Turbulencia magnetohidrodinámica

Turbulencia que afecta a los regímenes de flujo magnetofluídico en números de Reynolds altos

La turbulencia magnetohidrodinámica se refiere a los regímenes caóticos del flujo de magnetofluidos con un número de Reynolds alto . La magnetohidrodinámica (MHD) se ocupa de lo que es un fluido casi neutro con una conductividad muy alta . La aproximación del fluido implica que el enfoque se centra en escalas de longitud y tiempo macro que son mucho mayores que la longitud y el tiempo de colisión respectivamente.

Ecuaciones MHD incompresibles

Las ecuaciones MHD incompresibles para densidad de masa constante, , son ${\displaystyle \rho =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p+\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {B} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} \\[5pt]{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {B} &=\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {u} +\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {B} &=0.\end{aligned}}}$

dónde

• u representa la velocidad,
• B representa el campo magnético,
• p representa los campos de presión total (térmico+magnético),
• ${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática y
• ${\displaystyle \eta }$representa la difusividad magnética .

La tercera ecuación es la condición de incompresibilidad . En la ecuación anterior, el campo magnético se expresa en unidades Alfvén (las mismas que las unidades de velocidad).

El campo magnético total se puede dividir en dos partes: (media + fluctuaciones). ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B_{0}} +\mathbf {b} }$

Las ecuaciones anteriores en términos de las variables de Elsässer ( ) son ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\pm }=\mathbf {u} \pm \mathbf {b} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {z} ^{\pm }}}{\partial t}}\mp \left(\mathbf {B} _{0}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}+\left({\mathbf {z} ^{\mp }}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}=-{\mathbf {\nabla } }p+\nu _{+}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\pm }+\nu _{-}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\mp }}$

donde . Se producen interacciones no lineales entre las fluctuaciones alfvénicas . ${\displaystyle \nu _{\pm }={\frac {1}{2}}(\nu \pm \eta )}$ ${\displaystyle z^{\mp }}$

Los parámetros no dimensionales importantes para MHD son

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{Reynolds number }}Re&=&UL/\nu \\{\text{Magnetic Reynolds number }}Re_{M}&=&UL/\eta \\{\text{Magnetic Prandtl number }}P_{M}&=&\nu /\eta .\end{array}}}$

El número magnético de Prandtl es una propiedad importante del fluido. Los metales líquidos tienen números magnéticos de Prandtl pequeños, por ejemplo, el sodio líquido es de alrededor de . Pero los plasmas tienen grandes . ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle 10^{-5}}$ ${\displaystyle P_{M}}$

El número de Reynolds es la relación entre el término no lineal de la ecuación de Navier-Stokes y el término viscoso, mientras que el número de Reynolds magnético es la relación entre el término no lineal y el término difusivo de la ecuación de inducción. ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} }$

En muchas situaciones prácticas, el número de Reynolds del flujo es bastante grande. Para tales flujos, la velocidad y los campos magnéticos suelen ser aleatorios. Se dice que tales flujos presentan turbulencia MHD. Tenga en cuenta que no es necesario que sea grande para la turbulencia MHD. Desempeña un papel importante en el problema de la dinamo (generación del campo magnético). ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re_{M}}$ ${\displaystyle Re_{M}}$

El campo magnético medio desempeña un papel importante en la turbulencia MHD, por ejemplo, puede hacer que la turbulencia sea anisotrópica, suprimir la turbulencia disminuyendo la cascada de energía , etc. Los primeros modelos de turbulencia MHD asumieron la isotropía de la turbulencia, mientras que los modelos posteriores han estudiado los aspectos anisotrópicos. En las siguientes discusiones se resumirán estos modelos. Se pueden encontrar más discusiones sobre la turbulencia MHD en Biskamp, ^​​[1] Verma. ^[2] y Galtier.

