El espacio de cuatro dimensiones ( 4D ) es la extensión matemática del concepto de espacio tridimensional (3D). El espacio tridimensional es la abstracción más simple posible de la observación de que solo se necesitan tres números, llamados dimensiones , para describir los tamaños o ubicaciones de los objetos en el mundo cotidiano. Por ejemplo, el volumen de una caja rectangular se encuentra midiendo y multiplicando su longitud, ancho y altura (a menudo etiquetados como x , y y z ). Este concepto de espacio ordinario se llama espacio euclidiano porque corresponde a la geometría de Euclides , que originalmente se abstrajo de las experiencias espaciales de la vida cotidiana.
La idea de añadir una cuarta dimensión aparece en "Dimensiones" de Jean le Rond d'Alembert , publicada en 1754, [1] pero las matemáticas de más de tres dimensiones sólo surgieron en el siglo XIX . El concepto general de espacio euclidiano con cualquier número de dimensiones fue desarrollado plenamente por el matemático suizo Ludwig Schläfli antes de 1853. El trabajo de Schläfli recibió poca atención durante su vida y fue publicado sólo póstumamente, en 1901, [2] pero mientras tanto la cuarta dimensión euclidiana fue redescubierta por otros. En 1880 Charles Howard Hinton lo popularizó en un ensayo, "¿Qué es la cuarta dimensión?", en el que explicó el concepto de un " cubo de cuatro dimensiones " con una generalización paso a paso de las propiedades de las líneas, los cuadrados y los cubos. La forma más simple del método de Hinton consiste en dibujar dos cubos tridimensionales comunes en un espacio bidimensional, uno que encierra al otro, separados por una distancia "invisible", y luego dibujar líneas entre sus vértices equivalentes. Esto se puede ver en la animación adjunta, siempre que muestra un cubo interior más pequeño dentro de un cubo exterior más grande. Las ocho líneas que conectan los vértices de los dos cubos en este caso representan una única dirección en la cuarta dimensión "invisible".
Los espacios de dimensiones superiores (mayores que tres) se han convertido desde entonces en uno de los fundamentos para expresar formalmente las matemáticas y la física modernas. Gran parte de estos temas no podrían existir en sus formas actuales sin utilizar dichos espacios. La teoría de la relatividad de Einstein está formulada en un espacio 4D, aunque no en un espacio 4D euclidiano. El concepto de espacio-tiempo de Einstein tiene una estructura de Minkowski basada en una geometría no euclidiana con tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, en lugar de las cuatro dimensiones espaciales simétricas del espacio 4D euclidiano de Schläfli .
Las ubicaciones individuales en el espacio euclidiano 4D se pueden dar como vectores o 4-tuplas , es decir, como listas ordenadas de números como ( x , y , z , w ) . Solo cuando dichas ubicaciones se vinculan entre sí en formas más complicadas, emerge la riqueza y complejidad geométrica total de los espacios de dimensiones superiores. Se puede ver un indicio de esa complejidad en la animación 2D que acompaña a uno de los objetos 4D regulares más simples posibles , el teseracto , que es análogo al cubo 3D .
Lagrange escribió en su Mécanique analytique (publicada en 1788, basada en el trabajo realizado alrededor de 1755) que la mecánica puede considerarse como si operara en un espacio de cuatro dimensiones: tres dimensiones de espacio y una de tiempo. [3] Ya en 1827, Möbius se dio cuenta de que una cuarta dimensión espacial permitiría rotar una forma tridimensional sobre su imagen especular. [4] El concepto general de espacio euclidiano con cualquier número de dimensiones fue desarrollado plenamente por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX, en una época en la que Cayley , Grassman y Möbius eran las únicas personas que habían concebido alguna vez la posibilidad de la geometría en más de tres dimensiones. [5] En 1853, Schläfli había descubierto todos los politopos regulares que existen en dimensiones superiores, incluidos los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos .
Una aritmética de cuatro dimensiones espaciales, llamada cuaterniones , fue definida por William Rowan Hamilton en 1843. Esta álgebra asociativa fue la fuente de la ciencia del análisis vectorial en tres dimensiones, como relata Michael J. Crowe en A History of Vector Analysis . Poco después, se introdujeron las tessarinas y los cocuaterniones como otras álgebras de cuatro dimensiones sobre R. En 1886, Victor Schlegel describió [6] su método de visualización de objetos de cuatro dimensiones con diagramas de Schlegel .
