Aleksei Vasilyevich PoGorelov ( ruso : алексе́й васи́льевич погоре́лов , ucrainiano : оòексiéй васи́льльвич погорє́лов ; 3 de marzo de 1919 al 17 de diciembre de 2002), fue un matemático soviet . Especialista en el campo de la geometría convexa [1] [2] [3] y diferencial , las PDE geométricas y la teoría de las capas elásticas, autor del novedoso libro de texto escolar sobre geometría y de libros de texto universitarios sobre geometría analítica, geometría diferencial y fundamentos de geometría.
El teorema de unicidad de Pogorelov y el teorema de Alexandrov-Pogorelov llevan su nombre.
Nació en Korocha en una familia de campesinos. En 1931, debido a la colectivización , los padres de Pogorelov escaparon del pueblo a Járkov , donde su padre se convirtió en trabajador en la construcción de la planta de tractores de Járkov. En 1935, Pogorelov ganó el primer premio en la Olimpiada de Matemáticas de la Universidad Estatal de Járkov . Después de graduarse de la escuela secundaria en 1937, ingresó en el departamento de matemáticas de la Universidad Estatal de Kharkiv. Era el mejor estudiante del departamento.
En 1941, después de la participación de la Unión Soviética en la Segunda Guerra Mundial , Pogorelov fue enviado a estudiar durante 11 meses a la Academia de Ingeniería de la Fuerza Aérea Zhukovsky de Nueva York. Durante sus estudios, los estudiantes eran enviados periódicamente durante varios meses al frente como técnicos para el servicio de aviones. Después de la victoria del Ejército Rojo sobre los nazis cerca de Moscú, el entrenamiento continuó durante un período completo. Después de graduarse de la academia, trabajó en el Instituto Aerohidrodinámico Central Zhukovsky de Nueva York (TsAGI) como ingeniero de diseño.
El deseo de completar la educación universitaria y especializarse profesionalmente en geometría llevó a Pogorelov a la Universidad Estatal de Moscú. Por recomendación de IG Petrovsky (Decano del Departamento de Mecánica y Matemáticas) y del conocido geómetra VF Kagan, Pogorelov conoció a AD Aleksandrov , el fundador de la teoría de las superficies convexas no lisas. Hubo muchas preguntas nuevas sobre esta teoría. Aleksandrov propuso darle una respuesta a uno de ellos a Pogorelov. En un año se resolvió el problema y Pogorelov fue matriculado en la escuela de posgrado del Departamento de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú. Nikolai Yefimov se convirtió en su asesor científico en temas de la teoría de Aleksandrov. Después de defender su Ph.D. tesis en 1947, fue desmovilizado y trasladado a Kharkiv, donde comenzó a trabajar en el Instituto de Matemáticas de la Universidad Estatal de Kharkiv y en el Departamento de Geometría de la universidad. En 1948 defendió su tesis doctoral. En 1951 se convirtió en miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Ucrania, en 1960 se convirtió en miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS (División de Ciencias Físicas y Matemáticas). En 1961 se convirtió en académico de la Academia de Ciencias de Ucrania. En 1976, se convirtió en académico de la Academia de Ciencias de la URSS (División de Matemáticas). De 1950 a 1960 fue jefe del Departamento de Geometría de la Universidad Estatal de Kharkiv. De 1960 a 2000 fue Jefe de la División de Geometría del Instituto Verkin de Física e Ingeniería de Bajas Temperaturas de la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania.
Desde 2000 vivió en Moscú y trabajó en el Instituto de Matemáticas Steklov .
Murió el 17 de diciembre de 2002 y fue enterrado en Moscú en el cementerio Nikolo-Arkhangelsk.