Modelos isotrópicos

Iroshnikov ^[3] y Kraichnan ^[4] formularon la primera teoría fenomenológica de la turbulencia MHD. Argumentaron que en presencia de un campo magnético medio fuerte, los paquetes de ondas y viajan en direcciones opuestas con la velocidad de fase de , e interactúan débilmente. La escala de tiempo relevante es el tiempo de Alfven . Como resultado, los espectros de energía son ${\displaystyle z^{+}}$ ${\displaystyle z^{-}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle (B_{0}k)^{-1}}$

${\displaystyle E^{u}(k)\approx E^{b}(k)\approx A(\Pi V_{A})^{1/2}k^{-3/2}.}$

¿Dónde está la tasa de cascada de energía? ${\displaystyle \Pi }$

Posteriormente, Dobrowolny et al. ^[5] derivaron las siguientes fórmulas generalizadas para las tasas de cascada de las variables: ${\displaystyle z^{\pm }}$

${\displaystyle \Pi ^{+}\approx \Pi ^{-}\approx \tau _{k}^{\pm }E^{+}(k)E^{-}(k)k^{4}\approx E^{+}(k)E^{-}(k)k^{3}/B_{0}}$

¿Dónde están las escalas de tiempo de interacción de las variables? ${\displaystyle \tau ^{\pm }}$ ${\displaystyle z^{\pm }}$

La fenomenología de Iroshnikov y Kraichnan se deduce una vez que elegimos . ${\displaystyle \tau ^{\pm }\approx 1/(kV_{A})}$

Marsch ^[6] eligió la escala de tiempo no lineal como escala de tiempo de interacción para los remolinos y derivó el espectro de energía tipo Kolmogorov para las variables de Elsasser: ${\displaystyle T_{NL}^{\pm }\approx (kz_{k}^{\mp })^{-1}}$

${\displaystyle E^{\pm }(k)=K^{\pm }(\Pi ^{\pm })^{4/3}(\Pi ^{\mp })^{-2/3}k^{-5/3}}$

donde y son las tasas de cascada de energía de y respectivamente, y son constantes. ${\displaystyle \Pi ^{+}}$ ${\displaystyle \Pi ^{-}}$ ${\displaystyle z^{+}}$ ${\displaystyle z^{-}}$ ${\displaystyle K^{\pm }}$

Matthaeus y Zhou ^[7] intentaron combinar las dos escalas de tiempo anteriores postulando que el tiempo de interacción es la media armónica del tiempo de Alfven y el tiempo no lineal.

La principal diferencia entre las dos fenomenologías en competencia (−3/2 y −5/3) son las escalas de tiempo elegidas para el tiempo de interacción. La principal suposición subyacente es que la fenomenología de Iroshnikov y Kraichnan debería funcionar para un campo magnético medio intenso, mientras que la fenomenología de Marsh debería funcionar cuando las fluctuaciones dominan el campo magnético medio (fuerte turbulencia).

Sin embargo, como veremos más adelante, las observaciones del viento solar y las simulaciones numéricas tienden a favorecer el espectro de energía −5/3 incluso cuando el campo magnético medio es más fuerte en comparación con las fluctuaciones. Verma ^[8] resolvió este problema mediante el análisis del grupo de renormalización al demostrar que las fluctuaciones de Alfvén se ven afectadas por el "campo magnético medio local" dependiente de la escala. El campo magnético medio local escala como , cuya sustitución en la ecuación de Dobrowolny produce el espectro de energía de Kolmogorov para la turbulencia MHD. ${\displaystyle k^{-1/3}}$

También se han realizado análisis de grupos de renormalización para calcular la viscosidad y resistividad renormalizadas. Se ha demostrado que estas cantidades difusivas se escalan de forma que, a su vez, se obtienen espectros de energía consistentes con el modelo de tipo Kolmogorov para la turbulencia MHD. El cálculo del grupo de renormalización anterior se ha realizado tanto para helicidad cruzada cero como para helicidad cruzada distinta de cero. ${\displaystyle k^{-4/3}}$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$

Las fenomenologías anteriores suponen una turbulencia isotrópica, lo que no ocurre en presencia de un campo magnético medio. El campo magnético medio normalmente suprime la cascada de energía a lo largo de la dirección del campo magnético medio. ^[9]

Modelos anisotrópicos

El campo magnético medio hace que la turbulencia sea anisotrópica. Este aspecto se ha estudiado en las últimas dos décadas. En el límite , Galtier et al. ^[10] demostraron mediante ecuaciones cinéticas que ${\displaystyle \delta z^{\pm }\ll B_{0}}$

${\displaystyle E(k)\sim (\Pi B_{0})^{1/2}k_{\parallel }^{1/2}k_{\perp }^{-2}}$

donde y son componentes del número de onda paralelo y perpendicular al campo magnético medio. El límite anterior se denomina límite de turbulencia débil . ${\displaystyle k_{\parallel }}$ ${\displaystyle k_{\perp }}$

Bajo el fuerte límite de turbulencia , Goldereich y Sridhar ^[11] argumentan que ("estado crítico de equilibrio") lo que implica que ${\displaystyle \delta z^{\pm }\sim B_{0}}$ ${\displaystyle k_{\perp }z_{k_{\perp }}\sim k_{\parallel }B_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(k)&\propto k_{\perp }^{-5/3};\\[5pt]k_{\parallel }&\propto k_{\perp }^{2/3}\end{aligned}}}$

La fenomenología de turbulencia anisotrópica anterior se ha ampliado para MHD de helicidad cruzada grande.

