El problema de las agujas de Buffon

Pregunta en probabilidad geométrica

La aguja a se encuentra a través de una línea, mientras que la aguja b no.

En teoría de la probabilidad , el problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon : ^[1]

Supongamos que tenemos un piso hecho de tiras de madera paralelas , cada una del mismo ancho, y dejamos caer una aguja en el piso. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja pase por una línea entre dos tiras?

La aguja de Buffon fue el primer problema de probabilidad geométrica que se resolvió; ^[2] se puede resolver usando geometría integral . La solución para la probabilidad buscada p , en el caso de que la longitud de la aguja l no sea mayor que el ancho t de las tiras, es

${\displaystyle p={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}.}$

Esto se puede utilizar para diseñar un método de Monte Carlo para aproximar el número π , aunque esa no fue la motivación original de la pregunta de De Buffon. ^[3] La apariencia aparentemente inusual de π en esta expresión se produce porque la función de distribución de probabilidad subyacente para la orientación de la aguja es rotacionalmente simétrica.

Solución

El problema en términos más matemáticos es: dada una aguja de longitud l que se deja caer en un plano trazado con líneas paralelas separadas por t unidades, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja quede atravesada por una línea al aterrizar?

Sea x la distancia desde el centro de la aguja hasta la línea paralela más cercana, y sea θ el ángulo agudo entre la aguja y una de las líneas paralelas.

La función de densidad de probabilidad uniforme (PDF) de x entre 0 y ⁠t/2⁠ es

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

Aquí, x = 0 representa una aguja que está centrada directamente en una línea y x = ⁠t/2⁠ representa una aguja que está perfectamente centrada entre dos líneas. La PDF uniforme supone que es igualmente probable que la aguja caiga en cualquier lugar dentro de este rango, pero no podría caer fuera de él.

La función de densidad de probabilidad uniforme de θ entre 0 y ⁠π/2⁠ es

${\displaystyle f_{\Theta }(\theta )={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

Aquí, θ = 0 representa una aguja paralela a las líneas marcadas, y θ = ⁠π/2⁠ radianes representa una aguja que es perpendicular a las líneas marcadas. Se supone que cualquier ángulo dentro de este rango es un resultado igualmente probable.

Las dos variables aleatorias , x y θ , son independientes, ^[4] por lo que la función de densidad de probabilidad conjunta es el producto

${\displaystyle f_{X,\Theta }(x,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

La aguja cruza una línea si

${\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .}$

Ahora hay dos casos.

Caso 1: Aguja corta (l ≤ t)

La integración de la función de densidad de probabilidad conjunta da la probabilidad de que la aguja cruce una línea:

${\displaystyle P=\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2l}{t\pi }}.}$

Caso 2: Aguja larga (l > t)

Supongamos que l > t . En este caso, integrando la función de densidad de probabilidad conjunta, obtenemos:

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ,}$

donde m ( θ ) es el mínimo entre ⁠yo/2⁠ sen θ y ⁠t/2⁠ .

Así, realizando la integración anterior, vemos que, cuando l > t , la probabilidad de que la aguja cruce al menos una línea es

${\displaystyle P={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1}$

o

${\displaystyle P={\frac {2}{\pi }}\arccos {\frac {t}{l}}+{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {t}{l}}\right)^{2}}}\right).}$

En la segunda expresión, el primer término representa la probabilidad de que el ángulo de la aguja sea tal que siempre cruce al menos una línea. El término correcto representa la probabilidad de que la aguja caiga en un ángulo donde su posición importa y cruce la línea.

Alternativamente, observe que siempre que θ tenga un valor tal que l sin θ ≤ t , es decir, en el rango 0 ≤ θ ≤ arcsin ⁠t/yo⁠ , la probabilidad de cruce es la misma que en el caso de la aguja corta. Sin embargo, si l sen θ > t , es decir, arcsin ⁠t/yo⁠ < θ ≤ ⁠π/2⁠ la probabilidad es constante y es igual a 1.

