Órbita elíptica

Órbita de Kepler con una excentricidad de menos de uno

Animación de la órbita por excentricidad
  0.0  ·   0,2  ·   0,4  ·   0,6  ·   0,8

Dos cuerpos con masa similar orbitando alrededor de un baricentro común con órbitas elípticas.

Dos cuerpos con masa desigual orbitando alrededor de un baricentro común con órbitas circulares.

Dos cuerpos con masas muy desiguales que orbitan alrededor de un baricentro común con órbitas circulares.

En el cuadrante superior derecho de este diagrama se representa una órbita elíptica, donde el pozo de potencial gravitatorio de la masa central muestra la energía potencial y la energía cinética de la velocidad orbital se muestra en rojo. La altura de la energía cinética disminuye a medida que disminuye la velocidad del cuerpo en órbita y aumenta la distancia, de acuerdo con las leyes de Kepler.

En astrodinámica o mecánica celeste , una órbita elíptica u órbita elíptica es una órbita de Kepler con una excentricidad menor que 1; esto incluye el caso especial de una órbita circular , con excentricidad igual a 0. En un sentido más estricto, es una órbita de Kepler con la excentricidad mayor que 0 y menor que 1 (excluyendo así la órbita circular). En un sentido más amplio, es una órbita de Kepler con energía negativa . Esto incluye la órbita elíptica radial , con excentricidad igual a 1. Se utilizan con frecuencia durante varios cálculos astrodinámicos.

En un problema gravitacional de dos cuerpos con energía negativa , ambos cuerpos siguen órbitas elípticas similares con el mismo período orbital alrededor de su baricentro común . La posición relativa de un cuerpo con respecto al otro también sigue una órbita elíptica.

Los ejemplos de órbitas elípticas incluyen las órbitas de transferencia de Hohmann , las órbitas de Molniya y las órbitas de la tundra .

Velocidad

Bajo supuestos estándar, no actúan otras fuerzas excepto dos cuerpos esféricamente simétricos y ^[1] la velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular a partir de la ecuación vis-viva como: ^[2] ${\displaystyle (m_{1})}$ ${\displaystyle (m_{2})}$ ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar , a menudo expresado como cuando un cuerpo es mucho más grande que el otro. ${\displaystyle G(m_{1}+m_{2})}$ ${\displaystyle GM}$
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia entre el cuerpo en órbita y el centro de masa.
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

La ecuación de velocidad para una trayectoria hiperbólica tiene o bien es la misma con la convención de que en ese caso es negativa. ${\displaystyle (+{1 \over {a}})}$ ${\displaystyle (a)}$

Periodo orbital

Bajo supuestos estándar, el período orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular como: ^[3] ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar .
• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .

Conclusiones:

• El período orbital es igual al de una órbita circular con un radio orbital igual al semieje mayor ( ), ${\displaystyle a\,\!}$
• Para un semieje mayor dado, el período orbital no depende de la excentricidad (Ver también: Tercera ley de Kepler ).

Energía

Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica ( ) de una órbita elíptica es negativa y la ecuación de conservación de energía orbital (la ecuación Vis-viva ) para esta órbita puede tomar la forma: ^[4] ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,}$es la longitud del semieje mayor ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Conclusiones:

• Para un semieje mayor dado, la energía orbital específica es independiente de la excentricidad.

Usando el teorema virial encontramos:

• El promedio temporal de la energía potencial específica es igual a −2ε
  • El promedio temporal de r ⁻¹ es a ⁻¹
• El promedio temporal de la energía cinética específica es igual a ε

Energía en términos de semieje mayor

Puede ser útil conocer la energía en términos del semieje mayor (y las masas involucradas). La energía total de la órbita está dada por

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$,

donde a es el semieje mayor.

Derivación

Como la gravedad es una fuerza central, el momento angular es constante:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}$

En los acercamientos más cercanos y más lejanos, el momento angular es perpendicular a la distancia de la masa orbitada, por lo tanto:

${\displaystyle L=rp=rmv}$.

La energía total de la órbita está dada por ^[5]

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Sustituyendo v, la ecuación se convierte en

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Esto es cierto para r, que es la distancia más cercana/más lejana, por lo que se hacen dos ecuaciones simultáneas que, cuando se resuelven para E:

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

Dado que y , donde épsilon es la excentricidad de la órbita, se llega al resultado establecido. ${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$ ${\displaystyle r_{2}=a-a\epsilon }$

Ángulo de trayectoria de vuelo

El ángulo de la trayectoria de vuelo es el ángulo entre el vector de velocidad del cuerpo en órbita (igual al vector tangente a la órbita instantánea) y la horizontal local. Bajo los supuestos estándar de conservación del momento angular, el ángulo de la trayectoria de vuelo satisface la ecuación: ^[6] ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

dónde:

• ${\displaystyle h\,}$es el momento angular relativo específico de la órbita,
• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle \phi \,}$¿Es el ángulo de la trayectoria de vuelo?

