Prueba de series alternadas

Método utilizado para demostrar que una serie alternada es convergente

En análisis matemático , la prueba de series alternadas es el método utilizado para demostrar que una serie alternada es convergente cuando sus términos (1) disminuyen en valor absoluto y (2) se aproximan a cero en el límite. La prueba fue utilizada por Gottfried Leibniz y a veces se la conoce como prueba de Leibniz , regla de Leibniz o criterio de Leibniz . La prueba solo es suficiente, no necesaria, por lo que algunas series alternadas convergentes pueden fallar la primera parte de la prueba. ^{[1] [2] [3]}

Para una generalización, véase la prueba de Dirichlet . ^{[4] [5] [6]}

Declaración formal

Prueba de series alternadas

Una serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$$

donde todos los _{a n} son positivos o todos los _{a n} son negativos, se llama serie alternada .

La prueba de series alternadas garantiza que una serie alternada converge si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^{[1] [2] [3]}

1. ${\displaystyle |a_{n}|}$disminuye monótonamente ^[a] , es decir, , y ${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$.

Teorema de estimación de series alternadas

Además, sea L la suma de la serie, entonces la suma parcial se aproxima a L con un error acotado por el siguiente término omitido: ${\textstyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$

$${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!}$$

Prueba

Supongamos que se nos da una serie de la forma , donde y para todos los números naturales n . (El caso se deduce tomando el negativo). ^[8] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$ ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

Prueba de la prueba de series alternadas

Probaremos que tanto las sumas parciales con número impar de términos como las de número par de términos convergen al mismo número L . Por lo tanto, la suma parcial habitual también converge a L . ${\textstyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$ ${\textstyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$ ${\textstyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$

Las sumas parciales impares decrecen monótonamente:

$${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}}$$

mientras que las sumas parciales pares aumentan monótonamente:

$${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}}$$

ambos porque a _n disminuye monótonamente con n .

Además, como n es positivo, . Por _lo tanto, podemos reunir estos hechos para formar la siguiente desigualdad sugerente: ${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0}$

$${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$$

Ahora, observe que a ₁ − a ₂ es un límite inferior de la secuencia monótonamente decreciente S _2m+1 , el teorema de convergencia monótona implica que esta secuencia converge cuando m se acerca al infinito. De manera similar, la secuencia de suma parcial par también converge.

Finalmente, deben converger al mismo número porque . ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0}$

Llamemos al límite L , entonces el teorema de convergencia monótona también nos dice información adicional de que

$${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}}$$

para cualquier m . Esto significa que las sumas parciales de una serie alternada también se "alternan" por encima y por debajo del límite final. Más precisamente, cuando hay un número impar (par) de términos, es decir, el último término es un término positivo (negativo), entonces la suma parcial está por encima (por debajo) del límite final.

Esta comprensión conduce inmediatamente a un límite de error de sumas parciales, que se muestra a continuación.

Demostración del teorema de estimación de series alternadas

Nos gustaría demostrarlo dividiéndolo en dos casos. ${\displaystyle \left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!}$

Cuando k = 2 m + 1, es decir impar, entonces

$${\displaystyle \left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.}$$

Cuando k = 2 m , es decir par, entonces

$${\displaystyle \left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}}$$

como desees.

Ambos casos se basan esencialmente en la última desigualdad derivada de la prueba anterior.

Ejemplos

Un ejemplo típico

La serie armónica alterna

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

cumple ambas condiciones para la prueba de series alternadas y converge.

Se necesita un ejemplo para demostrar la monotonía.

Todas las condiciones de la prueba, es decir, la convergencia a cero y la monotonía, deben cumplirse para que la conclusión sea verdadera. Por ejemplo, tomemos la serie

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots \ .}$$

Los signos se alternan y los términos tienden a cero. Sin embargo, no hay monotonía y no podemos aplicar el test. En realidad, la serie es divergente. En efecto, para la suma parcial tenemos que es el doble de la suma parcial de la serie armónica, que es divergente. Por tanto, la serie original es divergente. ${\textstyle S_{2n}}$ ${\textstyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$

La prueba es sólo suficiente, no necesaria

La monotonía de la prueba de Leibniz no es una condición necesaria, por lo que la prueba en sí misma es sólo suficiente, pero no necesaria. (La segunda parte de la prueba es una condición necesaria bien conocida de convergencia para todas las series).

Ejemplos de series no monótonas que convergen son:

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}\ .}$$

De hecho, para cada serie monótona es posible obtener un número infinito de series no monótonas que convergen a la misma suma permutando sus términos con permutaciones que satisfagan la condición del teorema de Agnew . ^[9]

Véase también

• Serie alternada
• Prueba de Dirichlet

Notas

1. En la práctica, los primeros términos pueden aumentar. Lo importante es que, después de cierto punto, ^[7] la primera cantidad finita de términos no cambiaría la convergencia/divergencia de una serie. ${\displaystyle b_{n}\geq b_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

1. Apostol 1967, págs. 403-404
2. Spivak 2008, pág. 481
3. Rudin 1976, pág. 71
4. Apostol 1967, págs. 407–409
5. Spivak 2008, pág. 495
6. Rudin 1976, pág. 70
7. Dawkins, Paul. "Cálculo II - Prueba de series alternadas". Notas de matemáticas en línea de Paul . Universidad Lamar . Consultado el 1 de noviembre de 2019 .
8. La prueba sigue la idea dada por James Stewart (2012) “Calculus: Early Transcendentals, Seventh Edition” pp. 727–730. ISBN 0-538-49790-4 
9. Agnew, Ralph Palmer (1955). "Permutaciones que preservan la convergencia de series" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 6 (4): 563–564.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1967) [1961]. Cálculo . Vol. 1 (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00005-1.
• Konrad Knopp (1956) Sucesiones y series infinitas , § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6 
• Konrad Knopp (1990) Teoría y aplicación de series infinitas , § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2 
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principios del análisis matemático (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.OCLC 1502474  .
• Spivak, Michael (2008) [1967]. Cálculo (4.ª ed.). Houston, TX: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.
• James Stewart , Daniel Clegg, Saleem Watson (2016) Cálculo de una variable: trascendentales tempranas (edición para el profesor) 9.ª edición , Cengage ISBN 978-0-357-02228-9
• ET Whittaker y GN Watson (1963) Un curso de análisis moderno , 4.ª edición, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Criterio de Leibniz". MundoMatemático .
• Jeff Cruzán. "Series alternas"