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\left(\int _{\theta =0}^{\arcsin {\frac {t}{l}}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}dxd{\theta }\right)+\left(\int _{\arcsin {\frac {t}{l}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {2}{\pi }}d{\theta }\right)\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1\end{aligned}}}$

Usando cálculo elemental

La siguiente solución para el caso de "aguja corta", aunque es equivalente a la anterior, tiene un sabor más visual y evita integrales iteradas.

Podemos calcular la probabilidad P como el producto de dos probabilidades: P = P ₁ · P ₂ , donde P ₁ es la probabilidad de que el centro de la aguja caiga lo suficientemente cerca de una línea como para que la aguja posiblemente la cruce, y P ₂ es la probabilidad de que la aguja realmente cruce la línea, dado que el centro está al alcance.

Al observar la ilustración de la sección anterior, es evidente que la aguja puede cruzar una línea si el centro de la aguja está dentro de ⁠yo/2⁠ unidades de cada lado de la franja. Agregando ⁠yo/2⁠ + ⁠yo/2⁠ de ambos lados y dividiendo por todo el ancho t , obtenemos P ₁ = ⁠yo/t⁠ .

Las agujas roja y azul están centradas en x . El rojo cae dentro del área gris, contenido por un ángulo de 2 θ en cada lado, por lo que cruza la línea vertical; el azul no. La proporción del círculo que es gris es lo que integramos cuando el centro x pasa de 0 a 1

Ahora suponemos que el centro está al alcance del borde de la tira y calculamos P ₂ . Para simplificar el cálculo, podemos suponer que . ${\displaystyle l=2}$

Sean x y θ como en la ilustración de esta sección. Al colocar el centro de una aguja en x , la aguja cruzará el eje vertical si cae dentro de un rango de 2 θ radianes, de π radianes de posibles orientaciones. Esto representa el área gris a la izquierda de x en la figura. Para una x fija , podemos expresar θ como función de x : θ ( x ) = arccos( x ) . Ahora podemos dejar que x oscile entre 0 y 1 e integrar:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=\int _{0}^{1}{\frac {2\theta (x)}{\pi }}\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}\cos ^{-1}(x)\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\cdot 1={\frac {2}{\pi }}.\end{aligned}}}$

Multiplicando ambos resultados obtenemos P = P ₁ · P ₂ = ⁠yo/t⁠ · ⁠2/π⁠ = ⁠2 litros/tπ⁠ como arriba.

Existe un método aún más elegante y sencillo para calcular el "caso de agujas cortas". El extremo de la aguja más alejado de cualquiera de las dos líneas que bordean su región debe ubicarse dentro de una distancia horizontal (perpendicular a las líneas limítrofes) de l cos θ (donde θ es el ángulo entre la aguja y la horizontal) de esta línea para que la aguja la cruce. Lo máximo que este extremo de la aguja puede alejarse horizontalmente de esta línea en su región es t . La probabilidad de que el extremo más alejado de la aguja esté ubicado a no más de una distancia l cos θ de la línea (y por lo tanto que la aguja cruce la línea) de la distancia total t que puede moverse en su región para 0 ≤ θ ≤ ⁠π/2⁠ está dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}l\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}t\,d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {1}{\,{\frac {\pi }{2}}\,}}\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}.\end{aligned}}}$

Sin integrales

El problema de la aguja corta también se puede resolver sin ninguna integración, de una manera que explica la fórmula para p a partir del hecho geométrico de que un círculo de diámetro t cruzará la distancia t franjas siempre (es decir, con probabilidad 1) exactamente en dos puntos. Esta solución fue propuesta por Joseph-Émile Barbier en 1860 ^[5] y también se la conoce como " fideos de Buffon ".

