Dislocaciones geométricamente necesarias

Las dislocaciones geométricamente necesarias son dislocaciones con signos iguales necesarias para adaptarse a la flexión plástica en un material cristalino . ^[1] Están presentes cuando la deformación plástica de un material está acompañada por gradientes de deformación plástica interna. ^[2] Son en contraste con las dislocaciones almacenadas estadísticamente, con estadísticas de signos positivos y negativos iguales, que surgen durante el flujo plástico a partir de procesos de multiplicación como la fuente de Frank-Read.

Dislocaciones en materiales cristalinos

Dislocaciones almacenadas estadísticamente

A medida que avanza la deformación, la densidad de dislocaciones aumenta y la movilidad de las dislocaciones disminuye durante el flujo plástico. Existen diferentes formas en las que las dislocaciones pueden acumularse. Muchas de las dislocaciones se acumulan por multiplicación, donde las dislocaciones se encuentran entre sí por casualidad. Las dislocaciones almacenadas en tales progresos se denominan dislocaciones almacenadas estadísticamente, con una densidad correspondiente . ^[2] En otras palabras, son dislocaciones que evolucionaron a partir de procesos de atrapamiento aleatorio durante la deformación plástica. ^[3] ${\displaystyle \rho _{s}}$

Dislocaciones geométricamente necesarias

Además de la dislocación almacenada estadísticamente, las dislocaciones geométricamente necesarias se acumulan en campos de gradiente de deformación causados ​​por restricciones geométricas de la red cristalina. En este caso, la deformación plástica va acompañada de gradientes de deformación plástica internos. La teoría de dislocaciones geométricamente necesarias fue introducida por primera vez por Nye ^[4] en 1953. Dado que las dislocaciones geométricamente necesarias están presentes además de las dislocaciones almacenadas estadísticamente, la densidad total es la acumulación de dos densidades, por ejemplo , donde es la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias. ${\displaystyle \rho _{s}+\rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$

Concepto

Cristal único

La flexión plástica de un monocristal se puede utilizar para ilustrar el concepto de dislocación geométricamente necesaria, donde los planos de deslizamiento y las orientaciones del cristal son paralelas a la dirección de la flexión. El cristal perfecto (no deformado) tiene una longitud y un espesor . Cuando la barra de cristal se dobla hasta un radio de curvatura , se forma un gradiente de deformación donde se produce una deformación por tracción en la parte superior de la barra de cristal, lo que aumenta la longitud de la superficie superior de a . Aquí es positivo y se supone que su magnitud es . De manera similar, la longitud de la superficie interna opuesta disminuye de a debido a la deformación por compresión causada por la flexión. Por lo tanto, el gradiente de deformación es la diferencia de deformación entre las superficies exterior e interior del cristal dividida por la distancia sobre la que existe el gradiente. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l+dl}$ ${\displaystyle dl}$ ${\displaystyle t\theta /2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l-dl}$

${\displaystyle strain\ gradient=2{\frac {dl/l}{t}}=2{\frac {t\theta /2l}{t}}={\frac {\theta }{l}}}$. Desde , . ${\displaystyle l=r\theta }$ ${\displaystyle strain\ gradient={\frac {1}{r}}}$

Figura para explicar la formación de dislocaciones geométricamente necesarias en un monocristal.

La longitud de la superficie dividida por el espaciamiento interatómico es el número de planos cristalinos en esta superficie. El espaciamiento interatómico es igual a la magnitud del vector de Burgers . Por lo tanto, los números de planos cristalinos en la superficie externa (tensión) y la superficie interna (compresión) son y , respectivamente. Por lo tanto, se introduce el concepto de dislocaciones geométricamente necesarias, que las dislocaciones de borde del mismo signo compensan la diferencia en el número de planos atómicos entre superficies. La densidad de dislocaciones geométricamente necesarias es esta diferencia dividida por el área de la superficie del cristal. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (l+dl)/b}$ ${\displaystyle (l-dl)/b}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {(l+dl)/b-(l-dl)/b}{lt}}=2{\frac {dl}{ltb}}={\frac {1}{rb}}={\frac {strain\ gradient}{b}}}$.