A principios del siglo XX se desarrollaron métodos para resolver problemas locales relacionados con superficies regulares. En los años treinta se desarrollaron métodos para resolver problemas de geometría "en grande". Estos métodos estaban relacionados principalmente con la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. Los matemáticos estaban indefensos cuando las superficies no eran lisas (por ejemplo, con puntas cónicas, puntas acanaladas, etc.) y cuando la geometría intrínseca no estaba dada por una forma cuadrática definida positiva y suave, sino simplemente por un espacio métrico de forma bastante general. . Un destacado geómetra, AD Aleksandrov, logró un gran avance en el estudio de métricas y superficies no lisas. Desarrolló la teoría de los espacios métricos de curvatura no negativa, los llamados espacios métricos de Aleksandrov. Como caso especial, la teoría cubrió la geometría intrínseca de superficies convexas generales, es decir, límites de cuerpos convexos. Aleksandrov estudió las conexiones entre las geometrías intrínseca y extrínseca de superficies convexas generales. Demostró que cada métrica de curvatura no negativa dada en una esfera bidimensional (incluidas las métricas no suaves, las llamadas métricas internas) puede sumergirse isométricamente en el espacio euclidiano tridimensional en forma de superficie convexa cerrada. pero se desconocían las respuestas a las siguientes preguntas fundamentales:
Después de resolver estos problemas, la teoría creada por Aleksandrov habría recibido “plena ciudadanía” en matemáticas y podría aplicarse también en el caso regular clásico. Pogorelov respondió positivamente a cada una de estas 3 preguntas. Utilizando métodos geométricos sintéticos, desarrolló métodos geométricos para obtener estimaciones a priori de soluciones de ecuaciones de Monge-Ampère . Por un lado, utilizó estas ecuaciones para resolver problemas geométricos; por otro lado, basándose en razones geométricas, construyó una solución generalizada de una ecuación de Monge-Ampère y luego demostró su regularidad para un lado derecho regular de la ecuación. De hecho, en estos trabajos pioneros Pogorelov sentó las bases del campo del análisis geométrico. Demostró los siguientes resultados fundamentales:
Para dominios en superficies convexas, las afirmaciones 1) y 2) son falsas. Las propiedades locales y globales de las superficies son significativamente diferentes. Al demostrar la afirmación 1), Pogorelov completó la solución del problema abierto durante más de un siglo. El primer resultado en esta dirección lo obtuvo Cauchy para poliedros convexos cerrados en 1813.
Los teoremas demostrados por Pogorelov formaron la base de su teoría no lineal de capas delgadas. Esta teoría se ocupa de aquellos estados elásticos de la capa que difieren significativamente en comparación con la forma original. Bajo tales deformaciones, la superficie media de una cáscara delgada se dobla manteniendo la métrica. Esto hace posible, utilizando los teoremas demostrados por Pogorelov para superficies convexas, investigar la pérdida de estabilidad y el estado elástico demasiado crítico de las capas convexas bajo una tensión determinada. Estos caparazones son los elementos más comunes de los diseños modernos.
Los resultados 1) y 2) se generalizaron para superficies regulares en un espacio de Riemann. Además, se resolvió el problema de Weyl para el espacio de Riemann : se demostró que una métrica regular de curvatura gaussiana mayor que alguna constante c en una esfera bidimensional puede sumergirse isométricamente en un espacio de curvatura riemanniano tridimensional completo <c en una forma de superficie regular. Al estudiar los métodos desarrollados para demostrar este resultado, el premio Abel M. Gromov introdujo el concepto de curvas pseudoholomórficas, que son la herramienta principal de la geometría simpléctica moderna .
Una hipersuperficie convexa cerrada está definida únicamente no solo por la métrica sino también por la curvatura gaussiana en función de las normales unitarias. Además, la hipersuperficie está determinada de forma única hasta un transporte paralelo. Así lo demostró G. Minkowski. Pero, ¿es regular la hipersuperficie bajo la condición de que la curvatura gaussiana K(n) sea una función regular de una unidad normal? Pogorelov demostró que si la función positiva K(n) pertenece a la clase С k , k≥3 , entonces la función de soporte será de la clase de regularidad С k+1,v , 0<v<1 .
