Padé aproximado

'Mejor' aproximación de una función mediante una función racional de orden dado

Henri Padé

En matemáticas , una aproximación de Padé es la "mejor" aproximación de una función cerca de un punto específico mediante una función racional de orden dado. Con esta técnica, la serie de potencias de la aproximación concuerda con la serie de potencias de la función que está aproximando. La técnica fue desarrollada alrededor de 1890 por Henri Padé , pero se remonta a Georg Frobenius , quien introdujo la idea e investigó las características de las aproximaciones racionales de series de potencias.

El aproximante de Padé a menudo da una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor , y todavía puede funcionar donde la serie de Taylor no converge . Por estas razones, los aproximantes de Padé se utilizan ampliamente en cálculos informáticos . También se han utilizado como funciones auxiliares en la aproximación diofántica y la teoría de números trascendentales , aunque para obtener resultados precisos, los métodos ad hoc, en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé, normalmente los reemplazan. Dado que un aproximante de Padé es una función racional, puede aparecer un punto singular artificial como aproximación, pero esto se puede evitar mediante el análisis de Borel-Padé.

La razón por la que la aproximación de Padé tiende a ser una mejor aproximación que una serie de Taylor truncada es clara desde el punto de vista del método de suma de puntos múltiples. Dado que hay muchos casos en los que la expansión asintótica en el infinito se convierte en 0 o en una constante, se puede interpretar como la "aproximación de Padé incompleta de dos puntos", en la que la aproximación de Padé ordinaria mejora el método de truncamiento de una serie de Taylor.

Definición

Dada una función f y dos enteros m ≥ 0 y n ≥ 1 , la aproximación de Padé de orden [ m / n ] es la función racional

$${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$$que concuerda con f ( x ) hasta el orden más alto posible, lo que equivale a $${\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}}$$

De manera equivalente, si se desarrolla en una serie de Maclaurin ( serie de Taylor en 0), sus primeros términos serían iguales a los primeros términos de , y por lo tanto ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }$$

Cuando existe, el aproximante de Padé es único como serie de potencia formal para los m y n dados . ^[1]

La aproximación de Padé definida anteriormente también se denota como $${\displaystyle [m/n]_{f}(x).}$$

Cálculo

Para x dado , las aproximaciones de Padé se pueden calcular mediante el algoritmo épsilon de Wynn ^[2] y también otras transformaciones de secuencia ^[3] a partir de las sumas parciales de las series de Taylor de f , es decir, tenemos que f también puede ser una serie de potencia formal y, por lo tanto, las aproximaciones de Padé también se pueden aplicar a la suma de series divergentes . $${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$$ $${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$$

Una forma de calcular un aproximador de Padé es a través del algoritmo euclidiano extendido para el máximo común divisor del polinomio . ^[4] La relación es equivalente a la existencia de algún factor tal que puede interpretarse como la identidad de Bézout de un paso en el cálculo del máximo común divisor extendido de los polinomios y . $${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}$$ ${\displaystyle K(x)}$ $${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$$ ${\displaystyle T_{m+n}(x)}$ ${\displaystyle x^{m+n+1}}$

Recordemos que, para calcular el máximo común divisor de dos polinomios p y q , se calcula mediante división larga la secuencia de resto k = 1, 2, 3, ... con , hasta . Para las identidades de Bézout del máximo común divisor extendido se calculan simultáneamente las dos secuencias de polinomios para obtener en cada paso la identidad de Bézout $${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$$ ${\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}$ ${\displaystyle r_{k+1}=0}$ $${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$$ $${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$$

Para la aproximación [ m / n ] , se lleva a cabo el algoritmo euclidiano extendido y se detiene en el último instante que tiene grado n o menor. $${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$$ ${\displaystyle v_{k}}$

Luego, los polinomios dan la aproximación de Padé [ m / n ] . Si se calcularan todos los pasos del cálculo del máximo común divisor extendido, se obtendría una antidiagonal de la tabla de Padé . ${\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}$

