En la rama de las matemáticas conocida como geometría euclidiana , el teorema de Poncelet-Steiner es uno de los varios resultados relativos a las construcciones con regla y compás que tienen restricciones adicionales impuestas a las reglas tradicionales. Este resultado, relacionado con la equivalencia del compás oxidado , establece que todo lo que se puede construir con regla y compás juntos se puede construir con regla solamente, siempre que se dé un solo círculo y su centro :
Aunque el compás puede facilitar considerablemente las construcciones, se sobreentiende que el compás no tiene ningún propósito funcional una vez que se ha dibujado el primer círculo. Todas las construcciones siguen siendo posibles, aunque se entiende naturalmente que los círculos y sus arcos no se pueden dibujar sin el compás. Todos los puntos que definen de forma única una construcción, que se pueden determinar con el uso del compás, se pueden determinar igualmente sin él, aunque con mayor dificultad.
Esto significa únicamente que el compás puede utilizarse con fines estéticos , más que con fines constructivos. En otras palabras, el compás puede utilizarse después de determinar todos los puntos clave, para "rellenar" los arcos con fines puramente visuales o artísticos, si es conveniente, y no como un paso necesario hacia la construcción. No se pierde nada esencial para los fines de la construcción geométrica si se descuida la construcción de arcos circulares.
Las construcciones que se llevan a cabo siguiendo este teorema (basándose únicamente en el uso de una regla sin la ayuda de un compás) se conocen como construcciones de Steiner . Las construcciones de Steiner pueden implicar cualquier número de círculos, incluso ninguno, ya dibujados en el plano, con o sin sus centros. Pueden implicar todo tipo de formas y curvas únicas preexistentes en el plano, también, siempre que la regla sea la única herramienta física a disposición del geómetra. Mientras que el teorema de Poncelet-Steiner estipula la existencia de un círculo y su centro, y afirma que un solo círculo es equivalente a un compás.
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En el siglo X, el matemático persa Abu al-Wafa' Buzjani (940-998) consideró construcciones geométricas utilizando una regla y un compás con una abertura fija, el llamado compás oxidado . Construcciones de este tipo parecieron tener cierta importancia práctica, ya que fueron utilizadas por los artistas Leonardo da Vinci y Alberto Durero en Europa a fines del siglo XV. Un nuevo punto de vista se desarrolló a mediados del siglo XVI cuando el tamaño de la abertura se consideró fijo pero arbitrario y la cuestión de cuántas de las construcciones de Euclides podrían obtenerse era primordial. [1]
El matemático renacentista Lodovico Ferrari , alumno de Gerolamo Cardano , en un «desafío matemático» contra Niccolò Fontana Tartaglia, fue capaz de demostrar que «todo Euclides» (es decir, las construcciones con regla y compás de los seis primeros libros de los Elementos de Euclides ) se podían realizar con una regla y un compás oxidado. En el plazo de diez años, Cardano, Tartaglia y el alumno de Tartaglia, Benedetti, obtuvieron conjuntos adicionales de soluciones. Durante el siglo siguiente, estas soluciones fueron generalmente olvidadas hasta que, en 1673, Georg Mohr publicó (de forma anónima y en holandés) Euclidis Curiosi , que contenía sus propias soluciones. Mohr sólo había oído hablar de la existencia de los resultados anteriores y esto lo llevó a trabajar en el problema. [2]
Demostrar que "todo Euclides" se puede realizar con una regla y un compás oxidado no es lo mismo que demostrar que todas las construcciones con regla y compás se pueden hacer con una regla y sólo un compás oxidado. Tal prueba requeriría la formalización de lo que una regla y un compás podrían construir. Esta base fue proporcionada por Jean Victor Poncelet en 1822, habiendo sido motivado por el trabajo de Mohr sobre el teorema de Mohr-Mascheroni . También conjeturó y sugirió una posible prueba de que una regla y un compás oxidado serían equivalentes a una regla y un compás, y además, el compás oxidado sólo necesita ser usado una vez. El resultado de este teorema, que una regla y un solo círculo con centro dado es equivalente a una regla y un compás fue demostrado por Jakob Steiner en 1833. [3] [1]
Posteriormente, Francesco Severi , Lazare Carnot , Karl von Staudt , Giuseppe Peano y otros realizaron importantes contribuciones a este campo .
A menudo se asocian (a veces de manera imprecisa) con el teorema de Poncelet-Steiner otras nociones, herramientas, terminología, etc. Algunas de ellas se enumeran aquí.
El término construcción de Steiner se refiere típicamente a cualquier construcción geométrica que utilice únicamente la herramienta de regla y, a veces, se denomina simplemente construcción con solo regla . No se establecen estipulaciones sobre qué objetos geométricos ya existen en el plano ni sobre su ubicación relativa; dichas condiciones se postulan de antemano. Además, no se hacen implicancias sobre lo que es o no es posible construir.
Por lo tanto, todas las construcciones que se adhieren al teorema de Poncelet-Steiner son construcciones de Steiner, aunque no todas las construcciones de Steiner se rigen por la condición de que sólo haya un círculo con su centro en el plano. El teorema de Poncelet-Steiner no requiere un compás real -se supone que el círculo preexiste en el plano-, por lo tanto, todas las construcciones que aquí se presentan que demuestran el teorema de Poncelet-Steiner son construcciones de Steiner.
La brújula oxidada describe una brújula cuya bisagra está tan oxidada que se ha fundido de modo que sus patas (la aguja y el lápiz) no pueden ajustar su anchura. En esencia, es una brújula cuya distancia es fija y que dibuja círculos de un radio predeterminado y constante, pero arbitrario. Los círculos pueden dibujarse centrados en cualquier punto arbitrario, pero el radio es inmutable.