Estimandoπ

Un experimento para encontrar π . Se han lanzado cerillas con una longitud de 9 cuadrados 17 veces entre filas con un ancho de 9 cuadrados. 11 de los partidos han aterrizado al azar a lo largo de las líneas dibujadas marcadas por los puntos verdes. ⁠
2 litros · norte/th⁠ = ⁠2 × 9 × 17/9 × 11⁠ ≈ 3,1 ≈ π .

Una simulación basada en Python 3 que utiliza Matplotlib para esbozar el experimento de la aguja de Buffon con los parámetros t = 5,0 , l = 2,6 . Observe que el valor calculado de π ( eje y ) se acerca a 3,14 a medida que el número de lanzamientos ( eje x ) se acerca al infinito.

En el primer caso anterior, más simple, la fórmula obtenida para la probabilidad P se puede reorganizar para

${\displaystyle \pi ={\frac {2l}{tP}}.}$

Por lo tanto, si realizamos un experimento para estimar P , también tendremos una estimación para  π .

Supongamos que dejamos caer n agujas y encontramos que h de esas agujas son líneas que se cruzan, por lo que P se aproxima por la fracción ⁠h/norte⁠ . Esto lleva a la fórmula:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2l\cdot n}{th}}.}$

En 1901, el matemático italiano Mario Lazzarini realizó el experimento de la aguja de Buffon. Lanzando una aguja 3.408 veces, obtuvo la conocida aproximación ⁠355/113⁠ para π , con una precisión de seis decimales. ^[6] El "experimento" de Lazzarini es un ejemplo de sesgo de confirmación , ya que se creó para replicar la ya conocida aproximación de ⁠355/113⁠ (de hecho, no existe una mejor aproximación racional con menos de cinco dígitos en el numerador y denominador, ver también Milü ), lo que produce una "predicción" de π más precisa de lo que se esperaría a partir del número de ensayos, de la siguiente manera: ^{[ 7]}

Lazzarini eligió agujas cuya longitud era ⁠5/6⁠ del ancho de los listones de madera. En este caso, la probabilidad de que las agujas crucen las líneas es ⁠5/3 π⁠ . Por lo tanto, si uno dejara caer n agujas y obtuviera x cruces, estimaría π como

${\displaystyle \pi \approx {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}}}$

Entonces, si Lazzarini apuntaba al resultado ⁠355/113⁠ , necesitaba n y x tales que

${\displaystyle {\frac {355}{113}}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}},}$

o equivalente,

${\displaystyle x={\frac {113n}{213}}.}$

Para hacer esto, se debe elegir n como múltiplo de 213, porque entonces ⁠113 norte/213⁠ es un número entero; Luego se dejan caer n agujas y se espera exactamente x = ⁠113 norte/213⁠ éxitos. Si uno deja caer 213 agujas y obtiene 113 éxitos, entonces puede informar triunfalmente una estimación de π con una precisión de seis decimales. Si no, uno puede hacer 213 pruebas más y esperar un total de 226 éxitos; si no, simplemente repita según sea necesario. Lazzarini realizó 3.408 = 213 × 16 ensayos, por lo que parece probable que esta sea la estrategia que utilizó para obtener su "estimación".

La descripción anterior de la estrategia podría incluso considerarse caritativa para Lazzarini. Un análisis estadístico de los resultados intermedios que informó para menos lanzamientos conduce a una probabilidad muy baja de lograr una concordancia tan cercana con el valor esperado durante todo el experimento. Esto hace muy posible que el "experimento" en sí nunca se haya realizado físicamente, sino que se haya basado en números inventados a partir de la imaginación para coincidir con las expectativas estadísticas, pero resulta que demasiado bien. ^[7]

El periodista científico holandés Hans van Maanen sostiene, sin embargo, que el artículo de Lazzarini nunca debía tomarse demasiado en serio, ya que habría sido bastante obvio para los lectores de la revista (dirigida a profesores de escuela) que el aparato que Lazzarini dijo haber construido no puede Posiblemente funcione como se describe. ^[8]