${\displaystyle \psi }$es el ángulo entre el vector de velocidad orbital y el semieje mayor. es la anomalía local verdadera . , por lo tanto, ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

¿Dónde está la excentricidad? ${\displaystyle e}$

El momento angular está relacionado con el producto vectorial de la posición y la velocidad, que es proporcional al seno del ángulo formado por estos dos vectores. Aquí se define como el ángulo que difiere en 90 grados de este, por lo que el coseno aparece en lugar del seno. ${\displaystyle \phi }$

Ecuación de movimiento

Desde la posición inicial y la velocidad

Una ecuación de órbita define la trayectoria de un cuerpo en órbita alrededor de un cuerpo central en relación con , sin especificar la posición en función del tiempo. Si la excentricidad es menor que 1, entonces la ecuación de movimiento describe una órbita elíptica. Debido a que la ecuación de Kepler no tiene una solución general en forma cerrada para la anomalía excéntrica (E) en términos de la anomalía media (M), las ecuaciones de movimiento en función del tiempo tampoco tienen una solución en forma cerrada (aunque existen soluciones numéricas para ambas). ${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Sin embargo, las ecuaciones de trayectoria independientes del tiempo de forma cerrada de una órbita elíptica con respecto a un cuerpo central se pueden determinar a partir únicamente de una posición inicial ( ) y una velocidad ( ). ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Para este caso es conveniente utilizar los siguientes supuestos que difieren algo de los supuestos estándar anteriores:

1. La posición del cuerpo central está en el origen y es el foco principal ( ) de la elipse (alternativamente, se puede utilizar el centro de masa si el cuerpo en órbita tiene una masa significativa) ${\displaystyle \mathbf {F1} }$
2. Se conoce la masa del cuerpo central (m1)
3. Se conocen la posición inicial ( ) y la velocidad ( ) del cuerpo en órbita. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$
4. La elipse se encuentra dentro del plano XY

La cuarta suposición se puede hacer sin pérdida de generalidad porque tres puntos (o vectores) cualesquiera deben estar dentro de un plano común. Según estas suposiciones, el segundo foco (a veces llamado foco "vacío") también debe estar dentro del plano XY: . ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

Usando vectores

La ecuación general de una elipse bajo estos supuestos utilizando vectores es:

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0}$

dónde:

• ${\displaystyle a\,\!}$es la longitud del semieje mayor .
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$es el segundo foco ("vacío").
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$es cualquier valor (x,y) que satisface la ecuación.

La longitud del semieje mayor (a) se puede calcular como:

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

¿Dónde está el parámetro gravitacional estándar ? ${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$

El foco vacío ( ) se puede encontrar determinando primero el vector de excentricidad : ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

¿Dónde está el momento angular específico del cuerpo en órbita: ^[7] ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

Entonces

${\displaystyle \mathbf {F2} =-2a\mathbf {e} }$

Usando coordenadas XY

Esto se puede hacer en coordenadas cartesianas utilizando el siguiente procedimiento:

La ecuación general de una elipse bajo los supuestos anteriores es:

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

Dado:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$las coordenadas de la posición inicial

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$las coordenadas de velocidad inicial

y

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$El parámetro gravitacional

Entonces:

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$momento angular específico

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$distancia inicial desde F1 (en el origen)

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$La longitud del semieje mayor

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$Las coordenadas del vector de excentricidad

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

Finalmente, las coordenadas del foco vacío

${\displaystyle f_{x}=-2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=-2ae_{y}\quad }$

Ahora los valores resultantes fx, fy y a se pueden aplicar a la ecuación de elipse general anterior.

Parámetros orbitales

El estado de un cuerpo en órbita en un momento dado se define por la posición y la velocidad del cuerpo en órbita con respecto al cuerpo central, que se puede representar mediante las coordenadas cartesianas tridimensionales (posición del cuerpo en órbita representada por x, y y z) y los componentes cartesianos similares de la velocidad del cuerpo en órbita. Este conjunto de seis variables, junto con el tiempo, se denominan vectores de estado orbital . Dadas las masas de los dos cuerpos, determinan la órbita completa. Los dos casos más generales con estos 6 grados de libertad son la órbita elíptica y la hiperbólica. Los casos especiales con menos grados de libertad son la órbita circular y la parabólica.

Dado que se requieren al menos seis variables para representar por completo una órbita elíptica con este conjunto de parámetros, se requieren seis variables para representar una órbita con cualquier conjunto de parámetros. Otro conjunto de seis parámetros que se utilizan comúnmente son los elementos orbitales .

