Índice de Jaccard

Medida de similitud y diversidad entre conjuntos

Intersección y unión de dos conjuntos A y B

Intersección sobre unión como medida de similitud para la detección de objetos en imágenes: una tarea importante en visión por computadora .

El índice de Jaccard es una estadística que se utiliza para medir la similitud y diversidad de conjuntos de muestras . Se define en general tomando la relación de dos tamaños (áreas o volúmenes), el tamaño de la intersección dividido por el tamaño de la unión, también llamado intersección sobre unión ( IoU ).

Fue desarrollado por Grove Karl Gilbert en 1884 como su índice de verificación (v) ^[1] y ahora a menudo se le llama índice de éxito crítico en meteorología. ^[2] Posteriormente fue desarrollado independientemente por Paul Jaccard , dando originalmente el nombre francés de coeficiente de communauté (coeficiente comunitario), ^{[3] [4]} y formulado independientemente nuevamente por T. Tanimoto. ^[5] Por lo tanto, también se le llama índice de Tanimoto o coeficiente de Tanimoto en algunos campos.

Descripción general

El coeficiente de Jaccard mide la similitud entre conjuntos de muestras finitas y se define como el tamaño de la intersección dividido por el tamaño de la unión de los conjuntos de muestras:

${\displaystyle J(A,B)={\frac {|A\cap B|}{|A\cup B|}}={\frac {|A\cap B|}{|A|+|B|-|A\cap B|}}.}$

Tenga en cuenta que, por diseño, si la intersección de A y B está vacía, entonces J ( A ,  B ) = 0. El coeficiente de Jaccard se utiliza ampliamente en informática, ecología, genómica y otras ciencias, donde se utilizan datos binarios o binarizados . Tanto los métodos de solución exacta como los de aproximación están disponibles para probar hipótesis con el coeficiente de Jaccard. ^[6] ${\displaystyle 0\leq J(A,B)\leq 1.}$

La similitud de Jaccard también se aplica a las bolsas, es decir, a los multiconjuntos . Esta tiene una fórmula similar, ^[7] pero los símbolos utilizados representan la intersección de bolsas y la suma de bolsas (no la unión). El valor máximo es 1/2.

${\displaystyle J(A,B)={\frac {|A\cap B|}{|A\uplus B|}}={\frac {|A\cap B|}{|A|+|B|}}.}$

La distancia de Jaccard , que mide la disimilitud entre conjuntos de muestras, es complementaria al coeficiente de Jaccard y se obtiene restando el coeficiente de Jaccard de 1 o, equivalentemente, dividiendo la diferencia de los tamaños de la unión y la intersección de dos conjuntos por el tamaño de la unión:

${\displaystyle d_{J}(A,B)=1-J(A,B)={\frac {|A\cup B|-|A\cap B|}{|A\cup B|}}.}$

Una interpretación alternativa de la distancia de Jaccard es la relación entre el tamaño de la diferencia simétrica y la unión. La distancia de Jaccard se utiliza habitualmente para calcular una matriz n × n para la agrupación y el escalamiento multidimensional de conjuntos de muestras n . ${\displaystyle A\mathbin {\triangle } B=(A\cup B)-(A\cap B)}$

Esta distancia es una métrica de la colección de todos los conjuntos finitos. ^{[8] [9] [10]}

También existe una versión de la distancia de Jaccard para medidas , incluidas las medidas de probabilidad . Si es una medida en un espacio medible , entonces definimos el coeficiente de Jaccard por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle J_{\mu }(A,B)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A\cup B)}},}$

y la distancia de Jaccard por

${\displaystyle d_{\mu }(A,B)=1-J_{\mu }(A,B)={\frac {\mu (A\mathbin {\triangle } B)}{\mu (A\cup B)}}.}$

Se debe tener cuidado si o , ya que estas fórmulas no están bien definidas en estos casos. ${\displaystyle \mu (A\cup B)=0}$ ${\displaystyle \infty }$

El esquema de hash sensible a la localidad de permutaciones independientes min-wise MinHash se puede utilizar para calcular de manera eficiente una estimación precisa del coeficiente de similitud de Jaccard de pares de conjuntos, donde cada conjunto está representado por una firma de tamaño constante derivada de los valores mínimos de una función hash .

