El análisis de continuación del espectro (SCA) es una generalización del concepto de series de Fourier a funciones no periódicas de las que solo se ha muestreado un fragmento en el dominio del tiempo.
Recordemos que una serie de Fourier sólo es adecuada para el análisis de funciones periódicas (o de dominio finito) f ( x ) con período 2π. Puede expresarse como una serie infinita de senos:
donde es la amplitud de los armónicos individuales.
En cambio, en SCA , el espectro se descompone en frecuencias discretas optimizadas. En consecuencia, y como se supone que el período de la función muestreada es infinito o aún no se conoce, cada una de las funciones periódicas discretas que componen el fragmento de función muestreada no puede considerarse un múltiplo de la frecuencia fundamental:
Por lo tanto, el SCA no necesariamente genera funciones periódicas, como habría sido el caso en el análisis de Fourier. Para funciones de valor real, la serie SCA se puede escribir como:
donde A n y B n son las amplitudes de la serie. Las amplitudes solo se pueden resolver si la serie de valores se optimiza previamente para una función objetivo deseada (generalmente residuos mínimos ). no es necesariamente el valor promedio en el intervalo muestreado: se podría preferir incluir información predominante sobre el comportamiento del valor de desplazamiento en el dominio del tiempo.
El SCA se ocupa del problema de predicción de la continuación de un espectro de frecuencias más allá de un fragmento de serie temporal muestreado (normalmente estocástico ). A diferencia del análisis de Fourier ordinario, que repite infinitamente un período de función observado o un dominio temporal, el SCA filtra las frecuencias exactas que lo componen y las deja continuar (o preceder) en el dominio temporal. Por ello, en la terminología científica se da preferencia al término continuación en lugar de, por ejemplo, extrapolación .
Se requiere un algoritmo para abordar varios problemas: eliminación de tendencias, descomposición, optimización de la resolución de frecuencia, superposición, transformación y eficiencia computacional.
Dado que la transformada de Fourier discreta está relacionada de manera inherente con el análisis de Fourier, este tipo de análisis espectral no es, por definición, adecuado para la descomposición espectral en SCA. Sin embargo, la DFT (o FFT ) puede proporcionar una aproximación inicial, que a menudo acelera la descomposición.
Después de la descomposición de una frecuencia discreta, se debe filtrar para obtener una resolución óptima (es decir, variando tres parámetros: valor de frecuencia, amplitud y fase).
En comparación con la DFT (o FFT ), que se caracteriza por una resolución espectral perfecta pero una información temporal deficiente, la SCA favorece la información temporal pero produce una mayor dispersión espectral. Esta propiedad muestra dónde se encuentra la fuerza analítica de la SCA. Por ejemplo, la resolución de frecuencia de composición discreta es, por definición, mucho mejor en la SCA que en la DFT.
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}\cos(\omega _{n}x)+B_{n}\sin(\omega _{n}x)\right]+C(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5630b47e6cf274221418e48c566176ce7ee01f2e)
