un solo elemento y puede ser superior a 3,0 para perfiles aerodinámicos con flaps ranurados de alta sustentación y dispositivos de borde de ataque desplegados. [77]
El flujo alrededor de cuerpos con forma de rombo (es decir, sin una forma aerodinámica o perfiles aerodinámicos que provoquen pérdida) también puede generar sustentación, además de una fuerte fuerza de arrastre. Esta sustentación puede ser constante o puede oscilar debido al desprendimiento de vórtices . La interacción de la flexibilidad del objeto con el desprendimiento de vórtices puede mejorar los efectos de la sustentación fluctuante y causar vibraciones inducidas por vórtices . [78] Por ejemplo, el flujo alrededor de un cilindro circular genera una calle de vórtices de Kármán : vórtices que se desprenden de manera alternada desde los lados del cilindro. La naturaleza oscilatoria del flujo produce una fuerza de sustentación fluctuante en el cilindro, aunque la fuerza neta (media) es insignificante. La frecuencia de la fuerza de sustentación se caracteriza por el número de Strouhal adimensional , que depende del número de Reynolds del flujo. [79] [80]
En el caso de una estructura flexible, esta fuerza de sustentación oscilatoria puede inducir vibraciones inducidas por vórtices. En determinadas condiciones (por ejemplo, resonancia o fuerte correlación transversal de la fuerza de sustentación), el movimiento resultante de la estructura debido a las fluctuaciones de sustentación puede verse fuertemente potenciado. Estas vibraciones pueden plantear problemas y amenazar con el colapso de estructuras altas creadas por el hombre, como las chimeneas industriales . [78]
En el efecto Magnus , un cilindro giratorio en una corriente libre genera una fuerza de sustentación. Aquí, la rotación mecánica actúa sobre la capa límite, provocando que se separe en diferentes lugares de los dos lados del cilindro. La separación asimétrica cambia la forma efectiva del cilindro en lo que respecta al flujo, de modo que el cilindro actúa como un perfil aerodinámico de sustentación con circulación en el flujo exterior. [81]
Como se ha descrito anteriormente en el apartado "Explicaciones físicas simplificadas de la sustentación en un perfil aerodinámico", existen dos explicaciones populares principales: una basada en la desviación descendente del flujo (leyes de Newton) y otra basada en las diferencias de presión acompañadas de cambios en la velocidad del flujo (principio de Bernoulli). Cualquiera de estas dos, por sí sola, identifica correctamente algunos aspectos del flujo de sustentación, pero deja sin explicar otros aspectos importantes del fenómeno. Una explicación más completa implica tanto la desviación descendente como las diferencias de presión (incluidos los cambios en la velocidad del flujo asociados a las diferencias de presión), y requiere examinar el flujo con más detalle. [82]
La forma del perfil aerodinámico y el ángulo de ataque trabajan juntos de modo que el perfil aerodinámico ejerce una fuerza descendente sobre el aire a medida que fluye. De acuerdo con la tercera ley de Newton, el aire debe ejercer una fuerza igual y opuesta (hacia arriba) sobre el perfil aerodinámico, que es la sustentación. [18]
La fuerza neta ejercida por el aire se produce como una diferencia de presión sobre las superficies del perfil aerodinámico. [83] La presión en un fluido siempre es positiva en sentido absoluto, [84] por lo que siempre debe pensarse en la presión como empuje, y nunca como tracción. Por lo tanto, la presión empuja hacia adentro el perfil aerodinámico en todas partes, tanto en las superficies superior como inferior. El aire que fluye reacciona a la presencia del ala reduciendo la presión en la superficie superior del ala y aumentando la presión en la superficie inferior. La presión en la superficie inferior empuja hacia arriba con más fuerza que la presión reducida en la superficie superior empuja hacia abajo, y el resultado neto es una sustentación ascendente. [83]
La diferencia de presión que produce sustentación actúa directamente sobre las superficies aerodinámicas; sin embargo, para entender cómo se produce la diferencia de presión es necesario entender lo que hace el flujo en un área más amplia.