Como paradigma de construcción restringida , las construcciones con compás oxidado permiten el uso de una regla y un compás de ancho fijo. Equivalencia del compás oxidado:
Se entiende naturalmente que el compás de radio arbitrario puede utilizarse con fines estéticos; sólo el arco de un compás específico de ancho fijo predeterminado puede utilizarse para la construcción.
En cierto sentido, el compás oxidado es una generalización y simplificación del teorema de Poncelet-Steiner. Aunque no es más potente, sin duda es más conveniente. El teorema de Poncelet-Steiner requiere que se coloque en el plano un único círculo con un radio y un punto central arbitrarios. Como es el único círculo dibujado, no importa si se dibujó o no con un compás oxidado. Sin embargo, el beneficio de las construcciones generales con compás oxidado es que el compás se puede usar repetidamente para volver a dibujar círculos centrados en cualquier punto deseado, aunque con el mismo radio, simplificando así muchas construcciones. Naturalmente, si todas las construcciones son posibles con un único círculo colocado arbitrariamente en el plano, seguramente se puede decir lo mismo de una regla y un compás oxidado, con los que se puede colocar al menos un círculo arbitrariamente.
Se sabe que una regla y un compás oxidado son suficientes para construir todo lo que es posible con una regla y un compás estándar, con la comprensión implícita de que no se pueden dibujar arcos circulares de radios arbitrarios y que solo es necesario dibujarlos con fines estéticos y no constructivos. Históricamente, esto se demostró cuando se demostró el teorema de Poncelet-Steiner, que es un resultado más sólido. El compás oxidado, por lo tanto, no es más débil que el teorema de Poncelet-Steiner. El compás oxidado tampoco es más sólido.
El teorema de Poncelet-Steiner reduce la equivalencia de la brújula oxidada de Ferrari, una afirmación de la época, a una brújula de un solo uso:
El teorema de Poncelet-Steiner toma el escenario de la brújula oxidada y rompe la brújula por completo después de su primer uso.
La geometría proyectiva es el estudio de las propiedades geométricas que son invariantes bajo transformaciones proyectivas . Aunque es un tema distinto por derecho propio, muchos de los conceptos de la geometría proyectiva se aplican aquí a las construcciones de Steiner. Jean-Victor Poncelet fue un importante contribuyente al tema cuando postuló el teorema de este artículo, que Jakob Steiner demostró más tarde. Muchos de los conceptos relacionados desarrollados en la geometría proyectiva incluyen, entre otros: concurrencia , "puntos en el infinito", perspectiva , razones y razones cruzadas , conjugados, puntos estables o fijos de involuciones, invariantes, dualidad , homogeneidad, transformaciones lineales, armónicos proyectivos , lápices (de líneas o de círculos) y otros. Un tratamiento completo de las construcciones de Steiner y sus demostraciones requiere una formación en geometría proyectiva, aunque el tema de la geometría proyectiva no se limita a construcciones con solo reglas.
El término lápiz se refiere a una clase de objetos geométricos que comparten una propiedad común que es identificable de forma única por exactamente dos de sus elementos, y es un término que normalmente solo se emplea en contextos geométricos. En el caso de un lápiz de líneas , la propiedad es típicamente la de pasar por el mismo punto, o concurrencia. En el caso de un lápiz de círculos , un sistema coaxial común (que tiene el mismo eje radical) es la interpretación habitual. Aunque estos son los significados habituales, cualquier propiedad que elija el geómetra es válida. En esencia, un lápiz es un conjunto completo de objetos geométricos (potencialmente infinitos) que están completamente definidos por dos miembros distintos de su conjunto. Por lo tanto, dos objetos iguales definen toda la clase a la que pertenecen o no otros objetos iguales. Los lápices son un tema común en muchas publicaciones de geometría a lo largo de la historia, aunque el término se usa con menos frecuencia en la actualidad. Este artículo no se refiere explícitamente a los lápices, aunque algunas de las construcciones que se encuentran aquí, y en la geometría proyectiva en general, de hecho utilizan implícitamente la noción de lápiz, a menudo mediante una terminología diferente o señalando explícitamente la propiedad subyacente.
Si se debe proporcionar un solo círculo y no se proporciona ninguna otra información especial, el teorema de Steiner implica que se debe proporcionar el centro del círculo junto con el arco del círculo. Esto se hace demostrando la imposibilidad de construir el centro del círculo a partir de una regla utilizando un solo círculo en el plano, sin su centro. Se utiliza un argumento que utiliza transformaciones proyectivas y las secciones cónicas de Steiner .
También atribuido a David Hilbert y conocido como el Error de Hilbert , un resumen ingenuo de la prueba es el siguiente. Con el uso de una herramienta de borde recto, solo son posibles las transformaciones proyectivas lineales, y las transformaciones proyectivas lineales son operaciones reversibles. Las líneas se proyectan sobre líneas bajo cualquier transformación proyectiva lineal, mientras que las secciones cónicas se proyectan sobre secciones cónicas bajo una transformación proyectiva lineal, pero estas últimas están sesgadas de tal manera que las excentricidades , los focos y los centros de los círculos no se conservan. Bajo diferentes secuencias de aplicaciones, el centro no se asigna de forma única y reversible . Este no sería el caso si se pudieran usar líneas para determinar el centro de un círculo. Como las transformaciones lineales son operaciones reversibles y, por lo tanto, producirían resultados únicos, el hecho de que los resultados únicos no sean posibles implica la imposibilidad de construcciones de puntos centrales. La unicidad del centro construido dependería de información adicional, no proporcionada por un solo círculo, que haría que la construcción fuera reversible.
Por lo tanto, no es posible construir todo lo que se puede construir con regla y compás con una regla solamente. En consecuencia, las exigencias del teorema de Poncelet-Steiner no pueden debilitarse con respecto al centro del círculo. Si no se proporciona el centro del único círculo dado, no se puede obtener con una regla solamente. Muchas construcciones son imposibles con una regla solamente. Es necesario algo más, y un círculo con su centro identificado es suficiente.