Uno de los primeros expositores populares de la cuarta dimensión fue Charles Howard Hinton , comenzando en 1880 con su ensayo ¿Qué es la cuarta dimensión?, publicado en la revista de la Universidad de Dublín . [7] Acuñó los términos tesseract , ana y kata en su libro A New Era of Thought e introdujo un método para visualizar la cuarta dimensión usando cubos en el libro Fourth Dimension . [8] [9] Las ideas de Hinton inspiraron una fantasía sobre una "Iglesia de la Cuarta Dimensión" presentada por Martin Gardner en su columna "Juegos matemáticos" de enero de 1962 en Scientific American .
Los espacios no euclidianos de dimensiones superiores se establecieron sobre una base sólida gracias a la tesis de 1854 de Bernhard Riemann , Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen , en la que consideraba que un "punto" era cualquier secuencia de coordenadas ( x 1 , ..., x n ) . En 1908, Hermann Minkowski presentó un artículo [10] que consolidaba el papel del tiempo como la cuarta dimensión del espacio-tiempo , la base de las teorías de la relatividad especial y general de Einstein . [11] Pero la geometría del espacio-tiempo, al ser no euclidiana , es profundamente diferente de la explorada por Schläfli y popularizada por Hinton. El estudio del espacio de Minkowski requirió las matemáticas de Riemann, que son bastante diferentes de las del espacio euclidiano de cuatro dimensiones, y por lo tanto se desarrollaron en líneas bastante diferentes. Esta separación era menos clara en la imaginación popular, y las obras de ficción y filosofía desdibujaban la distinción, por lo que en 1973 HSM Coxeter se sintió obligado a escribir:
Se gana poco o nada representando la cuarta dimensión euclidiana como tiempo . De hecho, esta idea, desarrollada de forma tan atractiva por HG Wells en La máquina del tiempo , ha llevado a autores como John William Dunne ( Un experimento con el tiempo ) a una concepción errónea de la teoría de la relatividad. La geometría del espacio-tiempo de Minkowski no es euclidiana y, en consecuencia, no tiene relación con la presente investigación.
— HSM Coxeter , Politopos regulares [12]
Matemáticamente, un espacio de cuatro dimensiones es un espacio que necesita cuatro parámetros para especificar un punto en él. Por ejemplo, un punto general podría tener un vector de posición a , igual a
Esto se puede escribir en términos de los cuatro vectores base estándar ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) , dados por
Entonces el vector general a es
Los vectores se suman, restan y escalan como en tres dimensiones.
El producto escalar del espacio tridimensional euclidiano se generaliza a cuatro dimensiones como
Se puede utilizar para calcular la norma o longitud de un vector,
y calcular o definir el ángulo entre dos vectores distintos de cero como
El espacio-tiempo de Minkowski es un espacio de cuatro dimensiones con una geometría definida por un emparejamiento no degenerado diferente del producto escalar:
Por ejemplo, la distancia al cuadrado entre los puntos (0,0,0,0) y (1,1,1,0) es 3 tanto en el espacio de 4 dimensiones euclidiana como en el de Minkowski, mientras que la distancia al cuadrado entre (0,0,0,0) y (1,1,1,1) es 4 en el espacio euclidiano y 2 en el espacio de Minkowski; al aumentar b 4 disminuye la distancia métrica. Esto conduce a muchas de las conocidas "paradojas" aparentes de la relatividad.
El producto vectorial no se define en cuatro dimensiones, sino que se utiliza el producto exterior para algunas aplicaciones y se define de la siguiente manera:
Este es un valor bivectorial , con bivectores en cuatro dimensiones que forman un espacio lineal de seis dimensiones con base ( e 12 , e 13 , e 14 , e 23 , e 24 , e 34 ) . Se pueden utilizar para generar rotaciones en cuatro dimensiones.
En el espacio tridimensional familiar de la vida diaria, hay tres ejes de coordenadas , generalmente etiquetados como x , y y z , y cada eje es ortogonal (es decir, perpendicular) a los otros dos. Las seis direcciones cardinales en este espacio pueden llamarse arriba , abajo , este , oeste , norte y sur . Las posiciones a lo largo de estos ejes pueden llamarse altitud , longitud y latitud . Las longitudes medidas a lo largo de estos ejes pueden llamarse altura , ancho y profundidad .