Un perfil aerodinámico afecta la velocidad y la dirección del flujo sobre un área amplia, produciendo un patrón llamado campo de velocidad . Cuando un perfil aerodinámico produce sustentación, el flujo que se encuentra delante del perfil aerodinámico se desvía hacia arriba, el flujo que se encuentra por encima y por debajo del perfil aerodinámico se desvía hacia abajo, dejando el aire que se encuentra muy por detrás del perfil aerodinámico en el mismo estado que el flujo que se aproxima mucho más adelante. El flujo que se encuentra por encima de la superficie superior se acelera, mientras que el flujo que se encuentra por debajo del perfil aerodinámico se ralentiza. Junto con la desviación hacia arriba del aire que se encuentra delante y la desviación hacia abajo del aire que se encuentra inmediatamente detrás, esto establece un componente circulatorio neto del flujo. La desviación hacia abajo y los cambios en la velocidad del flujo son pronunciados y se extienden sobre un área amplia, como se puede ver en la animación del flujo a la derecha. Estas diferencias en la dirección y la velocidad del flujo son mayores cerca del perfil aerodinámico y disminuyen gradualmente mucho más arriba y más abajo. Todas estas características del campo de velocidad también aparecen en los modelos teóricos de los flujos de sustentación. [85] [86]
La presión también se ve afectada en una amplia zona, en un patrón de presión no uniforme llamado campo de presión . Cuando un perfil aerodinámico produce sustentación, hay una región difusa de baja presión por encima del perfil aerodinámico y, por lo general, una región difusa de alta presión por debajo, como lo ilustran las isobaras (curvas de presión constante) en el dibujo. La diferencia de presión que actúa sobre la superficie es solo una parte de este campo de presión. [87]
La presión no uniforme ejerce fuerzas sobre el aire en la dirección de mayor presión a menor presión. La dirección de la fuerza es diferente en diferentes lugares alrededor del perfil aerodinámico, como lo indican las flechas en bloque en el campo de presión alrededor de una figura de perfil aerodinámico . El aire por encima del perfil aerodinámico es empujado hacia el centro de la región de baja presión, y el aire por debajo del perfil aerodinámico es empujado hacia afuera desde el centro de la región de alta presión.
Según la segunda ley de Newton , una fuerza hace que el aire se acelere en la dirección de la fuerza. Por lo tanto, las flechas verticales en el diagrama del campo de presión adjunto indican que el aire por encima y por debajo del perfil aerodinámico se acelera o se desvía hacia abajo, y que la presión no uniforme es, por lo tanto, la causa de la desviación hacia abajo del flujo visible en la animación del flujo. Para producir esta desviación hacia abajo, el perfil aerodinámico debe tener un ángulo de ataque positivo o tener una comba positiva suficiente. Tenga en cuenta que la desviación hacia abajo del flujo sobre la superficie superior es el resultado de que el aire es empujado hacia abajo por una presión mayor por encima que por debajo. Algunas explicaciones que hacen referencia al "efecto Coandă" sugieren que la viscosidad juega un papel clave en la desviación hacia abajo, pero esto es falso. (Véase más arriba en "Controversia sobre el efecto Coandă").
Las flechas que se encuentran delante del perfil aerodinámico indican que el flujo que se encuentra delante del perfil aerodinámico se desvía hacia arriba, y las flechas que se encuentran detrás del perfil aerodinámico indican que el flujo que se encuentra detrás se desvía nuevamente hacia arriba, después de desviarse hacia abajo sobre el perfil aerodinámico. Estas desviaciones también son visibles en la animación del flujo.
Las flechas que se encuentran delante y detrás del perfil aerodinámico también indican que el aire que pasa a través de la región de baja presión por encima del perfil aerodinámico se acelera al entrar y se desacelera al salir. El aire que pasa a través de la región de alta presión por debajo del perfil aerodinámico se desacelera al entrar y luego se acelera al salir. Por lo tanto, la presión no uniforme también es la causa de los cambios en la velocidad del flujo visibles en la animación del flujo. Los cambios en la velocidad del flujo son consistentes con el principio de Bernoulli , que establece que en un flujo constante sin viscosidad, una presión más baja significa una velocidad más alta y una presión más alta significa una velocidad más baja.