Más precisamente, al calcular la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias se debe tener en cuenta la orientación del plano de deslizamiento y la dirección con respecto a la flexión. En un caso especial, cuando las normales del plano de deslizamiento son paralelas al eje de flexión y las direcciones de deslizamiento son perpendiculares a este eje, durante el proceso de flexión se produce un deslizamiento de dislocación normal en lugar de una dislocación geométricamente necesaria. Por tanto, en la expresión para la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias se incluye una constante de orden uno. ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \rho _{g}=\alpha {\frac {strain\ gradient}{b}}}$.

Material policristalino

Entre los granos adyacentes de un material policristalino, las dislocaciones geométricamente necesarias pueden proporcionar compatibilidad de desplazamiento al acomodar el gradiente de deformación de cada cristal. Empíricamente, se puede inferir que tales regiones de dislocaciones existen porque los cristalitos en un material policristalino no tienen huecos o segmentos superpuestos entre ellos. En un sistema de este tipo, la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias se puede estimar considerando un grano promedio. La superposición entre dos granos adyacentes es proporcional a donde es la deformación promedio y es el diámetro del grano. El desplazamiento es proporcional a multiplicado por la longitud de calibración, que se toma como para un policristal. Esto dividido por el vector de Burgers , b , da el número de dislocaciones, y dividido por el área ( ) da la densidad ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}d}$ ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle dl}$ ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \cong d^{2}}$

${\displaystyle \rho _{g}\cong {\frac {\overline {\varepsilon }}{bd}}}$

que, con otras consideraciones geométricas, se puede refinar para

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {\overline {\varepsilon }}{4bd}}}$. ^[2]

Tensor de Nye

Nye ha introducido un conjunto de tensores (el llamado tensor de Nye) para calcular la densidad de dislocaciones geométricamente necesaria. ^[4]

Para dislocaciones tridimensionales en un cristal, considerando una región donde los efectos de las dislocaciones se promedian (es decir, el cristal es lo suficientemente grande). Las dislocaciones se pueden determinar mediante vectores de Burgers . Si un circuito de Burgers del área unitaria normal al vector unitario tiene un vector de Burgers ${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle B_{i}=\alpha _{ij}l_{j}}$( ) ${\displaystyle i,j=1,2,3}$

donde el coeficiente es el tensor de Nye que relaciona el vector unitario y el vector de Burgers . Este tensor de segundo rango determina el estado de dislocación de una región especial. ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Supóngase , donde es el vector unitario paralelo a las dislocaciones y es el vector de Burgers, n es el número de dislocaciones que cruzan el área unitaria normal a . Por lo tanto, . El total es la suma de todos los valores diferentes de . Supóngase un tensor de segundo rango para describir la curvatura de la red, , donde son las pequeñas rotaciones de la red sobre los tres ejes y es el vector de desplazamiento. Se puede demostrar que donde para , y para . ${\displaystyle B_{i}=b_{i}(nr_{j}l_{j})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}=nb_{i}r_{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle nb_{i}r_{j}}$ ${\displaystyle k_{ij}}$ ${\displaystyle d\phi _{i}=k_{ij}dx_{j}}$ ${\displaystyle d\phi _{i}}$ ${\displaystyle dx_{j}}$ ${\displaystyle k_{ij}=\alpha _{ji}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ij}\alpha _{kk}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