Extensión de Laplace (estuche de aguja corta)

Ahora considere el caso en el que el plano contiene dos conjuntos de líneas paralelas ortogonales entre sí, creando una cuadrícula perpendicular estándar. Nuestro objetivo es encontrar la probabilidad de que la aguja cruce al menos una línea de la cuadrícula. Sean a y b los lados del rectángulo que contiene el punto medio de la aguja cuya longitud es l . Como este es el caso de la aguja corta, l < a , l < b . Sea ( x , y ) las coordenadas del punto medio de la aguja y sea φ el ángulo formado por la aguja y el eje x . De manera similar a los ejemplos descritos anteriormente, consideramos que x , y , φ son variables aleatorias uniformes independientes en los rangos 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b , − ⁠π/2⁠ ≤ φ ≤ ⁠π/2⁠ .

Para resolver tal problema, primero calculamos la probabilidad de que la aguja no cruce ninguna línea y luego tomamos su complemento. Calculamos esta primera probabilidad determinando el volumen del dominio donde la aguja no cruza ninguna línea y luego lo dividimos por el volumen de todas las posibilidades , V. Podemos ver fácilmente que V = πab .

Ahora sea V * el volumen de posibilidades donde la aguja no cruza ninguna línea. Desarrollado por JV Uspensky , ^[9]

${\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi }$

donde F ( φ ) es la región donde la aguja no corta ninguna línea dado un ángulo φ . Para determinar F ( φ ) , primero veamos el caso de los bordes horizontales del rectángulo delimitador. La longitud total del lado es a y el punto medio no debe estar dentro de ⁠yo/2⁠ cos φ de cualquiera de los extremos de la arista. Por lo tanto, la longitud total permitida sin intersección es a − 2( ⁠yo/2⁠ cos φ ) o simplemente simplemente a − l cos φ . De manera equivalente, para los bordes verticales con longitud b , tenemos b ± l sen φ . El ± representa los casos en los que φ es positivo o negativo. Tomando el caso positivo y luego sumando los signos del valor absoluto en la respuesta final para la generalidad, obtenemos

${\displaystyle F(\varphi )=(a-l\cos \varphi )(b-l\sin \varphi )=ab-bl\cos \varphi -al|\sin \varphi |+{\tfrac {1}{2}}l^{2}|\sin 2\varphi |.}$

Ahora podemos calcular la siguiente integral:

${\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi =\pi ab-2bl-2al+l^{2}.}$

Por tanto, la probabilidad de que la aguja no cruce ninguna línea es

${\displaystyle {\frac {V^{*}}{V}}={\frac {\pi ab-2bl-2al+l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}.}$

Y finalmente, si queremos calcular la probabilidad, P , de que la aguja cruce al menos una línea, necesitamos restar el resultado anterior de 1 para calcular su complemento, obteniendo

${\displaystyle P={\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}}$.

Comparación de estimadores deπ

Como se mencionó anteriormente, el experimento de la aguja de Buffon se puede utilizar para estimar π . Este hecho también es válido para la extensión de Laplace, ya que π también aparece en esa respuesta. Entonces surge naturalmente la siguiente pregunta, que es discutida por EF Schuster en 1974. ^[10] ¿Es el experimento de Buffon o el de Laplace un mejor estimador del valor de π ? Dado que en la extensión de Laplace hay dos conjuntos de líneas paralelas, comparamos N gotas cuando hay una cuadrícula (Laplace) y 2 N gotas en el experimento original de Buffon.

Sea A el evento de que la aguja interseca una línea horizontal (paralela al eje x )

${\displaystyle x={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}}$

y sea B el evento de que la aguja interseca una línea vertical (paralela al eje y )

${\displaystyle y={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}}$

Para simplificar la formulación algebraica siguiente, sea a = b = t = 2 l tal que el resultado original en el problema de Buffon sea P ( A ) = P ( B ) = ⁠1/π⁠ . Además, sean N = 100 gotas.