Por lo tanto, los cambios en la dirección y la velocidad del flujo son causados directamente por la presión no uniforme. Pero esta relación de causa y efecto no es unidireccional; funciona en ambas direcciones simultáneamente. El movimiento del aire se ve afectado por las diferencias de presión, pero la existencia de las diferencias de presión depende del movimiento del aire. La relación es, por lo tanto, una interacción mutua o recíproca: el flujo de aire cambia de velocidad o dirección en respuesta a las diferencias de presión, y las diferencias de presión se mantienen gracias a la resistencia del aire a cambiar de velocidad o dirección. [88] Una diferencia de presión solo puede existir si hay algo contra lo que pueda empujar. En el flujo aerodinámico, la diferencia de presión empuja contra la inercia del aire, ya que el aire es acelerado por la diferencia de presión. [89] Esta es la razón por la que la masa del aire es parte del cálculo y por la que la sustentación depende de la densidad del aire.
Para mantener la diferencia de presión que ejerce la fuerza de sustentación sobre las superficies de los perfiles aerodinámicos es necesario mantener un patrón de presión no uniforme en una amplia zona alrededor de los perfiles aerodinámicos. Esto requiere mantener diferencias de presión tanto en dirección vertical como horizontal, y por lo tanto requiere tanto un giro descendente del flujo como cambios en la velocidad del flujo según el principio de Bernoulli. Las diferencias de presión y los cambios en la dirección y velocidad del flujo se sostienen mutuamente en una interacción mutua. Las diferencias de presión se desprenden naturalmente de la segunda ley de Newton y del hecho de que el flujo a lo largo de la superficie sigue los contornos predominantemente descendentes del perfil aerodinámico. Y el hecho de que el aire tenga masa es crucial para la interacción. [90]
Para producir una fuerza de sustentación es necesario tanto girar el flujo hacia abajo como cambiar su velocidad de acuerdo con el principio de Bernoulli. Cada una de las explicaciones simplificadas que se ofrecen en Explicaciones físicas simplificadas de la sustentación en un perfil aerodinámico se queda corta al intentar explicar la sustentación en función de uno u otro factor, explicando así solo una parte del fenómeno y dejando otras partes sin explicar. [91]
Cuando se conoce la distribución de la presión sobre la superficie del perfil aerodinámico, para determinar la sustentación total es necesario sumar las contribuciones a la fuerza de presión de los elementos locales de la superficie, cada uno con su propio valor local de presión. La sustentación total es, por lo tanto, la integral de la presión, en la dirección perpendicular al flujo de campo lejano, sobre la superficie del perfil aerodinámico. [92]
dónde:
La ecuación de elevación anterior no tiene en cuenta las fuerzas de fricción de la piel , que son pequeñas en comparación con las fuerzas de presión.
Al utilizar el vector i en sentido de la corriente paralelo a la corriente libre en lugar de k en la integral, obtenemos una expresión para la resistencia de presión D p (que incluye la parte de presión de la resistencia del perfil y, si el ala es tridimensional, la resistencia inducida). Si utilizamos el vector j en sentido de la envergadura , obtenemos la fuerza lateral Y .
La validez de esta integración generalmente requiere que la forma del perfil aerodinámico sea una curva cerrada que sea suave por partes .
La sustentación depende del tamaño del ala y es aproximadamente proporcional a su superficie. A menudo resulta conveniente cuantificar la sustentación de un perfil aerodinámico determinado mediante su coeficiente de sustentación , que define su sustentación total en términos de una unidad de superficie del ala.
