En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , la antiderivada , o primitiva , de una función de valor complejo g es una función cuya derivada compleja es g . Más precisamente, dado un conjunto abierto en el plano complejo y una función, la antiderivada de es una función que satisface .
Como tal, este concepto es la versión de variable compleja de la antiderivada de una función de valor real .
La derivada de una función constante es la función cero. Por lo tanto, cualquier función constante es una antiderivada de la función cero. Si es un conjunto conexo , entonces las funciones constantes son las únicas antiderivadas de la función cero. En caso contrario, una función es una antiderivada de la función cero si y solo si es constante en cada componente conexo de (esas constantes no necesitan ser iguales).
Esta observación implica que si una función tiene una antiderivada, entonces esa antiderivada es única hasta la adición de una función que sea constante en cada componente conexo de .
Según la fórmula integral de Cauchy , que muestra que una función diferenciable es de hecho infinitamente diferenciable, una función debe ser en sí misma diferenciable si tiene una antiderivada , porque si entonces es diferenciable y, por lo tanto, existe.
Se puede caracterizar la existencia de antiderivadas mediante integrales de trayectoria en el plano complejo, de forma muy similar al caso de las funciones de una variable real. Tal vez no sea sorprendente que g tenga una antiderivada f si y solo si, para cada trayectoria γ de a a b , la integral de trayectoria
De manera equivalente,
para cualquier camino cerrado γ.
Sin embargo, a pesar de esta similitud formal, poseer una antiderivada compleja es una condición mucho más restrictiva que su contraparte real. Si bien es posible que una función real discontinua tenga una antiderivada, las antiderivadas pueden no existir incluso para funciones holomorfas de una variable compleja. Por ejemplo, considere la función recíproca, g ( z ) = 1/ z que es holomorfa en el plano perforado C \{0}. Un cálculo directo muestra que la integral de g a lo largo de cualquier círculo que encierra el origen no es cero. Por lo tanto, g no cumple la condición citada anteriormente. Esto es similar a la existencia de funciones potenciales para campos vectoriales conservativos , en el sentido de que el teorema de Green solo puede garantizar la independencia de la trayectoria cuando la función en cuestión está definida en una región simplemente conexa , como en el caso del teorema integral de Cauchy .
De hecho, la holomorfía se caracteriza por tener una antiderivada localmente , es decir, g es holomorfa si para cada z en su dominio, existe algún vecindario U de z tal que g tiene una antiderivada en U. Además, la holomorfía es una condición necesaria para que una función tenga una antiderivada, ya que la derivada de cualquier función holomorfa es holomorfa.
Varias versiones del teorema integral de Cauchy , un resultado fundamental de la teoría de funciones de Cauchy, que hace un uso intensivo de integrales de trayectoria, proporciona condiciones suficientes bajo las cuales, para una g holomórfica ,
se desvanece para cualquier camino cerrado γ (que puede ser, por ejemplo, que el dominio de g sea simplemente conexo o estrella-convexo).
Primero demostramos que si f es una antiderivada de g sobre U , entonces g tiene la propiedad de integral de trayectoria dada anteriormente. Dado cualquier camino C 1 por partes γ : [ a , b ] → U , se puede expresar la integral de trayectoria de g sobre γ como
Por la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo se tiene entonces
Por lo tanto, la integral de g sobre γ no depende de la trayectoria real γ, sino sólo de sus puntos finales, que es lo que queríamos mostrar.
A continuación, demostramos que si g es holomorfo y la integral de g sobre cualquier camino depende únicamente de los puntos finales, entonces g tiene una antiderivada. Para ello, hallaremos una antiderivada explícitamente.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el dominio U de g es conexo, ya que de lo contrario se puede demostrar la existencia de una antiderivada en cada componente conexo. Con este supuesto, fijemos un punto z 0 en U y para cualquier z en U definamos la función
donde γ es cualquier camino que une z 0 con z . Tal camino existe ya que se supone que U es un conjunto abierto y conexo. La función f está bien definida porque la integral depende solo de los puntos finales de γ.
Que esta f es una antiderivada de g se puede argumentar de la misma manera que en el caso real. Tenemos, para una z dada en U , que debe existir un disco centrado en z y contenido completamente dentro de U . Entonces, para cada w distinto de z dentro de este disco
donde [ z , w ] denota el segmento de línea entre z y w . Por continuidad de g , la expresión final tiende a cero cuando w se acerca a z . En otras palabras, f′ = g .
![{\displaystyle {\begin{alineado}\left|{\frac {f(w)-f(z)}{wz}}-g(z)\right|&=\left|\int _ {z}^ {w}{\frac {g(\zeta )\,d\zeta }{wz}}-\int _{z}^{w}{\frac {g(z)\,d\zeta }{wz} }\right|\\&\leq \int _{z}^{w}{\frac {|g(\zeta )-g(z)|}{|wz|}}\,d\zeta \\& \leq \sup _{\zeta \in [w,z]}|g(\zeta )-g(z)|,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804f9c11dbd70b68c4dbf43b5c8302cf43baf2a2)