Alternativamente, el centro puede omitirse con suficiente información adicional. Esto no es un debilitamiento del teorema de Poncelet-Steiner, sino simplemente un marco alternativo. Tampoco es una contradicción del teorema de Steiner, que plantea la hipótesis de un solo círculo. La inclusión de esta información alternativa suficiente, que en la mayoría de los casos incluye al menos dos círculos, desambigua las aplicaciones bajo las transformaciones proyectivas, lo que permite que varias construcciones de Steiner recuperen el centro del círculo.
La mayoría de estas alternativas requieren al menos dos círculos desprovistos de sus centros, además de algún otro dato único. Algunas alternativas incluyen dos círculos concéntricos o dos círculos que se intersectan, o tres círculos, u otras variaciones en las que los círculos proporcionados carecen de sus centros. En cada una de ellas, se cumple algún criterio adicional único pero suficiente, como la concentricidad, los puntos de intersección, un tercer círculo, etc., respectivamente. Existen otras configuraciones (consulte una sección posterior para obtener una lista más detallada), como algunas configuraciones de un solo círculo, en las que se proporciona suficiente información alternativa. En cualquiera de estos casos, se puede construir el centro de un círculo, reduciendo así el problema a la hipótesis del teorema de Poncelet-Steiner (con la conveniencia adicional de tener círculos adicionales en el plano, todos cuyos centros ahora se pueden construir).
Para demostrar el teorema, es necesario demostrar que cada una de las construcciones básicas de compás y regla es posible utilizando únicamente una regla (siempre que exista un círculo y su centro en el plano), ya que estos son los fundamentos o pasos elementales de todas las demás construcciones. Es decir, todas las construcciones se pueden escribir como una serie de pasos que involucran estas cinco construcciones básicas:
Si estos fundamentos se pueden lograr con sólo una regla y un círculo arbitrario (con centro) incrustado en el plano, se habrá demostrado la afirmación que constituye el teorema de este artículo.
#1 – Una línea que pasa por dos puntos
Esto se puede hacer con una regla, no se necesita ni compás ni círculo.
#2 – Un círculo que pasa por un punto con centro definido
Se entiende que el arco de un círculo no se puede dibujar sin un compás. Se considera que un círculo está dado por dos puntos cualesquiera, uno que define el centro y otro que existe en la circunferencia en el radio. Cualquier par de puntos de este tipo define un círculo único, aunque la inversa no es cierta: para cualquier círculo dado no hay un par único que lo defina. De acuerdo con la intención del teorema que pretendemos demostrar, no es necesario dibujar el círculo real, salvo por razones estéticas. Este teorema afirma que un círculo definido de esta manera es suficiente; esta afirmación se volverá a tratar más adelante en el artículo.
#3 – Intersección de dos rectas
Esta construcción también se puede realizar directamente con una regla.
#4, #5 – Intersecciones que involucran el círculo
Por lo tanto, para demostrar el teorema, solo es necesario demostrar que las construcciones 4 y 5 son posibles usando únicamente una regla y un círculo dado con su centro.
A continuación se presentan algunas notas y comentarios sobre el teorema, las pruebas y temas de consideración relacionados.
Nomenclatura de círculos
En las construcciones que se muestran a continuación, un círculo definido por un punto central P y un punto en su circunferencia, Q , por el que pasa el arco del círculo, se denota P(Q) . Como la mayoría de los círculos no se dibujan con compás, los puntos central y circunferencia se nombran explícitamente. El arco, si se dibuja, también se puede nombrar, como círculo c . Según el teorema, cuando se proporciona un círculo dibujado con compás, simplemente se hace referencia a él como el círculo dado o el círculo proporcionado .
Generalidad del círculo
Siempre se debe suponer que el círculo proporcionado se coloca arbitrariamente en el plano con un radio arbitrario. Muchos ejemplos de constructibilidad con una regla que se pueden encontrar en varias referencias en línea y fuera de línea presupondrán que el círculo no está colocado en la posición general . En cambio, por ejemplo, la constructibilidad de un polígono puede postular que el círculo está circunscribiendo . Tales suposiciones simplifican una construcción pero no prueban la generalidad de la afirmación de constructibilidad. Para los fines de este teorema, podemos suponer que el círculo es de hecho completamente general.
Uso del arco del círculo(s) proporcionado(s)
Los puntos de intersección entre cualquier línea y el círculo dado se pueden encontrar directamente, al igual que los puntos de intersección entre los arcos de dos círculos, si se proporcionan. El teorema de Poncelet-Steiner no prohíbe el tratamiento normal de círculos ya dibujados en el plano; se aplican las reglas de construcción normales. El teorema solo prohíbe la construcción de nuevos arcos circulares con un compás.
Usabilidad
La prueba constructiva no sirve simplemente como prueba del teorema, sino que también demuestra la aplicación práctica de las construcciones más básicas, de modo que la afirmación de constructibilidad con una regla podría emplearse en la práctica, en el caso más general. Dado que todas las construcciones geométricas pueden expresarse como una secuencia de los cinco pasos constructivos básicos, y las construcciones siguientes demuestran y justifican cada uno de ellos, necesariamente, para demostrar el teorema, todas las construcciones posibles pueden implementarse en consecuencia.
Generalidad y sencillez
Algunos objetivos de construcción específicos (como por ejemplo la construcción de un cuadrado) pueden tener potencialmente soluciones de construcción relativamente simples, que no se demostrarán aquí en el artículo, a pesar de su simplicidad. La omisión de tales construcciones mitiga la extensión del artículo. El propósito de estas decisiones es que tales construcciones pueden no ser ubicuas o suficientemente útiles, particularmente para los propósitos de demostrar el teorema. Aunque el teorema y las construcciones que se encuentran en este documento se pueden usar para construir cualquier figura, no se hace ninguna afirmación sobre la existencia de alternativas más simples (solo con regla) para ninguna construcción específica.