Si se da el valor de para un ala en un ángulo de ataque específico, entonces se puede determinar la sustentación producida para condiciones de flujo específicas: [93]
dónde
Las teorías matemáticas de la sustentación se basan en la mecánica de fluidos continuos, asumiendo que el aire fluye como un fluido continuo. [95] [96] [97] La sustentación se genera de acuerdo con los principios fundamentales de la física, siendo los más relevantes los tres principios siguientes: [98]
Debido a que un perfil aerodinámico afecta el flujo en un área amplia a su alrededor, las leyes de conservación de la mecánica se incorporan en forma de ecuaciones diferenciales parciales combinadas con un conjunto de requisitos de condiciones de contorno que el flujo debe satisfacer en la superficie del perfil aerodinámico y lejos del perfil aerodinámico. [99]
Para predecir la sustentación es necesario resolver las ecuaciones para una forma de perfil aerodinámico particular y una condición de flujo, lo que generalmente requiere cálculos que son tan voluminosos que solo son prácticos en una computadora, mediante los métodos de dinámica de fluidos computacional (CFD). Determinar la fuerza aerodinámica neta a partir de una solución de CFD requiere "sumar" ( integrar ) las fuerzas debidas a la presión y al esfuerzo cortante determinadas por la CFD sobre cada elemento de la superficie del perfil aerodinámico, como se describe en "integración de presión".
Las ecuaciones de Navier-Stokes (NS) proporcionan la teoría de sustentación potencialmente más precisa, pero en la práctica, capturar los efectos de la turbulencia en la capa límite de la superficie del perfil aerodinámico requiere sacrificar cierta precisión y requiere el uso de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS). También se han desarrollado teorías más simples pero menos precisas.
Estas ecuaciones representan la conservación de la masa, la segunda ley de Newton (conservación del momento), la conservación de la energía, la ley newtoniana para la acción de la viscosidad , la ley de conducción de calor de Fourier , una ecuación de estado que relaciona la densidad, la temperatura y la presión, y fórmulas para la viscosidad y la conductividad térmica del fluido. [100] [101]
En principio, las ecuaciones NS, combinadas con condiciones límite de ausencia de flujo a través de la superficie del perfil aerodinámico y de deslizamiento en ella, podrían utilizarse para predecir la sustentación en cualquier situación de vuelo atmosférico ordinario con gran precisión. Sin embargo, en situaciones prácticas, los flujos de aire siempre implican turbulencia en la capa límite próxima a la superficie del perfil aerodinámico, al menos sobre la parte trasera del perfil aerodinámico. Para predecir la sustentación mediante la solución de las ecuaciones NS en su forma original, sería necesario realizar cálculos que resolvieran los detalles de la turbulencia, hasta el más pequeño de los remolinos. Esto todavía no es posible, ni siquiera en los ordenadores más potentes. [102] Por tanto, en principio, las ecuaciones NS proporcionan una teoría completa y muy precisa de la sustentación, pero la predicción práctica de la sustentación requiere que los efectos de la turbulencia se modelen en las ecuaciones RANS en lugar de calcularse directamente.
Estas son las ecuaciones NS con los movimientos de turbulencia promediados en el tiempo y los efectos de la turbulencia en el flujo promediado en el tiempo representados por el modelado de turbulencia (un conjunto adicional de ecuaciones basado en una combinación de análisis dimensional e información empírica sobre cómo la turbulencia afecta una capa límite en un sentido promedio promediado en el tiempo). [103] [104] Una solución RANS consiste en el vector de velocidad promediado en el tiempo, la presión, la densidad y la temperatura definidos en una cuadrícula densa de puntos que rodean el perfil aerodinámico.
La cantidad de cálculo necesaria es una fracción minúscula (milmillonésima) [102] de lo que se requeriría para resolver todos los movimientos de turbulencia en un cálculo NS bruto, y con grandes computadoras disponibles ahora es práctico realizar cálculos RANS para aviones completos en tres dimensiones. Debido a que los modelos de turbulencia no son perfectos, la precisión de los cálculos RANS es imperfecta, pero es adecuada para el diseño práctico de aeronaves. La sustentación predicha por RANS generalmente está dentro de un pequeño porcentaje de la sustentación real.
