La abstracción en matemáticas es el proceso de extraer las estructuras , patrones o propiedades subyacentes de un concepto matemático, eliminando cualquier dependencia de objetos del mundo real con los que originalmente podría haber estado conectado y generalizándolo para que tenga aplicaciones más amplias o coincida con otras descripciones abstractas de fenómenos equivalentes . [1] [2] [3] En otras palabras, ser abstracto es eliminar el contexto y la aplicación. [4] Dos de las áreas más altamente abstractas de las matemáticas modernas son la teoría de categorías y la teoría de modelos .
Muchas áreas de las matemáticas comenzaron con el estudio de problemas del mundo real, antes de que se identificaran y definieran las reglas y los conceptos subyacentes como estructuras abstractas . Por ejemplo, la geometría tiene su origen en el cálculo de distancias y áreas en el mundo real, y el álgebra comenzó con métodos de resolución de problemas aritméticos .
La abstracción es un proceso continuo en matemáticas y el desarrollo histórico de muchos temas matemáticos exhibe una progresión de lo concreto a lo abstracto. Por ejemplo, los primeros pasos en la abstracción de la geometría fueron dados históricamente por los antiguos griegos, siendo los Elementos de Euclides la documentación existente más antigua de los axiomas de la geometría plana, aunque Proclo habla de una axiomatización anterior por Hipócrates de Quíos . [5] En el siglo XVII, Descartes introdujo las coordenadas cartesianas que permitieron el desarrollo de la geometría analítica . Lobachevsky , Bolyai , Riemann y Gauss dieron pasos posteriores en la abstracción , quienes generalizaron los conceptos de geometría para desarrollar geometrías no euclidianas . Más tarde, en el siglo XIX, los matemáticos generalizaron la geometría aún más, desarrollando áreas como la geometría en n dimensiones , la geometría proyectiva , la geometría afín y la geometría finita . Finalmente, el “ programa Erlangen ” de Felix Klein identificó el tema subyacente de todas estas geometrías, definiendo cada una de ellas como el estudio de propiedades invariantes bajo un grupo dado de simetrías . Este nivel de abstracción reveló conexiones entre la geometría y el álgebra abstracta . [6]
En matemáticas, la abstracción puede resultar ventajosa de las siguientes maneras:
Por otro lado, la abstracción también puede ser desventajosa porque los conceptos muy abstractos pueden ser difíciles de aprender. [7] Puede ser necesario un cierto grado de madurez matemática y experiencia para la asimilación conceptual de abstracciones.
Bertrand Russell , en The Scientific Outlook (1931), escribe que "el lenguaje ordinario es totalmente inadecuado para expresar lo que la física realmente afirma, ya que las palabras de la vida cotidiana no son lo suficientemente abstractas. Sólo las matemáticas y la lógica matemática pueden decir tan poco como el físico pretende decir". [8]