Colocación arbitraria de puntos
Las construcciones de Steiner y las construcciones que aquí se presentan para demostrar el teorema de Poncelet-Steiner requieren la colocación arbitraria de puntos en el espacio. Estas construcciones se basan en el concepto de puntos fijos (y líneas fijas), en el que la construcción resultante es independiente de la arbitrariedad empleada durante la construcción. Se conocen como invariantes de transformación . En algunos paradigmas de construcción (como en la definición geométrica del número construible ) puede prohibirse la colocación arbitraria de puntos. La geometría tradicional no tiene tal restricción sobre la colocación de puntos; con tal restricción contra la colocación de puntos arbitrarios, el círculo simple es de hecho más débil que la brújula. Sin embargo, esto puede conciliarse. Las construcciones de Steiner pueden usarse como base para el conjunto de números construibles si solo se ingresan en el conjunto aquellos puntos que son fijos/invariantes, sin tener en cuenta los puntos colocados arbitrariamente que se requieren durante una construcción.
Dudas sobre construcciones #1 o #3: definir rectas e intersectarlas
Cualquier duda sobre las construcciones n.° 1 o n.° 3 se aplicaría igualmente al paradigma de construcción tradicional que involucra el compás y, por lo tanto, no son preocupaciones exclusivas del teorema de Poncelet-Steiner. Sus justificaciones, si es necesario, no se explorarán en este artículo.
Dudas sobre construcción #2: definición y construcción de círculos
La construcción n.° 2 no debería ser motivo de preocupación. Aunque no se discute que un círculo único se define por un punto central y un punto en su circunferencia, la pregunta pertinente es si esta es o no información suficiente para los fines de la construcción con solo una regla, o si se requiere el arco dibujado. De acuerdo con las construcciones fundamentales, el arco del círculo solo se usa en paradigmas de construcción tradicionales para los fines de intersecciones de círculo con círculo y círculo con línea, en los que el arco del círculo se usa directamente para identificar puntos de intersección. Por lo tanto, si las construcciones n.° 4 y n.° 5 se pueden satisfacer sin el arco del círculo con el que se intersecan, entonces se probará que no es necesario dibujar el arco. Esto implicaría, por lo tanto, que la construcción n.° 2 se satisface efectivamente con un simple etiquetado de dos puntos, que identifican el círculo único.
Elección de construcción entre variantes
En las construcciones generales, a menudo hay varias variaciones que producirán el mismo resultado. Las elecciones que se hagan en una variante de este tipo pueden hacerse sin pérdida de generalidad . Sin embargo, cuando se utiliza una construcción para demostrar que se puede hacer algo, no es necesario describir todas estas diversas elecciones y, en aras de la claridad de la exposición, a continuación solo se dará una variante. Las variantes elegidas a continuación se eligen así por su ubicuidad y generalización en la aplicación, más que por su simplicidad o conveniencia bajo un conjunto particular de condiciones especiales.
Pruebas alternativas
Existen pruebas alternativas para el teorema de Poncelet-Steiner, que se originan en un enfoque algebraico de la geometría . Basándose en ecuaciones y valores numéricos en el espacio de coordenadas reales , a través de un isomorfismo al plano euclidiano, esta es una interpretación bastante moderna que requiere que las nociones de longitud , distancia y posiciones de coordenadas se importen al plano. La prueba algebraica ilustra la dependencia del teorema del axioma de Arquímedes , que no se puede formular en la lógica de primer orden . Esto está mucho más allá del alcance de la geometría tradicional. Este artículo adopta un enfoque más tradicional y demuestra el teorema utilizando técnicas constructivas geométricas puras, que también muestran la aplicación práctica.
A continuación se presenta la demostración del teorema y algunas construcciones útiles que utilizan únicamente regla.
Para demostrar las construcciones n.° 4 y n.° 5 anteriores, que se incluyen a continuación, también se explican algunas construcciones intermedias necesarias, ya que se utilizan y se hace referencia a ellas con frecuencia. Estas también son construcciones que solo se realizan con regla. Todas las construcciones que se indican a continuación se basan en las construcciones básicas n.° 1, n.° 2, n.° 3 y en cualquier otra construcción que se enumere antes.
Esta construcción no requiere el uso del círculo dado. Naturalmente, cualquier línea que pase por el centro del círculo dado tiene implícitamente un segmento bisecado : el diámetro es bisecado por el centro. El archivo GIF animado incluido en la introducción de este artículo demuestra esta construcción (que se basa en el diámetro bisecado; el arco del círculo nunca se utiliza), que se reitera aquí sin el círculo y con los pasos enumerados.
Dada una línea arbitraria n (en negro) en la que existen dos puntos A y B , que tienen un punto medio M entre ellos, y un punto arbitrario P en el plano (que se supone que no está en la línea n ) a través del cual se debe trazar una paralela a la línea n :
En algunas publicaciones, el segmento de línea bisecado se considera a veces como un "círculo" unidimensional que existe en la línea. Alternativamente, en algunas publicaciones, el segmento de línea bisecado se considera como un círculo bidimensional en un espacio tridimensional, con la línea pasando por un diámetro, pero no paralela al plano, por lo que intersecta el plano de construcción en dos puntos de la circunferencia y el punto medio es simplemente el centro del círculo prescrito.
Esta construcción es un caso especial de la construcción conjugada armónica proyectiva , que no se demuestra en este artículo.
Si la línea pasa por el centro de un círculo, el segmento definido por el diámetro que pasa por el círculo queda bisecado por el centro del círculo. Sin embargo, en el caso general, cualquier otra línea en el plano puede tener un segmento bisecado construido sobre ella. Esta construcción requiere el uso del círculo dado.
