ecuaciones de laue

Ecuaciones que describen la difracción en una red cristalina.

ecuación de laue

En cristalografía y física del estado sólido , las ecuaciones de Laue relacionan las ondas entrantes con las ondas salientes en el proceso de dispersión elástica , donde la energía del fotón o la frecuencia temporal de la luz no cambia al dispersarse por una red cristalina . Llevan el nombre del físico Max von Laue (1879-1960).

Las ecuaciones de Laue se pueden escribir como la condición de dispersión de onda elástica por una red cristalina, donde es el vector de dispersión , son vectores de onda entrantes y salientes (hacia el cristal y desde el cristal, por dispersión), y es un cristal recíproco . vector de celosía . Debido a la dispersión elástica , se forman tres vectores. , , y , forman un rombo si se satisface la ecuación. Si la dispersión satisface esta ecuación, todos los puntos de la red cristalina dispersan la onda entrante hacia la dirección de dispersión (la dirección a lo largo de ). Si la ecuación no se satisface, entonces, para cualquier dirección de dispersión, sólo algunos puntos de la red dispersan la onda entrante. (Esta interpretación física de la ecuación se basa en el supuesto de que la dispersión en un punto de la red se realiza de manera que la onda que se dispersa y la onda entrante tienen la misma fase en ese punto). También puede verse como la conservación del momento. ya que desde entonces es el vector de onda para una onda plana asociada con planos paralelos de la red cristalina. (Los frentes de onda de la onda plana coinciden con estos planos de la red). ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle -\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} _{\mathrm {out} }=\hbar \mathbf {k} _{\mathrm {in} }+\hbar \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Las ecuaciones son equivalentes a la ley de Bragg ; las ecuaciones de Laue son ecuaciones vectoriales, mientras que la ley de Bragg tiene una forma que es más fácil de resolver, pero tienen el mismo contenido.

Las ecuaciones de Laue

Sean vectores de traducción primitivos (abreviadamente llamados vectores primitivos) de una red cristalina , donde los átomos están ubicados en puntos de la red descritos por con , y como cualquier número entero . (Por lo tanto, indicar que cada punto de la red es una combinación lineal entera de los vectores primitivos). ${\displaystyle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \,,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Sea el vector de onda de un haz u onda entrante (incidente) hacia la red cristalina , y sea el vector de onda de un haz u onda saliente (difractado) desde . Luego, el vector , llamado vector de dispersión o vector de onda transferido , mide la diferencia entre los vectores de onda entrante y saliente. ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {\Delta k} }$

Las tres condiciones que debe satisfacer el vector de dispersión, llamadas ecuaciones de Laue , son las siguientes: ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} =2\pi h}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} =2\pi k}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} =2\pi l}$

donde los números son números enteros . Cada elección de números enteros , llamados índices de Miller , determina un vector de dispersión . Por lo tanto, hay infinitos vectores de dispersión que satisfacen las ecuaciones de Laue, ya que hay infinitas opciones de índices de Miller . Los vectores de dispersión permitidos forman una red , llamada red recíproca de la red cristalina , ya que cada uno indica un punto de . (Este es el significado de las ecuaciones de Laue como se muestra a continuación). Esta condición permite que un solo haz incidente se difracte en infinitas direcciones. Sin embargo, los haces correspondientes a índices de Miller altos son muy débiles y no pueden observarse. Estas ecuaciones son suficientes para encontrar una base de la red recíproca (ya que cada observación indica un punto de la red recíproca del cristal bajo la medición), a partir de la cual se puede determinar la red cristalina. Este es el principio de la cristalografía de rayos X. ${\displaystyle h,k,l}$ ${\displaystyle (h,k,l)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle (h,k,l)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$

Derivación matemática

Para una onda plana incidente con una sola frecuencia (y la frecuencia angular ) en un cristal, las ondas difractadas del cristal pueden considerarse como la suma de las ondas planas salientes del cristal. (De hecho, cualquier onda se puede representar como la suma de ondas planas, ver Óptica de Fourier ). La onda incidente y una de las ondas planas de la onda difractada se representan como ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega =2\pi f}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\mathrm {in} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {in} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }),}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\mathrm {out} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {out} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }),}$

donde y son vectores de onda para las ondas planas incidente y saliente, es el vector de posición , y es un escalar que representa el tiempo, y son fases iniciales de las ondas. Para simplificar, aquí tomamos ondas como escalares , aunque el principal caso de interés es un campo electromagnético, que es un vector . Podemos pensar en estas ondas escalares como componentes de ondas vectoriales a lo largo de un determinado eje ( eje x , y , z ) del sistema de coordenadas cartesiano . ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {out} }}$

Las ondas incidente y difractada se propagan por el espacio de forma independiente, excepto en puntos de la red del cristal, donde resuenan con los osciladores, por lo que las fases de estas ondas deben coincidir. ^[1] En cada punto de la red , tenemos ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} })=\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }),}$

o equivalentemente, debemos tener

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }=\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n,}$

para algún número entero , eso depende del punto . Dado que esta ecuación se cumple en , en algún número entero . Entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =0}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }=\varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n'}$ ${\displaystyle n'}$

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} =\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +2\pi n.}$

(Seguimos usando en lugar de ya que ambas notaciones esencialmente indican algún número entero). Al reorganizar los términos, obtenemos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-n')}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =(\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} })\cdot \mathbf {x} =2\pi n.}$

Ahora, basta comprobar que esta condición se cumple en los vectores primitivos (que es exactamente lo que dicen las ecuaciones de Laue), porque, en cualquier punto de la red , tenemos ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {\Delta k} \cdot (p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} )=p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=p\,(2\pi h)+q\,(2\pi k)+r\,(2\pi l)=2\pi (ph+qk+rl)=2\pi n,}$

¿Dónde está el número entero ? La afirmación de que cada paréntesis, por ejemplo , debe ser un múltiplo de (es decir, cada ecuación de Laue) está justificada ya que, de lo contrario, no es válida para ningún número entero arbitrario . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ph+qk+rl}$ ${\displaystyle (\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=2\pi n}$ ${\displaystyle p,q,r}$

Esto asegura que si se satisfacen las ecuaciones de Laue, entonces la onda entrante y saliente (difractada) tienen la misma fase en cada punto de la red cristalina, por lo que las oscilaciones de los átomos del cristal, que siguen a la onda entrante, pueden al mismo tiempo tiempo generan la onda saliente en la misma fase de la onda entrante.