Las ecuaciones de Euler son ecuaciones NS sin los efectos de viscosidad, conducción de calor y turbulencia. [105] Al igual que con una solución RANS, una solución de Euler consiste en el vector de velocidad, presión, densidad y temperatura definidos en una cuadrícula densa de puntos que rodean el perfil aerodinámico. Si bien las ecuaciones de Euler son más simples que las ecuaciones NS, no se prestan a soluciones analíticas exactas.
Una mayor simplificación se puede lograr mediante la teoría del flujo potencial , que reduce el número de incógnitas a determinar y hace posibles soluciones analíticas en algunos casos, como se describe a continuación.
Tanto los cálculos de Euler como los de flujo potencial predicen la distribución de la presión en las superficies aerodinámicas de manera aproximadamente correcta para ángulos de ataque por debajo del punto de pérdida, donde podrían perder la sustentación total en hasta un 10-20%. En ángulos de ataque por encima del punto de pérdida, los cálculos no viscosos no predicen que se ha producido la pérdida y, como resultado, sobreestiman enormemente la sustentación.
En la teoría del flujo potencial, se supone que el flujo es irrotacional , es decir, que las pequeñas parcelas de fluido no tienen una tasa neta de rotación. Matemáticamente, esto se expresa mediante la afirmación de que el rizo del campo del vector de velocidad es en todas partes igual a cero. Los flujos irrotacionales tienen la propiedad conveniente de que la velocidad se puede expresar como el gradiente de una función escalar llamada potencial . Un flujo representado de esta manera se llama flujo potencial. [106] [107] [108] [109]
En la teoría del flujo potencial, se supone que el flujo es incompresible. La teoría del flujo potencial incompresible tiene la ventaja de que la ecuación ( ecuación de Laplace ) que se debe resolver para el potencial es lineal , lo que permite construir soluciones por superposición de otras soluciones conocidas. La ecuación del flujo potencial incompresible también se puede resolver mediante el mapeo conforme , un método basado en la teoría de funciones de una variable compleja. A principios del siglo XX, antes de que existieran las computadoras, se utilizó el mapeo conforme para generar soluciones a la ecuación del flujo potencial incompresible para una clase de formas de perfil aerodinámico idealizadas, lo que proporcionó algunas de las primeras predicciones teóricas prácticas de la distribución de presión en un perfil aerodinámico de sustentación.
La solución de la ecuación de potencial determina directamente sólo el campo de velocidad. El campo de presión se deduce del campo de velocidad mediante la ecuación de Bernoulli.
La aplicación de la teoría del flujo potencial a un flujo de sustentación requiere un tratamiento especial y una suposición adicional. El problema surge porque la sustentación en un perfil aerodinámico en un flujo no viscoso requiere circulación en el flujo alrededor del perfil aerodinámico (ver "Circulación y el teorema de Kutta-Joukowski" a continuación), pero una única función potencial que sea continua en todo el dominio alrededor del perfil aerodinámico no puede representar un flujo con circulación distinta de cero. La solución a este problema es introducir un corte de rama , una curva o línea desde algún punto en la superficie del perfil aerodinámico hasta una distancia infinita, y permitir un salto en el valor del potencial a través del corte. El salto en el potencial impone una circulación en el flujo igual al salto de potencial y, por lo tanto, permite representar una circulación distinta de cero. Sin embargo, el salto de potencial es un parámetro libre que no está determinado por la ecuación de potencial ni por las otras condiciones de contorno, y, por lo tanto, la solución es indeterminada. Existe una solución de flujo potencial para cualquier valor de la circulación y cualquier valor de sustentación. Una forma de resolver esta indeterminación es imponer la condición de Kutta , [110] [111] que es que, de todas las soluciones posibles, la solución físicamente razonable es aquella en la que el flujo sale del borde de salida suavemente. Los esquemas de líneas de corriente ilustran un patrón de flujo con sustentación cero, en el que el flujo rodea el borde de salida y sale de la superficie superior por delante del borde de salida, y otro patrón de flujo con sustentación positiva, en el que el flujo sale suavemente por el borde de salida de acuerdo con la condición de Kutta.