La ecuación de equilibrio da como resultado . Puesto que , por lo tanto . Sustituyendo , . Debido a que la solución cero para las ecuaciones con son cero y la simetría de y , solo quedan nueve ecuaciones independientes de las veintisiete permutaciones posibles de . El tensor de Nye se puede determinar mediante estas nueve ecuaciones diferenciales. ${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ij}}{\partial x_{j}}}=0}$ ${\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial \phi {i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial k_{ij}}{\partial x_{k}}}={\partial ^{2} \over \partial x_{j}\partial x_{k}}\phi _{i}={\frac {\partial k_{ik}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ji}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial \alpha _{ki}}{\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}(\delta _{ij}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{k}}}-\delta _{ik}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{j}}})}$ ${\displaystyle j=k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$

Por lo tanto, el potencial de dislocación se puede escribir como , donde . ${\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\alpha _{ij}k_{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial k_{ij}}}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha _{kl}}{\partial k_{ij}}}k_{kl}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}k_{ji}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}k_{kk}=\alpha _{ij}}$

Medición

La prueba de tracción uniaxial se ha realizado en gran medida para obtener las relaciones de tensión-deformación y las propiedades mecánicas relacionadas de las muestras a granel. Sin embargo, existe un almacenamiento adicional de defectos asociados con la deformación plástica no uniforme en dislocaciones geométricamente necesarias, y la prueba macroscópica ordinaria por sí sola, por ejemplo, la prueba de tracción uniaxial, no es suficiente para capturar los efectos de tales defectos, por ejemplo, el gradiente de deformación plástica. Además, las dislocaciones geométricamente necesarias están en la escala de micrones, donde una prueba de flexión normal realizada a escala milimétrica no logra detectar estas dislocaciones. ^[5]

Solo después de la invención de métodos con resolución espacial y angular para medir la distorsión reticular mediante difracción de electrones retrodispersados ​​por Adams et al. ^[6] en 1997, se hicieron posibles las mediciones experimentales de dislocaciones geométricamente necesarias. Por ejemplo, Sun et al. ^[7] en 2000 estudiaron el patrón de curvatura reticular cerca de la interfaz de bicristales de aluminio deformados utilizando microscopía de imágenes de orientación basada en difracción. De este modo, se realizó la observación de dislocaciones geométricamente necesarias utilizando los datos de curvatura.

Pero debido a limitaciones experimentales, la densidad de dislocación geométricamente necesaria para un estado de deformación general era difícil de medir hasta que Kysar et al. ^{[8] introdujeron un método de límite inferior en 2010. Estudiaron la indentación de cuña con un ángulo incluido de 90 grados en un solo cristal de níquel (y más tarde, Dahlberg et al. [9]} también dispusieron de los ángulos incluidos de 60 grados y 120 grados ). Al comparar la orientación de la red cristalina en la configuración después de la deformación con la muestra homogénea no deformada, pudieron determinar la rotación de la red en el plano y la encontraron un orden de magnitud mayor que las rotaciones de la red fuera del plano, demostrando así el supuesto de deformación plana.

El tensor de densidad de dislocaciones de Nye ^[4] tiene solo dos componentes distintos de cero debido al estado de deformación bidimensional y se pueden derivar de las mediciones de rotación de la red. Dado que la relación lineal entre dos componentes del tensor de Nye y las densidades de dislocaciones geométricamente necesarias suele estar subdeterminada, la densidad total de dislocaciones geométricamente necesarias se minimiza sujeta a esta relación. Esta solución de límite inferior representa la densidad de dislocaciones geométricamente necesaria mínima en el cristal deformado consistente con la geometría de red medida. Y en regiones donde solo se sabe que están activos uno o dos sistemas de deslizamiento efectivos, la solución de límite inferior se reduce a la solución exacta para las densidades de dislocaciones geométricamente necesarias.