Dada una línea, m (en negro), y un círculo centrado en A , deseamos crear los puntos E , B y H en la línea tales que B sea el punto medio:
Como el punto C se elige arbitrariamente, no hay necesidad de que esté inconvenientemente en la perpendicular de la línea AB a través del centro del círculo. Sin embargo, si lo está, la línea CD es simplemente la línea tangente al círculo a través del punto C , que es coincidente con el punto D. Esta construcción es posible aunque la construcción no se enumera en este artículo. Los puntos F y G pueden construirse como antes, y también serán iguales entre sí. Y nuevamente, la línea GF es simplemente la línea tangente al círculo en ese punto. Por lo tanto, los puntos E , H y su punto medio B pueden encontrarse, como antes, con solo un cambio menor agregando una subconstrucción.
Esta construcción requiere el uso del círculo dado. Para generalizar la construcción de líneas paralelas a todas las líneas posibles, no solo a aquellas con un segmento de línea bisectado colinealmente , se hace necesario tener información adicional. De acuerdo con el teorema de Poncelet-Steiner, un círculo (con centro) es el objeto de elección para esta construcción.
Para construir una línea paralela a cualquier línea dada, a través de cualquier punto del plano, combinamos trivialmente dos construcciones:
En construcciones alternativas, que no se demuestran en este artículo, se puede construir una paralela a partir de cualquier par de líneas que ya sean paralelas entre sí; por lo tanto, se puede producir una tercera paralela a partir de dos cualesquiera, sin el uso de un círculo. Además, se puede construir una paralela de cualquier línea siempre que exista en el plano cualquier paralelogramo , también sin el uso de un círculo dado.
Esta construcción requiere el uso del círculo dado y aprovecha el teorema de Tales .
A partir de una recta dada m y de un punto dado A en el plano, se debe trazar una perpendicular a la recta que pase por el punto. Se da el círculo O(r) .
Si la línea a partir de la cual se trazará la perpendicular pasa por el centro del círculo, un enfoque alternativo sería construir las líneas tangentes al círculo en los puntos de intersección de las líneas, utilizando construcciones de Steiner. Esto no se demuestra en este artículo.
Otra opción en el caso de que la línea pase por el centro del círculo sería construir una paralela a ella a través del círculo en un punto arbitrario. Un trapezoide isósceles (o potencialmente un triángulo isósceles) se forma por los puntos de intersección de ambas líneas con el círculo. Los dos lados no paralelos de los cuales pueden extenderse hasta un punto de intersección entre ellos, y una línea dibujada desde allí a través del centro del círculo. Esta línea es perpendicular, y el diámetro es dividido por el centro.
Mediante una construcción alternativa no demostrada en este artículo, se puede construir una perpendicular a cualquier línea sin un círculo, siempre que exista en el plano algún cuadrado .
Se da un segmento AB que se va a dividir en dos. Opcionalmente, existe una línea paralela m en el plano.
Para mayor perspectiva, en cierto sentido esta construcción es una variante de una construcción previa de una paralela a partir de un segmento de línea bisecado y, por lo tanto, también es un caso especial de la conjugación armónica proyectiva (no se proporciona en este artículo). Es el mismo conjunto de líneas cuando se las toma en su totalidad, pero se las construye en un orden diferente y a partir de un conjunto inicial de condiciones diferente, lo que conduce a un objetivo final diferente.
Dado que cualquier segmento arbitrario de una de dos líneas paralelas puede ser bisecado, y cualquier línea con un segmento bisecado puede tener una paralela construida, los dos escenarios son proposiciones geométricamente equivalentes. Se implican mutuamente; una construcción simple puede convertir un escenario en el otro sin utilizar información adicional.
También puede ser útil señalar que si el trapezoide ABED es un trapezoide isósceles, entonces la bisectriz CX también es una bisectriz perpendicular. Un trapezoide isósceles se forma cuando las líneas AB y DE pasan cada una por un círculo y se intersecan en esos puntos de definición, y en cuyo caso la bisectriz perpendicular es una línea central del círculo. Si la línea DE es en sí misma una línea central, entonces se ha encontrado un centro de círculo, si no se conocía ya.
Además, si ABED es un paralelogramo, la construcción fallará tal como está escrita. El punto X se puede encontrar normalmente, pero el punto C no existirá. En cambio, la línea bisectriz se puede construir como un paralelo de las líneas AD o BE que pasan por el punto X. Sin embargo, en una construcción alternativa, cualquier segmento de línea se puede bisecar siempre que exista un paralelogramo en el plano (no se demuestra en este artículo).
Para definir un círculo se requiere únicamente el centro y un punto (cualquier punto) de la circunferencia. En principio, se construye un nuevo punto B' de manera que el círculo A(B) sea igual al círculo A(B') , aunque el punto B no sea igual al punto B' . En esencia, se gira el segmento AB sobre el eje A , hasta AB' , para un conjunto diferente de puntos de definición para el mismo círculo.
Una forma de hacerlo que satisface la mayoría de las condiciones es la siguiente:
Esta construcción fallará si la rotación deseada es diametralmente opuesta al círculo (es decir, una rotación de medio círculo). Una solución a este escenario es emplear dos construcciones de rotación separadas, ninguna de las cuales es una rotación de medio círculo con respecto a la anterior, y una actúa como paso intermedio. Elija cualquier ángulo de rotación arbitrario, complete la rotación, luego elija el ángulo suplementario y realice la rotación una segunda vez.
Existe una segunda solución de construcción de rotación alternativa, basada en proyecciones y puntos de perspectiva. Aunque evita la complicación de la rotación en semicírculo mencionada anteriormente, tiene sus propias complicaciones, que se resuelven de manera similar con construcciones de rotación intermedia. La construcción no es más versátil. No se demuestra en este artículo.
Esta construcción requiere el uso del círculo dado (que no está representado) para las subconstrucciones referenciadas demostradas previamente.