Similitud de atributos binarios asimétricos

Dados dos objetos, A y B , cada uno con n atributos binarios , el coeficiente de Jaccard es una medida útil de la superposición que A y B comparten con sus atributos. Cada atributo de A y B puede ser 0 o 1. El número total de cada combinación de atributos para A y B se especifica de la siguiente manera:

${\displaystyle M_{11}}$representa el número total de atributos donde A y B tienen ambos un valor de 1.

${\displaystyle M_{01}}$representa el número total de atributos donde el atributo de A es 0 y el atributo de B es 1.

${\displaystyle M_{10}}$representa el número total de atributos donde el atributo de A es 1 y el atributo de B es 0.

${\displaystyle M_{00}}$representa el número total de atributos donde A y B tienen ambos un valor de 0.

Cada atributo debe caer en una de estas cuatro categorías, lo que significa que

${\displaystyle M_{11}+M_{01}+M_{10}+M_{00}=n.}$

El coeficiente de similitud de Jaccard, J , se da como

${\displaystyle J={M_{11} \over M_{01}+M_{10}+M_{11}}.}$

La distancia de Jaccard, d _J , se da como

${\displaystyle d_{J}={M_{01}+M_{10} \over M_{01}+M_{10}+M_{11}}=1-J.}$

Se puede hacer una inferencia estadística basada en los coeficientes de similitud de Jaccard y, en consecuencia, en las métricas relacionadas. ^[6] Dados dos conjuntos de muestras A y B con n atributos, se puede realizar una prueba estadística para ver si una superposición es estadísticamente significativa . La solución exacta está disponible, aunque el cálculo puede ser costoso a medida que n aumenta. ^[6] Los métodos de estimación están disponibles ya sea mediante la aproximación de una distribución multinomial o mediante el método bootstrap. ^[6]

Diferencia con el coeficiente de correspondencia simple (CCM)

Cuando se utiliza para atributos binarios, el índice de Jaccard es muy similar al coeficiente de coincidencia simple . La principal diferencia es que el SMC tiene el término en su numerador y denominador, mientras que el índice de Jaccard no. Por lo tanto, el SMC cuenta tanto las presencias mutuas (cuando un atributo está presente en ambos conjuntos) como las ausencias mutuas (cuando un atributo está ausente en ambos conjuntos) como coincidencias y las compara con el número total de atributos en el universo, mientras que el índice de Jaccard solo cuenta la presencia mutua como coincidencias y la compara con el número de atributos que han sido elegidos por al menos uno de los dos conjuntos. ${\displaystyle M_{00}}$

En el análisis de la cesta de compra , por ejemplo, la cesta de dos consumidores que deseamos comparar puede contener solo una pequeña fracción de todos los productos disponibles en la tienda, por lo que el SMC generalmente devolverá valores muy altos de similitudes incluso cuando las cestas tengan muy poca semejanza, lo que hace que el índice de Jaccard sea una medida de similitud más apropiada en ese contexto. Por ejemplo, considere un supermercado con 1000 productos y dos clientes. La cesta del primer cliente contiene sal y pimienta y la cesta del segundo contiene sal y azúcar. En este escenario, la similitud entre las dos cestas medida por el índice de Jaccard sería 1/3, pero la similitud se convierte en 0,998 utilizando el SMC.

En otros contextos, donde 0 y 1 llevan información equivalente (simetría), el SMC es una mejor medida de similitud. Por ejemplo, los vectores de variables demográficas almacenadas en variables ficticias , como el género, se compararían mejor con el SMC que con el índice de Jaccard, ya que el impacto del género en la similitud debería ser igual, independientemente de si masculino se define como un 0 y femenino como un 1 o al revés. Sin embargo, cuando tenemos variables ficticias simétricas, se podría replicar el comportamiento del SMC dividiendo las variables ficticias en dos atributos binarios (en este caso, masculino y femenino), transformándolos así en atributos asimétricos, lo que permite el uso del índice de Jaccard sin introducir ningún sesgo. Sin embargo, el SMC sigue siendo más eficiente computacionalmente en el caso de variables ficticias simétricas, ya que no requiere agregar dimensiones adicionales.