En comparación, el espacio de cuatro dimensiones tiene un eje de coordenadas adicional, ortogonal a los otros tres, que suele denominarse w . Para describir las dos direcciones cardinales adicionales, Charles Howard Hinton acuñó los términos ana y kata , de las palabras griegas que significan "arriba hacia" y "abajo desde", respectivamente. [8] : 160
Como se mencionó anteriormente, Hermann Minkowski explotó la idea de cuatro dimensiones para discutir la cosmología, incluida la velocidad finita de la luz . Al agregar una dimensión temporal al espacio tridimensional, especificó una perpendicularidad alternativa, la ortogonalidad hiperbólica . Esta noción proporciona a su espacio cuatridimensional una simultaneidad modificada apropiada para las relaciones electromagnéticas en su cosmos. El mundo de Minkowski superó los problemas asociados con la cosmología tradicional del espacio y el tiempo absolutos utilizada anteriormente en un universo de tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal.
La geometría del espacio de cuatro dimensiones es mucho más compleja que la del espacio tridimensional, debido al grado adicional de libertad.
Así como en tres dimensiones hay poliedros formados por polígonos bidimensionales , en cuatro dimensiones hay policoras formadas por poliedros. En tres dimensiones, hay 5 poliedros regulares conocidos como sólidos platónicos . En cuatro dimensiones, hay 6 4-politopos regulares convexos , los análogos de los sólidos platónicos. Relajar las condiciones de regularidad genera otros 58 4-politopos convexos uniformes , análogos a los 13 sólidos arquimedianos semirregulares en tres dimensiones. Relajar las condiciones de convexidad genera otros 10 4-politopos regulares no convexos.
En tres dimensiones, un círculo puede extruirse para formar un cilindro . En cuatro dimensiones, hay varios objetos similares a cilindros. Una esfera puede extruirse para obtener un cilindro esférico (un cilindro con "tapas" esféricas, conocido como esferindro ) , y un cilindro puede extruirse para obtener un prisma cilíndrico (un cubindro). [ cita requerida ] El producto cartesiano de dos círculos puede tomarse para obtener un duocilindro . Los tres pueden "rodar" en el espacio de cuatro dimensiones, cada uno con sus propiedades.
En tres dimensiones, las curvas pueden formar nudos , pero las superficies no (a menos que se intersequen entre sí). Sin embargo, en cuatro dimensiones, los nudos formados con curvas se pueden desatar de forma trivial desplazándolos en la cuarta dirección, pero las superficies 2D pueden formar nudos no triviales y no autointersecantes en el espacio 4D. [13] [ página necesaria ] Debido a que estas superficies son bidimensionales, pueden formar nudos mucho más complejos que las cuerdas en el espacio 3D. La botella de Klein es un ejemplo de una superficie anudada de este tipo. [ cita necesaria ] Otra superficie de este tipo es el plano proyectivo real . [ cita necesaria ]
El conjunto de puntos del espacio cuatridimensional euclidiano que tienen la misma distancia R de un punto fijo P 0 forma una hipersuperficie conocida como 3-esfera . El hipervolumen del espacio cerrado es:
Esta es parte de la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker en la relatividad general , donde R se sustituye por la función R ( t ), donde t significa la edad cosmológica del universo. El crecimiento o la contracción de R con el tiempo significa la expansión o el colapso del universo, dependiendo de la densidad de masa en su interior. [14]
Una investigación que utiliza realidad virtual ha descubierto que los seres humanos, a pesar de vivir en un mundo tridimensional, pueden, sin una práctica especial, realizar juicios espaciales sobre segmentos de línea incrustados en un espacio de cuatro dimensiones, basándose en su longitud (unidimensional) y el ángulo (bidimensional) entre ellos. [15] Los investigadores señalaron que "los participantes de nuestro estudio tenían una práctica mínima en estas tareas, y sigue siendo una cuestión abierta si es posible obtener representaciones 4D más sostenibles, definitivas y ricas con una mayor experiencia perceptiva en entornos virtuales 4D". [15] En otro estudio, [16] se ha probado la capacidad de los humanos para orientarse en laberintos 2D, 3D y 4D. Cada laberinto constaba de cuatro segmentos de ruta de longitud aleatoria y conectados con curvas aleatorias ortogonales, pero sin ramas ni bucles (es decir, laberintos reales ). La interfaz gráfica se basó en el juego gratuito 4D Maze de John McIntosh. [17] Los participantes tuvieron que recorrer el camino y finalmente estimar la dirección lineal de regreso al punto de partida. Los investigadores descubrieron que algunos de los participantes pudieron integrar mentalmente su camino después de practicar un poco en 4D (los casos de menor dimensión se utilizaron para comparar y para que los participantes aprendieran el método).