Esta es la teoría del flujo potencial con la suposición adicional de que el perfil aerodinámico es muy delgado y el ángulo de ataque es pequeño. [112] La teoría linealizada predice el carácter general de la distribución de la presión del perfil aerodinámico y cómo se ve influenciada por la forma del perfil aerodinámico y el ángulo de ataque, pero no es lo suficientemente precisa para el trabajo de diseño. Para un perfil aerodinámico 2D, dichos cálculos se pueden realizar en una fracción de segundo en una hoja de cálculo en una PC.
Cuando un perfil aerodinámico genera sustentación, varios componentes del campo de velocidad general contribuyen a una circulación neta de aire a su alrededor: el flujo ascendente delante del perfil aerodinámico, el flujo acelerado arriba, el flujo desacelerado abajo y el flujo descendente detrás.
La circulación puede entenderse como la cantidad total de "giro" (o vorticidad ) de un fluido no viscoso alrededor del perfil aerodinámico.
El teorema de Kutta-Joukowski relaciona la sustentación por unidad de ancho de envergadura de un perfil aerodinámico bidimensional con este componente de circulación del flujo. [85] [113] [114] Es un elemento clave en una explicación de la sustentación que sigue el desarrollo del flujo alrededor de un perfil aerodinámico cuando el perfil aerodinámico comienza su movimiento desde el reposo y se forma un vórtice inicial y se deja atrás, lo que lleva a la formación de circulación alrededor del perfil aerodinámico. [115] [116] [117] La sustentación se infiere entonces del teorema de Kutta-Joukowski. Esta explicación es en gran parte matemática, y su progresión general se basa en la inferencia lógica, no en la causa y el efecto físicos. [118]
El modelo de Kutta-Joukowski no predice cuánta circulación o sustentación produce un perfil aerodinámico bidimensional. Calcular la sustentación por unidad de envergadura utilizando el modelo de Kutta-Joukowski requiere un valor conocido para la circulación. En particular, si se cumple la condición de Kutta, en la que el punto de estancamiento trasero se mueve hacia el borde de salida del perfil aerodinámico y se fija allí durante la duración del vuelo, la sustentación se puede calcular teóricamente a través del método de mapeo conforme.
La sustentación generada por un perfil aerodinámico convencional está determinada tanto por su diseño como por las condiciones de vuelo, como la velocidad de avance, el ángulo de ataque y la densidad del aire. La sustentación se puede aumentar incrementando artificialmente la circulación, por ejemplo, mediante el soplado de la capa límite o el uso de flaps soplados . En el rotor Flettner, todo el perfil aerodinámico es circular y gira sobre un eje longitudinal para crear la circulación.
El flujo alrededor de un ala tridimensional implica importantes problemas adicionales, especialmente relacionados con las puntas de las alas. Para un ala de baja relación de aspecto , como un ala delta típica , las teorías bidimensionales pueden proporcionar un modelo deficiente y los efectos de flujo tridimensionales pueden dominar. [119] Incluso para alas de alta relación de aspecto, los efectos tridimensionales asociados con una envergadura finita pueden afectar toda la envergadura, no solo cerca de las puntas.
El gradiente de presión vertical en las puntas de las alas hace que el aire fluya lateralmente, hacia afuera desde debajo del ala, luego hacia arriba y de regreso sobre la superficie superior. Esto reduce el gradiente de presión en la punta del ala, por lo tanto también reduce la sustentación. La sustentación tiende a disminuir en la dirección de la envergadura desde la raíz hasta la punta, y las distribuciones de presión alrededor de las secciones del perfil aerodinámico cambian en consecuencia en la dirección de la envergadura. Las distribuciones de presión en planos perpendiculares a la dirección de vuelo tienden a parecerse a la ilustración de la derecha. [120] Esta distribución de presión que varía en la envergadura se mantiene mediante una interacción mutua con el campo de velocidad. El flujo debajo del ala se acelera hacia afuera, el flujo fuera de las puntas se acelera hacia arriba y el flujo sobre el ala se acelera hacia adentro, lo que da como resultado el patrón de flujo ilustrado a la derecha. [121]
Hay más giro hacia abajo del flujo que el que habría en un flujo bidimensional con la misma forma del perfil aerodinámico y sustentación seccional, y se requiere un ángulo de ataque seccional más alto para lograr la misma sustentación en comparación con un flujo bidimensional. [122] El ala está volando efectivamente en una corriente descendente de su propia creación, como si el flujo de corriente libre estuviera inclinado hacia abajo, con el resultado de que el vector de fuerza aerodinámica total está inclinado ligeramente hacia atrás en comparación con lo que sería en dos dimensiones. El componente hacia atrás adicional del vector de fuerza se llama resistencia inducida por sustentación .
