Ordinal de Buchholz

Concepto en matemáticas

En matemáticas, ψ ₀ (Ω _ω ) , ampliamente conocido como ordinal de Buchholz ^{[ cita requerida ]} , es un ordinal contable grande que se utiliza para medir la fuerza de la teoría de la prueba de algunos sistemas matemáticos. En particular, es el ordinal de la teoría de la prueba del subsistema -CA ₀ de la aritmética de segundo orden ; ^{[1] [2]} este es uno de los "cinco grandes" subsistemas estudiados en matemáticas inversas (Simpson 1999). También es el ordinal de la teoría de la prueba de , la teoría de definiciones inductivas finitamente iteradas , y de , ^[3] un fragmento de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek extendida por un axioma que establece que cada conjunto está contenido en un conjunto admisible . El ordinal de Buchholz es también el tipo de orden del segmento acotado por en la notación ordinal de Buchholz . ^[1] Por último, se puede expresar como el límite de la secuencia: , , , ... ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ID_{<\omega }}}}$ ${\displaystyle KP\ell _{0}}$ ${\displaystyle D_{0}D_{\omega }0}$ ${\displaystyle {\mathsf {(OT,<)}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\psi _{0}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\mathsf {BHO}}=\psi _{0}(\Omega _{2})}$ ${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{3})}$

Definición

• ${\displaystyle \Omega _{0}=1}$, y para n > 0. ${\displaystyle \Omega _{n}=\aleph _{n}}$

• ${\displaystyle C_{i}(\alpha )}$es el cierre de la suma y la función misma (la última de las cuales solo para y ). ${\displaystyle \Omega _{i}}$ ${\displaystyle \psi _{\eta }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu <\alpha }$ ${\displaystyle \eta \leq \omega }$
• ${\displaystyle \psi _{i}(\alpha )}$es el ordinal más pequeño que no está en . ${\displaystyle C_{i}(\alpha )}$
• Por lo tanto, ψ ₀ (Ω _ω ) es el ordinal más pequeño que no está en la clausura de bajo la adición y la función misma (la última de las cuales solo para y ). ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \psi _{\eta }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu <\Omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \eta \leq \omega }$

Referencias

1. Buchholz, W. (1986-01-01). "Un nuevo sistema de funciones ordinales demostrativas". Anales de lógica pura y aplicada . 32 : 195–207. doi : 10.1016/0168-0072(86)90052-7 . ISSN  0168-0072.
2. Simpson, Stephen G. (2009). Subsistemas de aritmética de segundo orden. Perspectivas en lógica (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88439-6.
3. T. Carlson, "Patrones elementales de semejanza" (1999). Consultado el 12 de agosto de 2022.

• G. Takeuti, Teoría de la prueba , 2.ª edición, 1987, ISBN 0-444-10492-5 
• K. Schütte, Teoría de la prueba , Springer 1977 ISBN 0-387-07911-4