Sin embargo, una revisión de 2020 subrayó cómo estos estudios están compuestos por una muestra pequeña de sujetos y principalmente de estudiantes universitarios. También señaló otras cuestiones que la investigación futura tiene que resolver: eliminación de artefactos (estos podrían ser causados, por ejemplo, por estrategias para resolver la tarea requerida que no utilizan la representación 4D/razonamiento 4D y retroalimentación dada por los investigadores para acelerar el proceso de adaptación) y análisis de la variabilidad intersujeto (si la percepción 4D es posible, su adquisición podría limitarse a un subconjunto de humanos, a un período crítico específico , o a la atención o motivación de las personas). Además, no está determinado si existe una forma más apropiada de proyectar la 4-dimensión (porque no hay restricciones sobre cómo se puede proyectar la 4-dimensión). Los investigadores también plantearon la hipótesis de que la adquisición humana de la percepción 4D podría resultar en la activación de las áreas visuales del cerebro y la corteza entorinal . De ser así, sugieren que podría usarse como un fuerte indicador de la adquisición de la percepción espacial 4D. Los autores también sugirieron utilizar una variedad de diferentes arquitecturas de redes neuronales (con diferentes suposiciones a priori ) para comprender cuáles son capaces de aprender o no. [18]
Para entender la naturaleza del espacio de cuatro dimensiones, se emplea comúnmente un recurso llamado analogía dimensional . La analogía dimensional es el estudio de cómo se relacionan ( n − 1 ) dimensiones con n dimensiones, y luego inferir cómo se relacionarían n dimensiones con ( n + 1 ) dimensiones. [19]
La analogía dimensional fue utilizada por Edwin Abbott Abbott en el libro Flatland , que narra una historia sobre un cuadrado que vive en un mundo bidimensional, como la superficie de una hoja de papel. Desde la perspectiva de este cuadrado, un ser tridimensional tiene poderes aparentemente divinos, como la capacidad de sacar objetos de una caja fuerte sin romperla (moviéndolos a través de la tercera dimensión), ver todo lo que desde la perspectiva bidimensional está encerrado detrás de paredes y permanecer completamente invisible parándose a unos centímetros de distancia en la tercera dimensión.
Aplicando la analogía dimensional, se puede inferir que un ser cuatridimensional sería capaz de hazañas similares desde la perspectiva tridimensional. Rudy Rucker lo ilustra en su novela Spaceland , en la que el protagonista se encuentra con seres cuatridimensionales que demuestran tales poderes.
Cuando un objeto tridimensional pasa a través de un plano bidimensional, los seres bidimensionales en este plano solo observarían una sección transversal del objeto tridimensional dentro de este plano. Por ejemplo, si una esfera pasara a través de una hoja de papel, los seres en el papel verían primero un solo punto. Un círculo se hace gradualmente más grande, hasta que alcanza el diámetro de la esfera, y luego se vuelve más pequeño nuevamente, hasta que se encoge hasta un punto y desaparece. Los seres 2D no verían un círculo de la misma manera que lo hacen los seres tridimensionales; más bien, solo ven una proyección unidimensional del círculo en su "retina" 1D. De manera similar, si un objeto cuatridimensional pasara a través de una superficie tridimensional (hiper), uno podría observar una sección transversal tridimensional del objeto cuatridimensional. Por ejemplo, una hiperesfera aparecería primero como un punto, luego como una esfera que crece (hasta que alcanza el "hiperdiámetro" de la hiperesfera), y luego la esfera se encoge hasta un solo punto y luego desaparece. [20] Este medio de visualizar aspectos de la cuarta dimensión se utilizó en la novela Flatland y también en varias obras de Charles Howard Hinton . [8] : 11–14 Y, de la misma manera, los seres tridimensionales (como los humanos con una retina 2D) pueden ver todos los lados y el interior de una forma 2D simultáneamente, un ser 4D podría ver todas las caras y el interior de una forma 3D a la vez con su retina 3D.
