Al-Jabr ( árabe : الجبر ), también conocido como El libro compendioso sobre el cálculo por terminación y equilibrio ( árabe : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah ; [b] o latín : Liber Algebræ et Almucabola ), es untratado matemático árabe sobre álgebra escrito en Bagdad alrededor del año 820 por el erudito persa Al-Khwarizmi . Fue una obra histórica en la historia de las matemáticas , cuyo título es la etimología última de la palabra "álgebra", posteriormente tomada prestada del latín medieval como algebrāica .
Al-Jabr proporcionó una explicación exhaustiva de la solución de las raíces positivas de ecuaciones polinómicas hasta el segundo grado. [1] : 228 [c] Fue el primer texto para enseñar álgebra elemental , y el primero para enseñar álgebra por sí misma. [d] También introdujo el concepto fundamental de "reducción" y "equilibrio" (a los que se refería originalmente el término al-jabr ), la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales en lados opuestos de la ecuación. [e] El historiador de las matemáticas Victor J. Katz considera a Al-Jabr como el primer texto de álgebra verdadero que aún existe. [f] Traducido al latín por Roberto de Chester en 1145, se utilizó hasta el siglo XVI como el principal libro de texto matemático de las universidades europeas. [4] [g] [6] [7]
Varios autores también han publicado textos bajo este nombre, entre ellos Abu Hanifa Dinawari , Abu Kamil , Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk , Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr y Šarafaddīn al-Ṭūsī .
R. Rashed y Angela Armstrong escriben:
El texto de Al-Juarizmi se distingue no sólo de las tablillas babilónicas , sino también de la Aritmética de Diofanto . Ya no se trata de una serie de problemas por resolver, sino de una exposición que parte de términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que a partir de ahora constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. Por otra parte, la idea de ecuación por sí misma aparece desde el principio y, se podría decir, de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está llamada específicamente a definir una clase infinita de problemas. [8]
JJ O'Connor y EF Robertson escribieron en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor :
Tal vez uno de los avances más significativos de las matemáticas árabes comenzó en esta época con el trabajo de al-Khwarizmi, es decir, los inicios del álgebra. Es importante entender cuán significativa fue esta nueva idea. Fue un cambio revolucionario respecto del concepto griego de matemáticas, que era esencialmente geometría. El álgebra era una teoría unificadora que permitía que los números racionales , los números irracionales , las magnitudes geométricas, etc., fueran tratados como "objetos algebraicos". Le dio a las matemáticas un camino de desarrollo completamente nuevo, mucho más amplio en concepto que el que había existido antes, y proporcionó un vehículo para el desarrollo futuro de la materia. Otro aspecto importante de la introducción de ideas algebraicas fue que permitió que las matemáticas se aplicaran a sí mismas de una manera que no había sucedido antes. [9]
El libro fue una compilación y extensión de las reglas conocidas para resolver ecuaciones cuadráticas y para algunos otros problemas, y se consideró que era la base del álgebra, estableciéndola como una disciplina independiente. La palabra álgebra se deriva del nombre de una de las operaciones básicas con ecuaciones descritas en este libro, siguiendo su traducción al latín de Robert de Chester . [10]
El libro clasifica las ecuaciones cuadráticas en uno de los seis tipos básicos y proporciona métodos algebraicos y geométricos para resolver las ecuaciones básicas. El historiador Carl Boyer señala lo siguiente con respecto a la falta de notaciones abstractas modernas en el libro: [11]
... el álgebra de Al-Juarizmi es completamente retórica, sin ningún tipo de sincopación (véase Historia del álgebra ) que se encuentra en la Arithmetica griega o en la obra de Brahmagupta . ¡Incluso los números se escribían con palabras en lugar de símbolos!
— Carl B. Boyer, Una historia de las matemáticas
De este modo, las ecuaciones se describen verbalmente en términos de "cuadrados" (lo que hoy sería " x 2 "), "raíces" (lo que hoy sería " x ") y "números" ("constantes": números escritos con letras, como 'cuarenta y dos'). Los seis tipos, con notaciones modernas, son:
Los matemáticos islámicos, a diferencia de los hindúes, no trabajaban con números negativos; por lo tanto, una ecuación como bx + c = 0 no aparece en la clasificación, porque no tiene soluciones positivas si todos los coeficientes son positivos. De manera similar, las ecuaciones de los tipos 4, 5 y 6, que parecen equivalentes para el ojo moderno, se distinguieron porque todos los coeficientes deben ser positivos. [12]
La operación de Al-Jabr (que significa "forzar", "restaurar") consiste en mover una cantidad deficiente de un lado de la ecuación al otro. En un ejemplo de Al-Khwarizmi (en notación moderna), Al-Jabr transforma " x 2 = 40 x − 4 x 2 " en "5 x 2 = 40 x ". La aplicación repetida de esta regla elimina las cantidades negativas de los cálculos.
Al-Muqābala ( المقابله , "equilibrio" o "correspondiente") significa restar la misma cantidad positiva de ambos lados: " x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 " se convierte en " 5 = 40 x + 3 x 2 ". La aplicación repetida de esta regla hace que las cantidades de cada tipo ("cuadrado" / "raíz" / "número") aparezcan en la ecuación como máximo una vez, lo que ayuda a ver que solo hay 6 tipos básicos solucionables del problema, cuando se restringe a coeficientes y soluciones positivos.
Las partes posteriores del libro no se basan en la resolución de ecuaciones cuadráticas.
El segundo capítulo del libro cataloga métodos para hallar el área y el volumen . Estos incluyen aproximaciones de pi (π), dadas de tres maneras, como 3 1/7, √10 y 62832/20000. Esta última aproximación, que equivale a 3,1416, apareció anteriormente en el Āryabhaṭīya indio (499 d. C.). [13]
Al-Khwārizmī explica el calendario judío y el ciclo de 19 años descrito por la convergencia de los meses lunares y los años solares. [13]
Aproximadamente la mitad del libro trata de las reglas islámicas de herencia , que son complejas y requieren habilidad en ecuaciones algebraicas de primer orden. [14]