Observaciones del viento solar

El plasma del viento solar se encuentra en un estado turbulento. Los investigadores han calculado los espectros de energía del plasma del viento solar a partir de los datos recopilados por la nave espacial. Los espectros de energía cinética y magnética, así como son más cercanos a en comparación con , lo que favorece la fenomenología similar a Kolmogorov para la turbulencia MHD. ^{[12] [13]} Las fluctuaciones de la densidad electrónica interplanetaria e interestelar también brindan una ventana para investigar la turbulencia MHD. ${\displaystyle E^{\pm }}$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$ ${\displaystyle k^{-3/2}}$

Simulaciones numéricas

Los modelos teóricos analizados anteriormente se prueban utilizando la simulación numérica directa (DNS) de alta resolución. Varias simulaciones recientes informan que los índices espectrales están más cerca de 5/3. ^[14] Hay otras que informan que los índices espectrales están cerca de 3/2. El régimen de la ley de potencia es típicamente menor a una década. Dado que 5/3 y 3/2 son bastante cercanos numéricamente, es bastante difícil determinar la validez de los modelos de turbulencia MHD a partir de los espectros de energía.

Los flujos de energía pueden ser magnitudes más fiables para validar los modelos de turbulencia MHD. Cuando (fluido de alta helicidad cruzada o MHD desequilibrado) las predicciones de flujo de energía del modelo de Kraichnan e Iroshnikov son muy diferentes de las del modelo de tipo Kolmogorov. Se ha demostrado mediante DNS que los flujos calculados a partir de las simulaciones numéricas concuerdan mejor con el modelo de tipo Kolmogorov en comparación con el modelo de Kraichnan e Iroshnikov. ^[15] ${\displaystyle \Pi ^{\pm }}$ ${\displaystyle E^{+}(k)\gg E^{-}(k)}$ ${\displaystyle \Pi ^{\pm }}$

Los aspectos anisotrópicos de la turbulencia MHD también se han estudiado mediante simulaciones numéricas. Las predicciones de Goldreich y Sridhar ^[11] ( ) se han verificado en muchas simulaciones. ${\displaystyle k_{||}\sim k_{\perp }^{2/3}}$

Transferencia de energía

La transferencia de energía entre varias escalas entre la velocidad y el campo magnético es un problema importante en la turbulencia MHD. Estas cantidades se han calculado tanto teórica como numéricamente. ^[2] Estos cálculos muestran una transferencia de energía significativa desde el campo de velocidad de gran escala al campo magnético de gran escala. Además, la cascada de energía magnética suele ser hacia adelante. Estos resultados tienen una influencia crítica en el problema del dinamo.

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Hay muchos desafíos abiertos en este campo que esperamos se resuelvan en un futuro próximo con la ayuda de simulaciones numéricas, modelos teóricos, experimentos y observaciones (por ejemplo, el viento solar).

Véase también

• Magnetohidrodinámica
• Turbulencia
• Ola de Alfvén
• Dinamo solar
• Número de Reynolds
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Magnetohidrodinámica computacional
• Dinámica de fluidos computacional
• Viento solar
• Medidor de flujo magnético
• Líquido iónico