Una aplicación útil de la analogía dimensional para visualizar dimensiones superiores es la proyección . Una proyección es una forma de representar un objeto n -dimensional en n − 1 dimensiones. Por ejemplo, las pantallas de ordenador son bidimensionales, y todas las fotografías de personas, lugares y cosas tridimensionales se representan en dos dimensiones proyectando los objetos sobre una superficie plana. Al hacer esto, se elimina la dimensión ortogonal a la pantalla ( profundidad ) y se reemplaza con información indirecta. La retina del ojo también es una matriz bidimensional de receptores , pero el cerebro puede percibir la naturaleza de los objetos tridimensionales por inferencia a partir de información indirecta (como sombreado, escorzo , visión binocular , etc.). Los artistas suelen utilizar la perspectiva para dar una ilusión de profundidad tridimensional a las imágenes bidimensionales. La sombra , proyectada por un modelo de cuadrícula ficticio de un teseracto giratorio sobre una superficie plana, como se muestra en las figuras, también es el resultado de proyecciones.
De manera similar, los objetos de la cuarta dimensión pueden proyectarse matemáticamente a las tres dimensiones habituales, donde pueden examinarse con mayor comodidad. En este caso, la "retina" del ojo cuatridimensional es una matriz tridimensional de receptores. Un ser hipotético con un ojo así percibiría la naturaleza de los objetos cuatridimensionales infiriendo la profundidad cuatridimensional a partir de información indirecta en las imágenes tridimensionales de su retina.
La proyección en perspectiva de objetos tridimensionales en la retina del ojo introduce artefactos como el escorzo, que el cerebro interpreta como profundidad en la tercera dimensión. De la misma manera, la proyección en perspectiva desde cuatro dimensiones produce efectos de escorzo similares. Aplicando una analogía dimensional, se puede inferir una "profundidad" cuatridimensional a partir de estos efectos.
Como ilustración de este principio, la siguiente secuencia de imágenes compara varias vistas del cubo tridimensional con proyecciones análogas del teseracto de cuatro dimensiones en el espacio tridimensional.
Un concepto estrechamente relacionado con la proyección es la proyección de sombras.
Si se proyecta una luz sobre un objeto tridimensional, se proyecta una sombra bidimensional. Por analogía dimensional, la luz proyectada sobre un objeto bidimensional en un mundo bidimensional proyectaría una sombra unidimensional, y la luz sobre un objeto unidimensional en un mundo unidimensional proyectaría una sombra de dimensión cero, es decir, un punto de no luz. En sentido inverso, se puede inferir que la luz proyectada sobre un objeto de cuatro dimensiones en un mundo de cuatro dimensiones proyectaría una sombra tridimensional.
Si la estructura alámbrica de un cubo se ilumina desde arriba, la sombra resultante sobre una superficie plana bidimensional es un cuadrado dentro de un cuadrado con las esquinas correspondientes conectadas. De manera similar, si la estructura alámbrica de un teseracto se iluminara desde "arriba" (en la cuarta dimensión), su sombra sería la de un cubo tridimensional dentro de otro cubo tridimensional suspendido en el aire (una superficie "plana" desde una perspectiva de cuatro dimensiones). (Obsérvese que, técnicamente, la representación visual que se muestra aquí es una imagen bidimensional de la sombra tridimensional de la figura de estructura alámbrica de cuatro dimensiones).
La analogía dimensional también ayuda a inferir propiedades básicas de objetos en dimensiones superiores, como la región delimitadora . Por ejemplo, los objetos bidimensionales están delimitados por límites unidimensionales: un cuadrado está delimitado por cuatro aristas. Los objetos tridimensionales están delimitados por superficies bidimensionales: un cubo está delimitado por 6 caras cuadradas.
Aplicando una analogía dimensional, se puede inferir que un cubo de cuatro dimensiones, conocido como teseracto , está limitado por volúmenes tridimensionales. Y, de hecho, así es: las matemáticas muestran que el teseracto está limitado por ocho cubos. Saber esto es clave para entender cómo interpretar una proyección tridimensional del teseracto. Los límites del teseracto se proyectan en volúmenes de la imagen, no simplemente en superficies bidimensionales.
El 4-volumen o hipervolumen en 4D se puede calcular en forma cerrada para figuras geométricas simples, como el teseracto ( s 4 , para longitud de lado s ) y la 4-bola ( para radio r ).