Sistema solar

En el Sistema Solar , los planetas , asteroides , la mayoría de los cometas y algunos restos espaciales tienen órbitas aproximadamente elípticas alrededor del Sol. Estrictamente hablando, ambos cuerpos giran alrededor del mismo foco de la elipse, el más cercano al cuerpo más masivo, pero cuando un cuerpo es significativamente más masivo, como el Sol en relación con la Tierra, el foco puede estar contenido dentro del cuerpo de mayor masa, y por lo tanto se dice que el más pequeño gira alrededor de él. El siguiente gráfico del perihelio y afelio de los planetas , planetas enanos y el cometa Halley demuestra la variación de la excentricidad de sus órbitas elípticas. Para distancias similares del Sol, las barras más anchas denotan mayor excentricidad. Nótese la excentricidad casi nula de la Tierra y Venus en comparación con la enorme excentricidad del cometa Halley y Eris .

Distancias de cuerpos seleccionados del Sistema Solar al Sol. Los bordes izquierdo y derecho de cada barra corresponden al perihelio y al afelio del cuerpo, respectivamente, por lo que las barras largas denotan una excentricidad orbital alta . El radio del Sol es de 0,7 millones de km y el radio de Júpiter (el planeta más grande) es de 0,07 millones de km, ambos demasiado pequeños para resolverse en esta imagen.

Trayectoria elíptica radial

Una trayectoria radial puede ser un segmento de línea doble , que es una elipse degenerada con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, no se trata de una órbita parabólica. Se aplican la mayoría de las propiedades y fórmulas de las órbitas elípticas. Sin embargo, la órbita no puede ser cerrada. Es una órbita abierta que corresponde a la parte de la elipse degenerada desde el momento en que los cuerpos se tocan y se alejan entre sí hasta que se tocan nuevamente. En el caso de masas puntuales es posible una órbita completa, comenzando y terminando con una singularidad. Las velocidades al inicio y al final son infinitas en direcciones opuestas y la energía potencial es igual a menos infinito.

La trayectoria elíptica radial es la solución de un problema de dos cuerpos con velocidad cero en un instante, como en el caso de dejar caer un objeto (despreciando la resistencia del aire).

Historia

Los babilonios fueron los primeros en darse cuenta de que el movimiento del Sol a lo largo de la eclíptica no era uniforme, aunque no sabían por qué; hoy se sabe que esto se debe a que la Tierra se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, moviéndose más rápido cuando está más cerca del Sol en el perihelio y más lento cuando está más lejos en el afelio . ^[8]

En el siglo XVII, Johannes Kepler descubrió que las órbitas que recorren los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol en uno de sus focos, y lo describió en su primera ley del movimiento planetario . Más tarde, Isaac Newton lo explicó como corolario de su ley de gravitación universal .

Véase también

• Ápside
• Energía característica
• Elipse
• Lista de órbitas
• Excentricidad orbital
• Ecuación de órbita
• Trayectoria parabólica

Referencias

1. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (primera edición). Nueva York: Dover. págs. 11-12. ISBN 0-486-60061-0.
2. Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York, NY, EE. UU.: Cambridge University Press. pp. 29–31. ISBN 9781108411981.
3. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (primera edición). Nueva York: Dover. pág. 33. ISBN 0-486-60061-0.
4. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (primera edición). Nueva York: Dover. págs. 27-28. ISBN 0-486-60061-0.
5. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (primera edición). Nueva York: Dover. pág. 15. ISBN 0-486-60061-0.
6. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (primera edición). Nueva York: Dover. pág. 18. ISBN 0-486-60061-0.
7. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (primera edición). Nueva York: Dover. pág. 17. ISBN 0-486-60061-0.
8. David Leverington (2003), De Babilonia a la Voyager y más allá: una historia de la astronomía planetaria, Cambridge University Press , págs. 6-7, ISBN 0-521-80840-5

Fuentes

• D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "La ecuación orbital de primer orden". American Journal of Physics . 75 (4): 352–355. Código Bibliográfico :2007AmJPh..75..352D. doi :10.1119/1.2432126.
• D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "La elipse gravitacional". Revista de física matemática . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Código Bibliográfico :2009JMP....50a2901M. doi :10.1063/1.3078419.
• Curtis, Howard D. (2019). Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería (4.ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-08-102133-0.

Enlaces externos

• Subprograma Java que anima la órbita de un satélite en una órbita elíptica Kepler alrededor de la Tierra con cualquier valor de semieje mayor y excentricidad.
• Comparación fotográfica del apogeo y perigeo lunar
• Comparación fotográfica solar entre el afelio y el perihelio
• http://www.castor2.ca