La diferencia en el componente de velocidad en el sentido de la envergadura por encima y por debajo del ala (entre estar en la dirección interior por encima y en la dirección exterior por debajo) persiste en el borde de salida y en la estela aguas abajo. Después de que el flujo sale del borde de salida, esta diferencia de velocidad se produce a través de una capa de cizallamiento relativamente delgada llamada lámina de vórtice.
El flujo de la punta del ala que sale del ala crea un vórtice de punta. A medida que la lámina principal del vórtice pasa aguas abajo del borde de salida, se enrolla en sus bordes exteriores y se fusiona con los vórtices de la punta. La combinación de los vórtices de la punta del ala y las láminas de vórtices que los alimentan se denomina estela de vórtice.
Además de la vorticidad en la estela del vórtice posterior, existe vorticidad en la capa límite del ala, llamada "vorticidad ligada", que conecta las capas posteriores de los dos lados del ala en un sistema de vórtices con la forma general de una herradura. La forma de herradura del sistema de vórtices fue reconocida por el pionero aeronáutico británico Lanchester en 1907. [123]
Dada la distribución de la vorticidad límite y la vorticidad en la estela, la ley de Biot-Savart (una relación de cálculo vectorial) se puede utilizar para calcular la perturbación de la velocidad en cualquier parte del campo, causada por la sustentación en el ala. Las teorías aproximadas para la distribución de la sustentación y la resistencia inducida por la sustentación de las alas tridimensionales se basan en dicho análisis aplicado al sistema de vórtices en herradura del ala. [124] [125] En estas teorías, la vorticidad límite suele idealizarse y se supone que reside en la superficie de curvatura dentro del ala.
Como en estas teorías la velocidad se deduce de la vorticidad, algunos autores describen la situación para implicar que la vorticidad es la causa de las perturbaciones de la velocidad, utilizando términos como "la velocidad inducida por el vórtice", por ejemplo. [126] Pero atribuir una causa y efecto mecánico entre la vorticidad y la velocidad de esta manera no es consistente con la física. [127] [128] [129] Las perturbaciones de la velocidad en el flujo alrededor de un ala son de hecho producidas por el campo de presión. [130]
El flujo alrededor de un perfil aerodinámico de sustentación debe satisfacer la segunda ley de Newton con respecto a la conservación del momento, tanto localmente en cada punto del campo de flujo como en un sentido integrado sobre cualquier región extendida del flujo. Para una región extendida, la segunda ley de Newton toma la forma del teorema de momento para un volumen de control , donde un volumen de control puede ser cualquier región del flujo elegida para el análisis. El teorema de momento establece que la fuerza integrada ejercida en los límites del volumen de control (una integral de superficie ), es igual a la tasa de cambio temporal integrada ( derivada material ) del momento de las parcelas de fluido que pasan por el interior del volumen de control. Para un flujo constante, esto se puede expresar en forma de la integral de superficie neta del flujo de momento a través del límite. [131]
El flujo de sustentación alrededor de un perfil aerodinámico 2D se analiza generalmente en un volumen de control que rodea completamente el perfil aerodinámico, de modo que el límite interior del volumen de control es la superficie del perfil aerodinámico, donde la fuerza descendente por unidad de envergadura se ejerce sobre el fluido por el perfil aerodinámico. El límite exterior suele ser un círculo grande o un rectángulo grande. En este límite exterior distante del perfil aerodinámico, la velocidad y la presión están bien representadas por la velocidad y la presión asociadas con un flujo uniforme más un vórtice, y la tensión viscosa es insignificante, de modo que la única fuerza que debe integrarse sobre el límite exterior es la presión. [132] [133] [134] La velocidad de la corriente libre suele suponerse horizontal, con sustentación verticalmente hacia arriba, de modo que el momento vertical es el componente de interés.