Referencias

1. D. Biskamp (2003), Turbulencia magnetohidrodinámica, (Cambridge University Press, Cambridge.)
2. Verma, Mahendra K. (2004). "Teoría estadística de la turbulencia magnetohidrodinámica: resultados recientes". Physics Reports . 401 (5–6): 229–380. arXiv : nlin/0404043 . Bibcode :2004PhR...401..229V. doi :10.1016/j.physrep.2004.07.007. ISSN  0370-1573. S2CID  119352240.
3. PS Iroshnikov (1964), Turbulencia de un fluido conductor en un campo magnético fuerte, Astronomía soviética, 7, 566.
4. Kraichnan, Robert H. (1965). "Espectro de rango inercial de la turbulencia hidromagnética". Física de fluidos . 8 (7). AIP Publishing: 1385. Bibcode :1965PhFl....8.1385K. doi :10.1063/1.1761412. ISSN  0031-9171.
5. Dobrowolny, M.; Mangeney, A.; Veltri, P. (14 de julio de 1980). "Turbulencia hidromagnética anisotrópica completamente desarrollada en el espacio interplanetario". Physical Review Letters . 45 (2). American Physical Society (APS): 144–147. Bibcode :1980PhRvL..45..144D. doi :10.1103/physrevlett.45.144. ISSN  0031-9007.
6. E. Marsch (1990), Turbulencia en el viento solar, en: G. Klare (Ed.), Reviews in Modern Astronomy, Springer, Berlín, pág. 43.
7. Matthaeus, William H.; Zhou, Ye (1989). "Fenomenología de rango inercial extendido de la turbulencia magnetohidrodinámica". Física de fluidos B: Física del plasma . 1 (9). AIP Publishing: 1929–1931. Bibcode :1989PhFlB...1.1929M. doi :10.1063/1.859110. ISSN  0899-8221.
8. Verma, Mahendra K. (1999). "Renormalización del campo magnético medio y espectro de energía de Kolmogorov en turbulencia magnetohidrodinámica". Física de plasmas . 6 (5). AIP Publishing: 1455–1460. arXiv : chao-dyn/9803021 . Bibcode :1999PhPl....6.1455V. doi :10.1063/1.873397. ISSN  1070-664X. S2CID  2218981.
9. Shebalin, John V.; Matthaeus, William H.; Montgomery, David (1983). "Anisotropía en la turbulencia MHD debido a un campo magnético medio". Journal of Plasma Physics . 29 (3). Cambridge University Press (CUP): 525–547. Bibcode :1983JPlPh..29..525S. doi :10.1017/s0022377800000933. hdl : 2060/19830004728 . ISSN  0022-3778. S2CID  122509800.
10. Galtier, S.; Nazarenko, S.V.; Newell, AC; Pouquet, A. (2000). "Una teoría de turbulencia débil para magnetohidrodinámica incompresible" (PDF) . Revista de Física del Plasma . 63 (5). Cambridge University Press (CUP): 447–488. arXiv : astro-ph/0008148 . Código Bibliográfico :2000JPlPh..63..447G. doi :10.1017/s0022377899008284. ISSN  0022-3778. S2CID  15528846.
11. Goldreich, P.; Sridhar, S. (1995). "Hacia una teoría de la turbulencia interestelar. 2: Turbulencia alfvénica fuerte" (PDF) . The Astrophysical Journal . 438 . IOP Publishing: 763. Bibcode :1995ApJ...438..763G. doi :10.1086/175121. ISSN  0004-637X.
12. Matthaeus, William H.; Goldstein, Melvyn L. (1982). "Medición de los invariantes robustos de la turbulencia magnetohidrodinámica en el viento solar". Revista de investigación geofísica . 87 (A8). Unión Geofísica Americana (AGU): 6011. Código Bibliográfico :1982JGR....87.6011M. doi :10.1029/ja087ia08p06011. hdl : 11603/30515 . ISSN  0148-0227.
13. DA Roberts, ML Goldstein (1991), Turbulencia y ondas en el viento solar, Rev. Geophys., 29, 932.
14. Müller, Wolf-Christian; Biskamp, ​​Dieter (17 de enero de 2000). "Propiedades de escala de la turbulencia magnetohidrodinámica tridimensional". Physical Review Letters . 84 (3). American Physical Society (APS): 475–478. arXiv : physics/9906003 . Código Bibliográfico :2000PhRvL..84..475M. doi :10.1103/physrevlett.84.475. ISSN  0031-9007. PMID  11015942. S2CID  43131956.
15. Verma, MK; Roberts, DA; Goldstein, ML; Ghosh, S.; Stribling, WT (1996-10-01). "Un estudio numérico de la cascada no lineal de energía en la turbulencia magnetohidrodinámica". Revista de investigación geofísica: Física espacial . 101 (A10). Unión Geofísica Americana (AGU): 21619–21625. Bibcode :1996JGR...10121619V. doi :10.1029/96ja01773. hdl : 11603/30574 . ISSN  0148-0227.