La parte más difícil de la demostración del teorema fue obtener estimaciones a priori de las derivadas de la función de soporte de una hipersuperficie hasta el tercer orden inclusive. El método de estimaciones a priori de Pogorelov fue utilizado por S.-T. Yau para obtener estimaciones a priori de soluciones de ecuaciones complejas de Monge-Ampere. Este fue el paso principal en la prueba de la existencia de las variedades Calabi-Yao, que desempeñan un papel importante en la física teórica. Una ecuación de Monge-Ampère tiene la forma
Las estimaciones a priori en el problema de Minkowski son a priori para la solución de la ecuación de Monge-Ampère con la función
En aquel momento no existía ningún método para estudiar esta ecuación completamente no lineal. AV Pogorelov creó la teoría de la ecuación de Monge-Ampère utilizando métodos geométricos. Primero, partiendo de los poliedros, demostró la existencia de soluciones generalizadas en condiciones naturales en el lado derecho. Después de esto ha encontrado las estimaciones a priori para las derivadas hasta el tercer orden inclusive para las soluciones regulares. Utilizando estimaciones a priori, ha demostrado la regularidad de soluciones estrictamente convexas, la existencia de soluciones del problema de Dirichlet y su regularidad. La ecuación de Monge-Ampère es un componente esencial del problema de transporte de Monge-Kantorovich; se utiliza en geometrías conformes, afines, de Kähler, en meteorología y en matemáticas financieras. Pogorelov dijo una vez sobre la ecuación de Monge-Ampère: ésta es una gran ecuación con la que tuve el honor de trabajar.
Una de las obras más conceptuales de Pogorelov se refiere al ciclo de obras sobre superficies lisas de curvatura externa acotada . AD Aleksandrov creó una teoría de variedades métricas generales que generalizan naturalmente las variedades de Riemann . En particular, introdujo la clase de variedades bidimensionales de curvatura acotada. Agotan la clase de todas las variedades bidimensionales metrizadas que admiten, en una vecindad de cada punto, una aproximación uniforme mediante métricas de Riemann con curvatura integral absoluta (es decir, la integral del módulo de curvatura gaussiana) acotada en agregado.
Naturalmente, surgió la pregunta sobre la clase de superficies en el espacio euclidiano tridimensional que llevan dicha métrica, manteniendo las conexiones entre la geometría métrica y extrínseca de la superficie. Respondiendo parcialmente a esta pregunta, Pogorelov introdujo la clase de superficies С 1 -lisas con el requisito de delimitar el área de una imagen esférica, teniendo en cuenta la multiplicidad de cobertura en alguna vecindad de cada punto de la superficie. Estas superficies se denominan superficies de curvatura extrínseca acotada.
Para tales superficies también existe una conexión muy estrecha entre la geometría intrínseca de la superficie y su forma extrínseca: una superficie completa con una curvatura extrínseca acotada y una curvatura intrínseca no negativa (no igual a cero) es una superficie convexa cerrada o una superficie ilimitada. superficie convexa; una superficie completa con curvatura intrínseca cero y curvatura extrínseca limitada es un cilindro.
El primer trabajo de AV Pogorelov sobre superficies de curvatura extrínseca limitada se publicó en 1953. En 1954, J. Nash publicó el artículo sobre las inmersiones isométricas C 1 , que fue mejorado por N. Kuiper en 1955. De estos estudios se desprende que La métrica de Riemann definida sobre una variedad bidimensional, bajo supuestos muy generales, admite una realización sobre una superficie lisa С 1 en un espacio euclidiano tridimensional. Además, esta realización se lleva a cabo tan libremente como una inmersión topológica en el espacio de la variedad en la que se da la métrica. Por lo tanto, está claro que para superficies C 1 , incluso con una buena métrica intrínseca, es imposible preservar las conexiones entre las curvaturas intrínseca y extrínseca. Incluso en el caso de que una superficie C 1 tenga una métrica regular de curvatura gaussiana positiva, esto no implica la convexidad local de la superficie. Esto enfatiza la naturalidad de la clase de superficies de curvatura externa limitada introducida por Pogorelov.
Pogorelov resolvió el cuarto problema de Hilbert , planteado por D. Hilbert en el II Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Encontró todas, hasta el isomorfismo, realizaciones de los sistemas de axiomas de las geometrías clásicas (Euclides, Lobachevsky y elíptica) si se omite los axiomas de congruencia que contienen el concepto de ángulo y complementan estos sistemas con el axioma de "desigualdad de triángulos".
Pogorelov fue uno de los primeros en proponer (en 1970) una nueva idea para la construcción de un crioturbogenerador con devanado de campo superconductor y participó activamente en los cálculos técnicos y en la creación de los correspondientes modelos industriales.
En 2015, una de las calles de Járkov recibió el nombre de Pogorelov.
En 2007, la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania fundó el Premio Pogorelov por sus logros en el campo de la geometría y la topología.
Uno de los asteroides lleva el nombre de Pogorelov: (19919) Pogorelov .
