Rectángulo de Ailles

El rectángulo de Ailles

El rectángulo de Ailles es un rectángulo construido a partir de cuatro triángulos rectángulos que se utiliza comúnmente en clases de geometría para encontrar los valores de las funciones trigonométricas de 15° y 75°. ^[1] Lleva el nombre de Douglas S. Ailles, quien era profesor de secundaria en el Kipling Collegiate Institute en Toronto . ^{[2] [3]}

Construcción

Un triángulo de 30°–60°–90° tiene lados de longitud 1, 2 y . Cuando dos de estos triángulos se colocan en las posiciones que se muestran en la ilustración, el rectángulo más pequeño que puede encerrarlos tiene ancho y altura . Trazar una línea que conecte las esquinas superiores de los triángulos originales crea un triángulo de 45°–45°–90° entre los dos, con lados de longitudes 2, 2 y (según el teorema de Pitágoras ) . El espacio restante en la parte superior del rectángulo es un triángulo rectángulo con ángulos agudos de 15° y 75° y lados de , , y . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}+1}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

Fórmulas trigonométricas derivadas

De la construcción del rectángulo se deduce que

${\displaystyle \sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \tan 15^{\circ }=\cot 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {({\sqrt {3}}-1)^{2}}{3-1}}=2-{\sqrt {3}},}$

y

${\displaystyle \tan 75^{\circ }=\cot 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}={\frac {({\sqrt {3}}+1)^{2}}{3-1}}=2+{\sqrt {3}}.}$

Variante

Una construcción alternativa (también de Ailles) coloca un triángulo de 30°–60°–90° en el medio con lados de , , y . Sus catetos son cada uno la hipotenusa de un triángulo de 45°–45°–90°, uno con catetos de longitud y otro con catetos de longitud . ^{[4] [5]} El triángulo de 15°–75°–90° es el mismo que el anterior. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Véase también

• Valores trigonométricos exactos

Referencias

1. Ravi Vakil (enero de 1996). Un mosaico matemático: patrones y resolución de problemas . Brendan Kelly Publishing Inc., págs. 87–. ISBN 978-1-895997-04-0. rectángulo de ailles.
2. Charles P. McKeague; Mark D. Turner (1 de enero de 2016). Trigonometría. Cengage Learning. pp. 124–. ISBN 978-1-305-65222-4.
3. DOUGLAS S. AILLES (1 de octubre de 1971). "Triángulos y trigonometría". The Mathematics Teacher . 64 (6): 562. doi :10.5951/MT.64.6.0562. JSTOR  27958618 . Consultado el 22 de julio de 2021 .
4. "Tercer rectángulo de Ailles". Stack Exchange . 11 de febrero de 2016 . Consultado el 1 de noviembre de 2017 .
5. Colin Beveridge (31 de agosto de 2015). "El ninja matemático y el rectángulo de Ailles". Flying Colours Maths . Consultado el 1 de noviembre de 2017 .