Ahora examinemos P ( AB ) para obtener el resultado de Laplace, es decir, la probabilidad de que la aguja cruce una línea horizontal y una vertical. Lo sabemos

${\displaystyle P(AB)=1-P(AB')-P(A'B)-P(A'B').}$

De la sección anterior, P ( A ′ B ′) , o la probabilidad de que la aguja no cruce ninguna línea es

${\displaystyle P(A'B')=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(4l)-l^{2}}{4l^{2}\pi }}=1-{\frac {7}{4\pi }}.}$

Podemos resolver P ( A ′ B ) y P ( AB ′) usando el siguiente método:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(AB')\\[4px]P(B)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(A'B).\end{aligned}}}$

Resolviendo para P ( A ′ B ) y P ( AB ′) y conectando eso a la definición original de P ( AB ) unas líneas arriba, obtenemos

${\displaystyle P(AB)=1-2\left({\frac {1}{\pi }}-P(AB)\right)-\left(1-{\frac {7}{4\pi }}\right)={\frac {1}{4\pi }}}$

Aunque no es necesario para resolver el problema, ahora es posible ver que P ( A ′ B ) = P ( AB ′) = ⁠3/4 π⁠ . Con los valores anteriores, ahora podemos determinar cuál de estos estimadores es mejor estimador de π . Para la variante de Laplace, sea p̂ el estimador de la probabilidad de que exista una intersección de rectas tal que

${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}}$.

Nos interesa la varianza de dicho estimador para comprender su utilidad o eficiencia. Para calcular la varianza de p̂ , primero calculamos Var( x _n + y _n ) donde

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})=\operatorname {Var} (x_{n})+\operatorname {Var} (y_{n})+2\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n}).}$

Resolviendo para cada parte individualmente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (x_{n})=\operatorname {Var} (y_{n})&=\sum _{i=1}^{2}p_{i}{\bigl (}x_{i}-\mathbb {E} (x_{i}){\bigr )}^{2}\\[6px]&=P(x_{i}=1)\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+P(x_{i}=0)\left(0-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}\\[6px]&={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\left(-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right).\\[12px]\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})&=\mathbb {E} (x_{n}y_{n})-\mathbb {E} (x_{n})\mathbb {E} (y_{n})\end{aligned}}}$

Sabemos por la sección anterior que

${\displaystyle \mathbb {E} (x_{n}y_{n})=P(AB)={\frac {1}{4\pi }}}$

flexible

${\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})={\frac {1}{4\pi }}-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{\pi }}={\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}<0}$

De este modo,

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+2\left({\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}\right)={\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}}$

Volviendo al problema original de esta sección, la varianza del estimador p̂ es

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {1}{200^{2}}}(100)\left({\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}\right)\approx 0.000\,976.}$

Ahora calculemos el número de gotas, M , necesarias para lograr la misma variación que 100 gotas sobre líneas perpendiculares. Si M < 200 entonces podemos concluir que la configuración con solo líneas paralelas es más eficiente que el caso con líneas perpendiculares. Por el contrario, si M es igual o superior a 200, el experimento de Buffon es igual o menos eficiente, respectivamente. Sea q̂ el estimador del experimento original de Buffon. Entonces,

${\displaystyle {\hat {q}}={\frac {1}{M}}\sum _{m=1}^{M}x_{m}}$

y

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {q}})={\frac {1}{M^{2}}}(M)\operatorname {Var} (x_{m})={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\approx {\frac {0.217}{M}}}$

Resolviendo para M ,

${\displaystyle {\frac {0.217}{M}}=0.000\,976\implies M\approx 222.}$

Por tanto, se necesitan 222 gotas con sólo líneas paralelas para tener la misma certeza que 100 gotas en el caso de Laplace. En realidad, esto no es sorprendente debido a la observación de que Cov( x _n , y _n ) < 0 . Debido a que x _n e y _n son variables aleatorias correlacionadas negativamente, actúan para reducir la varianza total en el estimador que es un promedio de las dos. Este método de reducción de la varianza se conoce como método de variaciones antitéticas .