Supóngase que dos círculos A ( B ) y C ( D ) están dados implícitamente, definidos sólo por los puntos A , B , C y D en el plano, con sus centros definidos, pero no están construidos con compás. El eje radical , la línea m (en azul oscuro), entre los dos círculos puede construirse:
En el caso de que la construcción del eje radical falle debido a que no existe un punto de intersección X entre las líneas paralelas j y k , lo que resulta de la ubicación coincidente del punto medio M en la línea AC , se requiere un enfoque alternativo. Uno de estos enfoques es rotar el segmento AB sobre el punto del eje A (el centro del círculo A ( B ) ). Una vez que se llega a la rotación arbitraria AB' , que define el mismo círculo, la construcción del eje radical puede comenzar de nuevo sin problemas.
Esta construcción requiere el uso del círculo provisto, O ( r ) . Cualquier línea puede intersecarse naturalmente con cualquier círculo dibujado con compás.
Se dan la línea m (en negro) y el círculo P(Q) , que no está construido con compás. Los puntos de intersección del círculo P(Q) y la línea m , que son los puntos A y B , pueden construirse:
La intersección entre dos círculos se convierte en una combinación trivial de dos construcciones anteriores:
La segunda construcción básica (que describe un círculo completo con sólo su centro y un punto en el radio que define la circunferencia) nunca necesitó que se construyera un arco con el compás para que el círculo se pudiera utilizar en construcciones. Es decir, las intersecciones de círculos tanto con círculos como con líneas, que juntas son la esencia de todas las construcciones que involucran un círculo, se pueden lograr sin el arco. Es decir, cualquier círculo definido por un punto central y un punto en su circunferencia puede ser intersecado por cualquier línea y por cualquier otro círculo definido de manera similar; nada se pierde al omitir el arco. Por lo tanto, definir un círculo por su centro y por cualquier punto arbitrario en su circunferencia es suficiente para describir completamente el círculo entero y utilizarlo en construcciones. Como tal, el arco solo tiene un propósito estético. La construcción básica n.° 2 se satisface.
Dado que se ha demostrado que las cinco construcciones básicas se pueden lograr con solo una regla, siempre que se coloque un solo círculo con su centro en el plano, esto prueba el teorema de Poncelet-Steiner.
El teorema de Poncelet-Steiner es un resultado fundamental de la geometría proyectiva que tiene importantes aplicaciones prácticas para geómetras y matemáticos. Para los geómetras en ejercicio, comprender este teorema es crucial, ya que demuestra el poder de las técnicas proyectivas y proporciona métodos alternativos para resolver problemas de construcción clásicos, así como conocimientos más amplios.
Las aplicaciones prácticas del teorema de Poncelet-Steiner se extienden más allá de las matemáticas puras. En campos como los gráficos por computadora y la geometría computacional , ofrece algoritmos eficientes para construcciones geométricas sin la necesidad de enfoques más directos y prolongados. Esto puede conducir a implementaciones de software más optimizadas y robustas. Además, el teorema tiene implicaciones en el diseño arquitectónico y la ingeniería , donde puede simplificar ciertos procesos de dibujo y modelado , y prestarse a técnicas mejoradas de diseño y modelado. A menudo, las coordenadas se pueden calcular utilizando una secuencia de ecuaciones lineales , en lugar de las raíces cuadradas asociadas con un círculo, lo que permite un cálculo más rápido, más preciso y numéricamente más estable . De hecho, Paul Dirac aplicó la geometría proyectiva en su contribución al desarrollo de la mecánica cuántica . [4]
El teorema no sólo tiene importancia histórica, sino que, al igual que la geometría proyectiva en general, también ofrece una visión más profunda de la naturaleza de las construcciones geométricas y las relaciones entre las diferentes herramientas y estructuras geométricas. Desafía el pensamiento convencional sobre lo que es necesario para las construcciones geométricas y abre al geómetra nuevas vías para la resolución de problemas. Dominar los conocimientos de la geometría proyectiva mejora la capacidad del geómetra para abordar los problemas desde múltiples perspectivas, fomentando la creatividad y la versatilidad en su trabajo.
Construcciones que solo utilizan brújula
El teorema de Poncelet-Steiner se puede contrastar con el teorema de Mohr-Mascheroni , que establece que cualquier construcción con regla y compás se puede realizar únicamente con un compás. La regla no es necesaria, salvo por motivos estéticos; no se necesita nada más en el plano.
Brújula oxidada
La restricción del compás oxidado permite el uso de un compás y una regla, siempre que el compás produzca círculos de radio fijo. Aunque las construcciones con compás oxidado se exploraron desde el siglo X, y se demostró que todo Euclides se podía construir con un compás oxidado en el siglo XVII, el teorema de Poncelet-Steiner demuestra que el compás oxidado y la regla juntos son más que suficientes para cualquier construcción euclidiana. De hecho, el compás oxidado se convierte en una herramienta que simplifica las construcciones con respecto a la regla y el círculo simple. Visto desde otro punto de vista, el teorema de Poncelet-Steiner no solo fija el ancho del compás oxidado, sino que garantiza que el compás se rompa después de su primer uso.
Brújula rígida versus brújula colapsable
El teorema de equivalencia de la brújula demuestra que la brújula rígida (también llamada brújula moderna) -una brújula que mantiene su espaciado cuando se levanta del plano- es equivalente a la brújula plegable tradicional (también llamada divisora) -una brújula que no mantiene su espaciado, por lo que "se pone a cero" cada vez que se levanta del plano. Euclides demostró que la capacidad de transferir distancias (es decir, construir círculos congruentes, trasladar un círculo en el plano) -una operación que se vuelve trivial gracias a la apertura fijable de una brújula rígida- era posible con la brújula plegable. En consecuencia, la brújula rígida y la brújula plegable son equivalentes: lo que se puede construir con una se puede construir con la otra.