El razonamiento por analogía a partir de dimensiones inferiores conocidas puede ser una excelente guía intuitiva, pero se debe tener cuidado de no aceptar resultados que no hayan sido probados más rigurosamente. Por ejemplo, considere las fórmulas para el área encerrada por un círculo en dos dimensiones ( ) y el volumen encerrado por una esfera en tres dimensiones ( ). Uno podría suponer que el volumen encerrado por la esfera en el espacio de cuatro dimensiones es un múltiplo racional de , pero el volumen correcto es . [12] El volumen de una n -bola en una dimensión arbitraria n es computable a partir de una relación de recurrencia que conecta la dimensión n con la dimensión n - 2 .
Los textos de ciencia ficción suelen mencionar el concepto de "dimensión" cuando se refieren a universos paralelos o alternativos u otros planos imaginarios de existencia . Este uso se deriva de la idea de que para viajar a universos/planos de existencia paralelos/alternativos uno debe viajar en una dirección/dimensión además de las estándar. En efecto, los otros universos/planos están a solo una pequeña distancia del nuestro, pero la distancia está en una cuarta dimensión espacial (o no espacial) (o superior), no en las estándar.
Una de las historias de ciencia ficción más elogiadas sobre la verdadera dimensionalidad geométrica, y a menudo recomendada como punto de partida para quienes recién comienzan a investigar estas cuestiones, es la novela corta Flatland de Edwin A. Abbott, de 1884. Isaac Asimov, en su prólogo a la edición de Signet Classics de 1984, describió Flatland como "la mejor introducción que uno puede encontrar a la manera de percibir las dimensiones".
La idea de otras dimensiones se incorporó a muchas de las primeras historias de ciencia ficción, apareciendo de forma destacada, por ejemplo, en The Appendix and the Spectacles (1928) de Miles J. Breuer y The Fifth-Dimension Catapult (1931) de Murray Leinster ; y apareció de forma irregular en la ciencia ficción en la década de 1940. Las historias clásicas que involucran otras dimensiones incluyen —And He Built a Crooked House (1941) de Robert A. Heinlein , en la que un arquitecto de California diseña una casa basada en una proyección tridimensional de un teseracto; Tiger by the Tail y The Universe Between (ambas de 1951) de Alan E. Nourse ; y The Ifth of Oofth (1957) de Walter Tevis . Otra referencia es la novela A Wrinkle In Time (1962) de Madeleine L'Engle , que utiliza la quinta dimensión como una forma de "teseractuar el universo" o "doblar" el espacio para moverse a través de él rápidamente. La cuarta y quinta dimensión también son componentes clave del libro El niño que se revirtió a sí mismo de William Sleator .
Immanuel Kant escribió en 1783: “Que en todas partes el espacio (que no es en sí mismo el límite de otro espacio) tiene tres dimensiones y que el espacio, en general, no puede tener más dimensiones se basa en la proposición de que no más de tres líneas pueden cortarse en ángulo recto en un punto. Esta proposición no puede demostrarse en absoluto a partir de conceptos, sino que se basa inmediatamente en la intuición y, de hecho, en la intuición pura a priori porque es apodícticamente (demostrablemente) cierta”. [22]
«El espacio tiene cuatro dimensiones» es un relato breve publicado en 1846 por el filósofo y psicólogo experimental alemán Gustav Fechner bajo el seudónimo de «Dr. Mises». El protagonista del relato es una sombra que es consciente de otras sombras y puede comunicarse con ellas, pero que está atrapada en una superficie bidimensional. Según Fechner, este «hombre-sombra» concibe la tercera dimensión como una dimensión del tiempo. [23] La historia guarda una fuerte similitud con la « Alegoría de la caverna » presentada en La República de Platón ( c. 380 a. C.).
Simon Newcomb escribió un artículo para el Bulletin of the American Mathematical Society en 1898 titulado "La filosofía del hiperespacio". [24] Linda Dalrymple Henderson acuñó el término "filosofía del hiperespacio", utilizado para describir la escritura que utiliza dimensiones superiores para explorar temas metafísicos , en su tesis de 1983 sobre la cuarta dimensión en el arte de principios del siglo XX. [25] Entre los ejemplos de "filósofos del hiperespacio" se incluyen Charles Howard Hinton , el primer escritor, en 1888, en utilizar la palabra "teseracto"; [26] y el esoterista ruso P. D. Ouspensky .