Ver también

• Paradoja de Bertrand (probabilidad)

Referencias

1. Historia de l'Acad. Roy. des. Ciencias (1733), 43–45; Histoire naturallle, générale et particulière Supplément 4 (1777), pág. 46.
2. Seneta, Eugenio ; Parshall, Karen Hambre; Jongmans, François (2001). "Desarrollos del siglo XIX en probabilidad geométrica: JJ Sylvester, MW Crofton, J.-É. Barbier y J. Bertrand". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 55 (6): 501–524. doi :10.1007/s004070100038. ISSN  0003-9519. JSTOR  41134124. S2CID  124429237.
3. Behrends, Ehrhard. "Buffon: ¿Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht?" (PDF) . Consultado el 14 de marzo de 2015 .
4. La formulación del problema aquí evita tener que trabajar con densidades de probabilidad condicionales regulares .
5. Aigner, Martín; Ziegler, Günter M. (2013). Pruebas del LIBRO (2ª ed.). Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 189-192.
6. Lazzarini, M. (1901). "Un'applicazione del calcolo della probabilità alla ricerca sperimentale di un valore approssimato di π" [Una aplicación de la teoría de la probabilidad a la investigación experimental de una aproximación de π ]. Periodico di Matematica per l'Insegnamento Secondario (en italiano). 4 : 140-143.
7. Lee Badger, 'La afortunada aproximación de π de Lazzarini', Mathematics Magazine 67, 1994, 83–91.
8. Hans van Maanen, 'Het stokje van Lazzarini' (el palo de Lazzarini), "Skepter" 31.3, 2018.
9. JV Uspensky, 'Introducción a la probabilidad matemática', 1937, 255.
10. EF Schuster, Experimento de la aguja de Buffon, The American Mathematical Monthly, 1974, 29-29.

Bibliografía

• Badger, Lee (abril de 1994). "La afortunada aproximación de π de Lazzarini ". Revista Matemáticas . 67 (2). Asociación Matemática de América: 83–91. doi :10.2307/2690682. JSTOR  2690682.
• Ramaley, JF (octubre de 1969). "El problema de los fideos de Buffon". El Mensual Matemático Estadounidense . 76 (8). Asociación Matemática de América: 916–918. doi :10.2307/2317945. JSTOR  2317945.
• Mathai, AM (1999). Introducción a la probabilidad geométrica. Newark: Gordon y Breach. pag. 5.ISBN​ 978-90-5699-681-9.
• Dell, Zachary; Franklin, Scott V. (septiembre de 2009). "El problema de las agujas de Buffon-Laplace en tres dimensiones". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2009 (9): 010. Código bibliográfico : 2009JSMTE..09..010D. doi :10.1088/1742-5468/2009/09/P09010. S2CID  32470555.
• Schroeder, L. (1974). "El problema de la aguja de Buffon: una aplicación interesante de muchos conceptos matemáticos". Profesor de Matemáticas , 67 (2), 183–6.
• Uspensky, James Víctor. "Introducción a la probabilidad matemática". (1937).

enlaces externos

• El problema de la aguja de Buffon al cortar el nudo
• Sorpresas matemáticas: los fideos de Buffon en Cut-the-Knot
• MSTE: Aguja de Buffon
• Applet Java de la aguja de Buffon
• Estimación de visualización de PI (Flash)
• La aguja de Buffon: diversión y fundamentos (presentación) en slideshare
• Animaciones para la simulación de la aguja de Buffon de Yihui Xie usando la animación del paquete R
• Animación física 3D por Jeffrey Ventrella
• Padilla, Toni. "π Pi y la aguja de Buffon". Numéfilo . Brady Harán . Archivado desde el original el 17 de mayo de 2013 . Consultado el 9 de abril de 2013 .