Relación con redes recíprocas y la ley de Bragg

Si con , , como números enteros representa la red recíproca de una red cristalina (definida por ) en el espacio real, sabemos que con un número entero debido a la ortogonalidad conocida entre los vectores primitivos de la red cristalina y los de la red cristalina. (Usamos la definición física, no la del cristalógrafo, para vectores reticulares recíprocos que da el factor de ). Pero observe que esto no es más que las ecuaciones de Laue. Por lo tanto identificamos que los vectores de dispersión permitidos son aquellos iguales a los vectores reticulares recíprocos para un cristal en difracción, y este es el significado de las ecuaciones de Laue. Este hecho a veces se denomina condición de Laue . En este sentido, los patrones de difracción son una forma de medir experimentalmente la red recíproca de una red cristalina. ${\displaystyle \mathbf {G} =h\mathbf {A} +k\mathbf {B} +l\mathbf {C} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {G} \cdot (p\mathbf {a} +q\mathbf {b} +r\mathbf {c} )=2\pi (hp+kq+lr)=2\pi n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

La condición de Laue se puede reescribir de la siguiente manera. ^[2]

 ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}.\end{aligned}}}$

Aplicando la condición de dispersión elástica (en otras palabras, las ondas entrantes y difractadas tienen la misma frecuencia (temporal). También podemos decir que la energía por fotón no cambia). ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$

A la ecuación anterior, obtenemos

${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2},}$

${\displaystyle 2{{\mathbf {k} }_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}.}$

La segunda ecuación se obtiene de la primera ecuación usando . ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$

El resultado (también ) es una ecuación para un plano (como el conjunto de todos los puntos indicados al satisfacer esta ecuación), ya que su ecuación equivalente es una ecuación plana en geometría. Otra ecuación equivalente, que puede ser más fácil de entender, es (también ). Esto indica el plano que es perpendicular a la línea recta entre el origen recíproco de la red y ubicado en el medio de la línea. Un avión de este tipo se llama avión de Bragg. ^[3] Este plano puede entenderse como para que se produzca la dispersión. (Es la condición de Laue, equivalente a las ecuaciones de Laue). Y, se ha supuesto que la dispersión elástica es así , y forma un rombo . Cada uno es por definición el vector de onda de una onda plana en la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad sigue la red cristalina (por ejemplo, la función que representa la densidad electrónica del cristal), los frentes de onda de cada onda plana en la serie de Fourier son perpendiculares a el vector de onda de la onda plana , y estos frentes de onda coinciden con planos paralelos de la red cristalina. Esto significa que los rayos X aparentemente se "reflejan" en planos paralelos de la red cristalina perpendiculares al mismo ángulo que su ángulo de aproximación al cristal con respecto a los planos de la red; En la dispersión cristalina de luz elástica ( normalmente rayos X ) , los planos paralelos de la red cristalina, perpendiculares a un vector recíproco de la red cristalina, actúan como espejos paralelos para la luz que, junto con la luz entrante (al cristal) y la saliente (del cristal por dispersión) los vectores de onda forman un rombo. ${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}}$ ${\displaystyle 2{{\mathbf {k} }_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot (2{{\mathbf {k} }_{\text{out}}}-\mathbf {G} )=0}$ ${\displaystyle {{\mathbf {k} }_{\text{out}}}\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|}$ ${\displaystyle (-{{\mathbf {k} }_{\text{in}}})\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {G} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle -\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Dado que el ángulo entre y es (debido a la dispersión similar a un espejo, el ángulo entre y también es ) . Recuerde, como la longitud de onda de la luz (típicamente rayos X), y como la distancia entre planos paralelos adyacentes de la red cristalina y como un número entero. Con esto, ahora derivamos la ley de Bragg que es equivalente a las ecuaciones de Laue (también llamada condición de Laue): ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \pi /2-\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \pi /2-\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta }$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\mathbf {G} |={\frac {2\pi }{d}}n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}\\2|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta =|\mathbf {G} |^{2}\\2(2\pi /\lambda )(2\pi n/d)\sin \theta =(2\pi n/d)^{2}\\2d\sin \theta =n\lambda .\end{aligned}}}$

Referencias

• Kittel, C. (1976). Introducción a la física del estado sólido , Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-49024-5

Notas

1. De manera más realista, los osciladores de la red deberían ir por detrás de la onda entrante, y la onda saliente debería ir por detrás del oscilador. Pero como el retraso es el mismo en todos los puntos de la red, el único efecto de esta corrección sería un cambio global de fase de la onda saliente, que no estamos tomando en cuenta.
2. Chaikin, primer ministro; Lubensky, TC Principios de la física de la materia condensada . pag. 47.ISBN​ 0521794501.
3. Ashcroft, Neil; Mermín, Nathaniel (1976). Física del Estado Sólido . Publicaciones de Saunders College. pag. 99.ISBN​ 0030839939.