Solicitud

Debido a que además de la densidad de dislocaciones almacenadas estadísticamente , el aumento de la densidad de dislocaciones debido a los policristales acomodados conduce a un efecto de tamaño de grano durante el endurecimiento por deformación ; es decir, los policristales de tamaño de grano más fino tenderán a endurecerse por deformación más rápidamente. ^[2] ${\displaystyle \rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{s}}$

Las dislocaciones geométricamente necesarias pueden proporcionar un refuerzo, en cuyo caso existen dos mecanismos. El primer mecanismo proporciona un endurecimiento isotrópico macroscópico a través de la interacción de dislocaciones locales, por ejemplo, la formación de una protuberancia cuando una dislocación geométricamente necesaria existente es atravesada por una dislocación en movimiento. El segundo mecanismo es el endurecimiento cinemático a través de la acumulación de tensiones posteriores de largo alcance. ^[10]

Las dislocaciones geométricamente necesarias pueden reducir su energía libre al apilarse unas sobre otras (véase la fórmula de Peach-Koehler para las tensiones de dislocación-dislocación) y formar límites de inclinación de ángulo bajo . Este movimiento a menudo requiere que las dislocaciones asciendan a diferentes planos de deslizamiento, por lo que a menudo es necesario un recocido a temperatura elevada. El resultado es un arco que se transforma de estar curvado continuamente a estar curvado de forma discreta con torceduras en los límites de inclinación de ángulo bajo. ^[1]

Referencias

1. Cai, Wei; Nix, William D. (15 de septiembre de 2016). Imperfecciones en sólidos cristalinos . Cambridge University Press. ISBN 9781107123137.OCLC 927400734  .
2. H., Courtney, Thomas (2005). Comportamiento mecánico de los materiales . Waveland Press. ISBN 978-1577664253.OCLC 894800884  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Arsenlis, A; Parks, DM (marzo de 1999). "Aspectos cristalográficos de la densidad de dislocaciones geométricamente necesaria y estadísticamente almacenada". Acta Materialia . 47 (5): 1597–1611. Bibcode :1999AcMat..47.1597A. doi :10.1016/s1359-6454(99)00020-8. ISSN  1359-6454.
4. Nye, JF (marzo de 1953). "Algunas relaciones geométricas en cristales dislocados". Acta Metalúrgica . 1 (2): 153–162. doi :10.1016/0001-6160(53)90054-6. ISSN  0001-6160.
5. Gao, Huajian; Huang, Yonggang (enero de 2003). "Dislocación geométricamente necesaria y plasticidad dependiente del tamaño". Scripta Materialia . 48 (2): 113–118. doi :10.1016/s1359-6462(02)00329-9. ISSN  1359-6462.
6. Adams, Brent L. (junio de 1997). "Microscopía de imágenes de orientación: aplicaciones emergentes y futuras". Ultramicroscopía . 67 (1–4): 11–17. doi :10.1016/s0304-3991(96)00103-9. ISSN  0304-3991.
7. Sun, BL Adams, WE King, S. (1 de enero de 2000). "Observaciones de la curvatura reticular cerca de la interfaz de un bicristal de aluminio deformado". Philosophical Magazine A . 80 (1): 9–25. doi :10.1080/014186100250985. ISSN  0141-8610.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Kysar, JW; Saito, Y.; Oztop, MS; Lee, D.; Huh, WT (agosto de 2010). "Límites inferiores experimentales en la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias". Revista internacional de plasticidad . 26 (8): 1097–1123. doi :10.1016/j.ijplas.2010.03.009. ISSN  0749-6419.
9. Dahlberg, CFO; Saito, Y.; Öztop, MS; Kysar, JW (marzo de 2014). "Medidas de densidad de dislocaciones geométricamente necesarias asociadas con diferentes ángulos de indentación". Revista Internacional de Plasticidad . 54 : 81–95. doi :10.1016/j.ijplas.2013.08.008. ISSN  0749-6419.
10. Fleck, NA; Ashby, MF; Hutchinson, JW (enero de 2003). "El papel de las dislocaciones geométricamente necesarias para dar refuerzo al material". Scripta Materialia . 48 (2): 179–183. CiteSeerX 10.1.1.518.6418 . doi :10.1016/s1359-6462(02)00338-x. ISSN  1359-6462.