Función zeta de Riemann-Padé

Para estudiar la sumatoria de una serie divergente , digamos que puede ser útil introducir la función zeta de Padé o simplemente racional como donde es la aproximación de Padé de orden ( m , n ) de la función f ( x ) . El valor de regularización zeta en s = 0 se toma como la suma de la serie divergente. $${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}$$ $${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$$ $${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)}$$

La ecuación funcional de esta función zeta de Padé es donde a _j y b _j son los coeficientes en la aproximación de Padé. El subíndice '0' significa que la función de Padé es de orden [0/0] y, por lo tanto, tenemos la función zeta de Riemann . $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}$$

Método DLog Padé

Los aproximantes de Padé se pueden utilizar para extraer puntos críticos y exponentes de funciones. ^{[5] [6]} En termodinámica, si una función f ( x ) se comporta de forma no analítica cerca de un punto x = r como , se llama a x = r un punto crítico y p el exponente crítico asociado de f . Si se conocen suficientes términos de la expansión en serie de f , se pueden extraer aproximadamente los puntos críticos y los exponentes críticos de los polos y residuos respectivamente de los aproximantes de Padé , donde . ${\displaystyle f(x)\sim |x-r|^{p}}$ ${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$ ${\displaystyle g=f'/f}$

Generalizaciones

Una aproximación de Padé aproxima una función en una variable. Una aproximación en dos variables se denomina aproximación de Chisholm (por JSR Chisholm ), ^[7] en múltiples variables se denomina aproximación de Canterbury (por Graves-Morris en la Universidad de Kent). ^[8]

Aproximante de Padé de dos puntos

La aproximación de Padé convencional está determinada a reproducir la expansión de Maclaurin hasta un orden dado. Por lo tanto, la aproximación en el valor aparte del punto de expansión puede ser deficiente. Esto se evita mediante la aproximación de Padé de 2 puntos, que es un tipo de método de suma multipunto. ^[9] En , considere un caso en el que una función que se expresa por un comportamiento asintótico : y en , un comportamiento asintótico adicional : ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{0}(x)}$ $${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}$$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle f_{\infty }(x)}$ $${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}$$

Al seleccionar el comportamiento principal de , se pueden encontrar funciones aproximadas que reproduzcan simultáneamente el comportamiento asintótico mediante el desarrollo de la aproximación de Padé en varios casos. Como resultado, en el punto , donde la precisión de la aproximación puede ser la peor en la aproximación de Padé ordinaria, se garantiza una buena precisión del aproximador de Padé de 2 puntos. Por lo tanto, el aproximador de Padé de 2 puntos puede ser un método que proporcione una buena aproximación globalmente para . ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle x=0\sim \infty }$

En los casos en que se expresan mediante polinomios o series de potencias negativas, función exponencial, función logarítmica o , podemos aplicar la aproximación de Padé de 2 puntos a . Existe un método para utilizar esto para dar una solución aproximada de una ecuación diferencial con alta precisión. ^[9] Además, para los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, el primer cero no trivial se puede estimar con cierta precisión a partir del comportamiento asintótico en el eje real. ^[9] ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$ ${\displaystyle x\ln x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Aproximante de Padé multipunto

Una extensión adicional de la aproximación de Padé de 2 puntos es la aproximación de Padé de múltiples puntos. ^[9] Este método trata los puntos de singularidad de una función que se va a aproximar. Consideremos los casos en los que las singularidades de una función se expresan con índice por ${\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n_{j}}$ $${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}$$

Además de la aproximación de Padé de 2 puntos, que incluye información en , este método aproxima para reducir la propiedad de divergencia en . Como resultado, dado que se captura la información de la peculiaridad de la función, la aproximación de una función se puede realizar con mayor precisión. ${\displaystyle x=0,x\to \infty }$ ${\displaystyle x\sim x_{j}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplos

pecado( x ) ^[10]

$${\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}$$

exp( x ) ^[11]

$${\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}$$

en(1+ x ) ^[12]

$${\displaystyle \ln(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}$$

Jacobi sn( z |3) ^[13]

$${\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}$$

Bessel J ₅ ( x )

$${\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}$$

erf( x )

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}$$

Fresnel C ( x )

$${\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}[phone]x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}[phone]}}}$$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Mesa de padé
• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I  : fórmula para estimar la función senoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoría de aproximación  : teoría para obtener cálculos matemáticos inexactos aceptablemente cercanos
• Aproximación de funciones  : aproximación de una función arbitraria con una función que se comporta bien