Es válido señalar que la capacidad de trasladar círculos con un compás plegable es, en cierto sentido, un resultado más puro. Demuestra que la operación puede lograrse de manera abstracta, retenida en la propia geometría, en lugar de ser una característica de una herramienta física diseñada para ese fin y que no está integrada en el plano.
De hecho, la traslación de círculos se puede realizar utilizando únicamente el compás plegable, sin la herramienta de regla. Dado que esto es cierto incluso en el paradigma de construcción con solo compás, la equivalencia no depende de la regla para complementar el compás plegable. En este paradigma, además, la operación de traslación de círculos no requiere más de tres círculos adicionales (aplicaciones del compás) además de los del compás rígido.
El requisito impuesto al teorema de Poncelet-Steiner (que debe existir en el plano un círculo con su centro proporcionado) ha sido desde entonces generalizado o reforzado para incluir condiciones alternativas pero igualmente restrictivas.
Sin duda, existen otros escenarios únicos además de los que se enumeran aquí. Esta no es una lista exhaustiva de posibilidades.
En algunas configuraciones (o paradigmas alternativos) se puede omitir por completo el centro del círculo y, aun así, todo el sistema euclidiano sigue siendo construible. En cada uno de los siguientes escenarios, el círculo o los círculos proporcionados carecen de centro. El enfoque para estas situaciones es construir el centro del círculo a partir de la información proporcionada, dejando un círculo con su centro en el plano. Por lo tanto, estos son problemas reducibles a uno que ya se haya resuelto mediante el teorema de Poncelet-Steiner.
Estos escenarios no contradicen el teorema de Steiner que, si bien establece que es absolutamente necesario un centro, también plantea la hipótesis de que solo existe un círculo en el plano sin ninguna otra información clave.
Escenarios de un solo círculo
En uno de los escenarios alternativos más simples, basta con un solo círculo. Es necesario que existan dos conjuntos distintos de dos líneas paralelas en el plano, de modo que estos dos conjuntos de dos líneas no sean todos mutuamente paralelos o, equivalentemente, ningún paralelogramo en el plano. Alternativamente, podemos tener solo tres líneas paralelas, siendo una de ellas una línea media equidistante entre las otras dos.
Escenarios de dos círculos
En otras dos alternativas de este tipo, es suficiente tener dos círculos concéntricos, o bien dos círculos que se intersectan distintos, de los cuales hay dos casos: dos puntos de intersección y un punto de intersección (círculos tangenciales).
Existen otras variantes. Basta con tener dos círculos arbitrarios, siempre que se dé al menos un punto en la línea central que los atraviesa o en el eje radical entre ellos, o siempre que exista al menos un conjunto de dos líneas paralelas arbitrarias en el plano.
Tres círculos
También basta, alternativamente, tener tres círculos que no se intersequen, [5] siempre que no pertenezcan todos al mismo sistema coaxial de círculos, es decir, cada par de los tres círculos dados debe tener un eje radical distinto entre ellos.
En cada uno de estos escenarios, existe más información que la que se obtiene con uno o dos círculos. En los escenarios con dos círculos, el hecho de que sean concéntricos, o que tengan puntos de intersección determinables, o la existencia de un punto en una línea central o en un eje radical, constituye una pieza adicional de información más allá de la mera presencia de un segundo círculo. Un tercer círculo proporciona información significativa. Desafortunadamente, en los casos de un solo círculo, un solo punto o línea es totalmente insuficiente por sí solo.
Arco reducido de Severi
En otra alternativa, no se requiere en absoluto el círculo entero. En 1904, Francesco Severi demostró que cualquier arco pequeño (del círculo), junto con el centro, será suficiente. [6] Esta construcción rompe el oxidado compás en cualquier punto antes de que se complete el primer círculo, pero después de que haya comenzado, dibujando así una porción continua del arco del círculo en el plano, y aún así todas las construcciones siguen siendo posibles. Por lo tanto, las condiciones que plantean la hipótesis del teorema de Poncelet-Steiner pueden, de hecho, debilitarse, pero solo con respecto a la completitud del arco circular, y no, según el teorema de Steiner, con respecto al centro.
El teorema demuestra la construcción de Steiner de los puntos de intersección entre una línea y el círculo de un arco, independientemente del tamaño o la posición del arco, utilizando únicamente una regla y el arco. La construcción, además, no hace uso del centro del círculo del arco. Aunque el centro es necesario para completar todo Euclides, como lo prueban tanto el teorema de Steiner como el teorema de Poncelet-Steiner, el centro no es necesario para intersecar una línea con el círculo de ese arco. Utilizando esta construcción, el arco y el centro del círculo del arco, todas las construcciones de Poncelet-Steiner anteriores son igualmente alcanzables, aunque con mayor dificultad.
La prueba de Severi ilustra que cualquier arco del círculo caracteriza completamente la circunferencia y permite encontrar puntos de intersección (de líneas) con ella. Con la inclusión de su centro, se describe todo el círculo. En consecuencia, el requisito mínimo del teorema de Poncelet-Steiner de un círculo sigue estando satisfecho. El círculo permanece completamente definido y totalmente utilizable, independientemente de la ausencia de alguna porción del arco completado. Dado que la construcción de Severi intersecta líneas con el círculo del arco, y el teorema de Poncelet-Steiner construye intersecciones de círculo con círculo mediante la regla, no hay necesidad adicional de justificar las intersecciones de círculo con círculo bajo este paradigma restringido.
El arco en relación con las omisiones del centro del círculo
También en cada uno de los escenarios mencionados anteriormente en los que se omiten los centros de los círculos, la completitud del arco circular no es necesaria, según el teorema de Severi. Sin embargo, en el caso de dos círculos que se cortan, sus puntos de intersección deben indicarse explícitamente siempre que no existan arcos del círculo o de los círculos donde sí existan puntos de intersección. Es decir, si los puntos de intersección entre dos círculos de arcos no se pueden encontrar directamente a través de los dos arcos, deben indicarse. De lo contrario, la completitud del arco circular es redundante.