En el caso de aire libre (sin plano de tierra), la fuerza ejercida por el perfil aerodinámico sobre el fluido se manifiesta en parte como flujos de momento y en parte como diferencias de presión en el límite exterior, en proporciones que dependen de la forma del límite exterior, como se muestra en el diagrama de la derecha. Para un rectángulo horizontal plano que es mucho más largo que alto, los flujos de momento vertical a través de la parte delantera y trasera son insignificantes, y la sustentación se explica completamente por las diferencias de presión integradas en la parte superior e inferior. [132] Para un cuadrado o un círculo, los flujos de momento y las diferencias de presión explican la mitad de la sustentación cada uno. [132] [133] [134] Para un rectángulo vertical que es mucho más alto que ancho, las fuerzas de presión desequilibradas en la parte superior e inferior son insignificantes, y la sustentación se explica completamente por los flujos de momento, con un flujo de momento ascendente que ingresa al volumen de control a través del frente que representa la mitad de la sustentación, y un flujo de momento descendente que sale del volumen de control a través de la parte posterior que representa la otra mitad. [132]
Los resultados de todos los análisis de volumen de control descritos anteriormente son consistentes con el teorema de Kutta-Joukowski descrito anteriormente. Tanto el volumen de control del rectángulo alto como el del círculo se han utilizado en las derivaciones del teorema. [133] [134]
Un perfil aerodinámico produce un campo de presión en el aire circundante, como se explica en el apartado "El flujo más amplio alrededor del perfil aerodinámico" anterior. Las diferencias de presión asociadas con este campo se reducen gradualmente, volviéndose muy pequeñas a grandes distancias, pero nunca desapareciendo del todo. Debajo del avión, el campo de presión persiste como una perturbación de presión positiva que llega al suelo, formando un patrón de presión ligeramente superior a la ambiental en el suelo, como se muestra a la derecha. [135] Aunque las diferencias de presión son muy pequeñas muy por debajo del avión, se extienden sobre un área amplia y suman una fuerza sustancial. Para un vuelo estable y nivelado, la fuerza integrada debida a las diferencias de presión es igual a la sustentación aerodinámica total del avión y al peso del avión. Según la tercera ley de Newton, esta fuerza de presión ejercida sobre el suelo por el aire se corresponde con una fuerza ascendente igual y opuesta ejercida sobre el aire por el suelo, que compensa toda la fuerza descendente ejercida sobre el aire por el avión. La fuerza neta debida a la sustentación, que actúa sobre la atmósfera en su conjunto, es por lo tanto cero, y por lo tanto no hay acumulación integrada de momento vertical en la atmósfera, como lo señaló Lanchester al principio del desarrollo de la aerodinámica moderna. [136]
Una explicación de cómo un ala . . proporciona sustentación es que, como resultado de la forma del perfil aerodinámico, el aire fluye más rápido por la parte superior que por la inferior porque tiene que viajar más lejos. Por supuesto, con nuestras velas de perfil aerodinámico delgado, la distancia a lo largo de la parte superior es la misma que a lo largo de la parte inferior, por lo que esta explicación de la sustentación falla.
{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)se puede explicar en términos de presión o en términos de momento y que las dos explicaciones son de algún modo "equivalentes". Este planteamiento de "o esto o aquello" también es erróneo.
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link){{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)The first thing that is wrong is that the principle of equal transit times is not true for a wing with lift.
It is then assumed that these two elements must meet up at the trailing edge, and because the running distance over the top surface of the airfoil is longer than that over the bottom surface, the element over the top surface must move faster. This is simply not true
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link){{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link){{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link){{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)