Referencias

1. "Aproximación de Padé". Wolfram MathWorld .
2. Teorema 1 en Wynn, Peter (marzo de 1966). "Sobre la convergencia y estabilidad del algoritmo Epsilon". Revista SIAM sobre análisis numérico . 3 (1): 91–122. Bibcode :1966SJNA....3...91W. doi :10.1137/0703007. JSTOR  2949688.
3. Brezenski, C. (1996). "Algoritmos de extrapolación y aproximaciones de Padé". Matemáticas numéricas aplicadas . 20 (3): 299–318. CiteSeerX 10.1.1.20.9528 . doi :10.1016/0168-9274(95)00110-7. 
4. Bini, Dario; Pan, Victor (1994). Cálculos polinomiales y matriciales - Volumen 1. Algoritmos fundamentales . Progreso en la ciencia informática teórica. Birkhäuser. Problema 5.2b y algoritmo 5.2 (p. 46). ISBN 978-0-8176-3786-6.
5. Adler, Joan (1994). "Expansiones en serie". Computers in Physics . 8 (3): 287. Bibcode :1994ComPh...8..287A. doi : 10.1063/1.168493 .
6. Baker, GA Jr. (2012). "Padé approximant". Scholarpedia . 7 (6): 9756. Bibcode :2012SchpJ...7.9756B. doi : 10.4249/scholarpedia.9756 .
7. Chisholm, JSR (1973). "Aproximaciones racionales definidas a partir de series de potencias dobles". Matemáticas de la computación . 27 (124): 841–848. doi : 10.1090/S0025-5718-1973-0382928-6 . ISSN  0025-5718.
8. Graves-Morris, PR; Roberts, DE (1975). "Cálculo de aproximantes de Canterbury". Computer Physics Communications . 10 (4): 234–244. Bibcode :1975CoPhC..10..234G. doi :10.1016/0010-4655(75)90068-5.
9. Ueoka, Yoshiki. Introducción al método de suma de multipuntos Matemáticas aplicadas modernas que conectan el aquí y el infinito más allá: desde la expansión de Taylor hasta la aplicación de ecuaciones diferenciales.
10. "Aproximación de Padé de sen(x)". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 16 de enero de 2022 .
11. "Aproximación de Padé de exp(x)". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 3 de enero de 2024 .
12. "Aproximación de Padé de log(1+x)". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 16 de septiembre de 2023 .
13. "Aproximación de Padé de sn(x|3)". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 16 de enero de 2022 .

Literatura

• Baker, GA, Jr.; y Graves-Morris, P. Padé Approximants . Cambridge UP , 1996.
• Baker, GA, Jr. Aproximación de Padé, Scholarpedia, 7(6):9756.
• Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. Métodos de extrapolación. Teoría y práctica . Holanda Septentrional , 1991. ISBN 978-0444888143 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 5.12 Aproximaciones de Padé", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 , consultado el 9 de agosto de 2011.
• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle)]. Volumen 1881, número 90, páginas 1 a 17.
• Gragg, WB; La tabla de Pade y su relación con ciertos algoritmos de análisis numérico [SIAM Review], vol. 14, núm. 1, 1972, págs. 1–62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fracciones rationelles , Tesis, [Ann. Escuela Nor. (3), 9, 1892, págs. 1–93 suplemento.
• Wynn, P. (1966), "Sobre los sistemas de recursiones que se obtienen entre los cocientes de la tabla de Padé", Numerische Mathematik , 8 (3): 264–269, doi :10.1007/BF02162562, S2CID  123789548.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Padé aproximado". MundoMatemático .
• Aproximaciones de Padé, Oleksandr Pavlyk, El Proyecto de Demostraciones Wolfram .
• Resumen del análisis de datosLibro: Aproximación de Pade, Rudolf K. Bock Laboratorio Europeo de Física de Partículas , CERN .
• Sinewave, Scott Dattalo, último acceso 2010-11-11.
• Función de MATLAB para la aproximación de Padé de modelos con retrasos temporales.