Aunque es un concepto relativamente nuevo que surge de los sistemas computacionales , la noción de flujo de control y sus diversas restricciones en el contexto de la geometría también son objeto de estudio. En lo que respecta a las construcciones geométricas, estas restricciones son típicamente las que se imponen al geómetra. Al igual que en el caso de los números construibles , las prohibiciones contra la colocación arbitraria de puntos son una posible restricción del flujo de control, discutida previamente en este artículo. En el Teorema de Mohr-Mascheroni antes mencionado, se podrían imponer restricciones al radio de la brújula, como mínimos y máximos dado un conjunto de puntos de partida. Otros ejemplos pueden incluir restricciones a las secuencias y el orden de construcción, la ramificación de decisiones y la repetición o reiteración de pasos.
En lugar de restringir aún más las reglas de construcción, resulta igualmente interesante estudiar la relajación de las restricciones. A veces se las llama construcciones extendidas , porque extienden lo que es construible al extender el conjunto de herramientas permitidas. Estas construcciones también se denominan construcciones neusis (del griego neusis ) porque emplean herramientas distintas del compás y la regla, o construcciones liberadas porque alivian las restricciones del paradigma tradicional.
Del mismo modo que los geómetras han estudiado qué sigue siendo posible construir (y cómo) cuando se imponen restricciones adicionales a las reglas de construcción tradicionales (como el uso exclusivo del compás, la regla, el compás oxidado, etc.), también han estudiado qué construcciones se vuelven posibles cuando se alivian las restricciones naturales inherentes a las reglas de construcción tradicionales. Se plantean preguntas como "qué se vuelve construible", "cómo se podría construir", "cuáles son las menores reglas tradicionales que se pueden romper", "cuáles son las herramientas más simples necesarias", "qué herramientas aparentemente diferentes son equivalentes", "cómo simplifica el nuevo paradigma las construcciones tradicionales", etc.
El ángulo arbitrario no es trisectable utilizando las reglas tradicionales de compás y regla, por ejemplo, pero la trisección se vuelve construible cuando se permite la herramienta adicional de una elipse en el plano, que en sí misma no es construible. Algunos de los problemas tradicionales no resueltos, como la trisección de ángulos, la duplicación del cubo , la cuadratura del círculo , el hallazgo de raíces cúbicas, etc., que desde entonces se ha demostrado que son imposibles solo con regla y compás, se han resuelto utilizando un conjunto ampliado de herramientas. En general, los objetos estudiados para ampliar el alcance de lo que es construible han incluido:
Cada uno de los tres enfoques categóricos anteriores tiene sus propias soluciones de trisección de ángulos, al igual que las distintas herramientas y curvas.
Los geómetras antiguos consideraban que las construcciones con regla y compás (conocidas como construcciones planares ) eran ideales y preferidas. En segundo lugar, preferían las construcciones sólidas , que incluían el uso de secciones cónicas en el plano distintas del círculo. En tercer lugar, favorecían el uso de curvas suaves arbitrarias en el plano (como la espiral de Arquímedes) y, menos que nada, el uso de neuseis (herramientas físicas alternativas que se podían sostener con la mano). Es dudoso que los geómetras antiguos, al menos los del mundo occidental, siquiera consideraran el plegado de papel.
El término neusis (singular) o construcción neusis también puede referirse a una herramienta o método específico empleado por los geómetras antiguos.
La regla graduada es única en el sentido de que define una métrica y también una norma , y da lugar al tratamiento algebraico de la geometría , la representación gráfica cartesiana , e importa una unidad estándar para la proporcionalidad de los segmentos. El enfoque algebraico de la geometría ofrece una prueba clara del teorema de Poncelet-Steiner.
Vale la pena señalar que en todos los paradigmas de construcción, la regla implícita es que todas las construcciones deben terminar en un número finito de aplicaciones de las herramientas disponibles (generalmente el compás y la regla) y producir exactamente los resultados previstos. Se da por sentado que, a partir de consideraciones principalmente filosóficas como el idealismo platónico y el operacionalismo, [7] los antiguos geómetras griegos enfatizaron la finitud y la exactitud en sus construcciones. Se podrían realizar discusiones enteras con cualquiera de estas condiciones atenuadas.
Para cualquier figura que no se pueda construir de otra manera:
Por ejemplo, una trisección de un ángulo puede realizarse exactamente con compás y regla, utilizando una secuencia infinita de bisecciones de ángulos. Si la construcción se termina en alguna iteración finita, se puede lograr una aproximación precisa de una trisección con una precisión arbitraria. Aunque cada punto, línea o círculo es una construcción válida, lo que pretende aproximar nunca puede lograrse verdaderamente en aplicaciones finitas de un compás y/o una regla.
Existen, alternativamente, figuras exactamente construibles de manera no iterativa que son aproximaciones razonables para figuras no construibles. Por ejemplo, existe una construcción no iterativa relativamente simple para una aproximación del heptágono .
El teorema de Poncelet-Steiner se ha generalizado a dimensiones superiores , como, por ejemplo, una variación tridimensional en la que la regla se sustituye por un plano y el círculo con centro se sustituye por una esfera con centro. Se trata, en esencia, de una variación de la geometría tridimensional en la que sólo se utiliza una regla . Aunque se están realizando investigaciones y todavía quedan algunas proposiciones por demostrar, muchas de las propiedades que se aplican al caso bidimensional también se aplican a dimensiones superiores, como implementaciones de la geometría proyectiva. Además, se están realizando algunas investigaciones para generalizar el teorema de Poncelet-Steiner a geometrías no euclidianas .