Similitud y distancia ponderadas de Jaccard

Si y son dos vectores con todos los valores reales , entonces su coeficiente de similitud de Jaccard (también conocido como similitud de Ruzicka) se define como ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}\geq 0}$

${\displaystyle J_{\mathcal {W}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\frac {\sum _{i}\min(x_{i},y_{i})}{\sum _{i}\max(x_{i},y_{i})}},}$

y la distancia de Jaccard (también conocida entonces como distancia de Soergel)

${\displaystyle d_{J{\mathcal {W}}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=1-J_{\mathcal {W}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Con aún más generalidad, si y son dos funciones medibles no negativas en un espacio medible con medida , entonces podemos definir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle J_{\mathcal {W}}(f,g)={\frac {\int \min(f,g)d\mu }{\int \max(f,g)d\mu }},}$

donde y son operadores puntuales. Entonces la distancia de Jaccard es ${\displaystyle \max }$ ${\displaystyle \min }$

${\displaystyle d_{J{\mathcal {W}}}(f,g)=1-J_{\mathcal {W}}(f,g).}$

Entonces, por ejemplo, para dos conjuntos medibles , tenemos donde y son las funciones características del conjunto correspondiente. ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle J_{\mu }(A,B)=J(\chi _{A},\chi _{B}),}$ ${\displaystyle \chi _{A}}$ ${\displaystyle \chi _{B}}$

Probabilidad, similitud y distancia de Jaccard

La similitud ponderada de Jaccard descrita anteriormente generaliza el índice de Jaccard a vectores positivos, donde un conjunto corresponde a un vector binario dado por la función indicadora , es decir . Sin embargo, no generaliza el índice de Jaccard a distribuciones de probabilidad, donde un conjunto corresponde a una distribución de probabilidad uniforme, es decir ${\displaystyle x_{i}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle x_{i}={\begin{cases}{\frac {1}{|X|}}&i\in X\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Siempre es menor si los conjuntos difieren en tamaño. Si , y entonces ${\displaystyle |X|>|Y|}$ ${\displaystyle x_{i}=\mathbf {1} _{X}(i)/|X|,y_{i}=\mathbf {1} _{Y}(i)/|Y|}$

${\displaystyle J_{\mathcal {W}}(x,y)={\frac {|X\cap Y|}{|X\setminus Y|+|X|}}<J(X,Y).}$

El índice de probabilidad de Jaccard se puede interpretar como intersecciones de símplices.

En cambio, una generalización que es continua entre distribuciones de probabilidad y sus conjuntos de soporte correspondientes es

${\displaystyle J_{\mathcal {P}}(x,y)=\sum _{x_{i}\neq 0,y_{i}\neq 0}{\frac {1}{\sum _{j}\max \left({\frac {x_{j}}{x_{i}}},{\frac {y_{j}}{y_{i}}}\right)}}}$

que se llama Jaccard de "Probabilidad". ^[11] Tiene los siguientes límites contra el Jaccard ponderado en vectores de probabilidad.

${\displaystyle J_{\mathcal {W}}(x,y)\leq J_{\mathcal {P}}(x,y)\leq {\frac {2J_{\mathcal {W}}(x,y)}{1+J_{\mathcal {W}}(x,y)}}}$

Aquí, el límite superior es el coeficiente de Sørensen–Dice (ponderado) . La distancia correspondiente, , es una métrica sobre distribuciones de probabilidad y una pseudométrica sobre vectores no negativos. ${\displaystyle 1-J_{\mathcal {P}}(x,y)}$

El índice de probabilidad de Jaccard tiene una interpretación geométrica como el área de una intersección de símplices . Cada punto de un símplice unitario corresponde a una distribución de probabilidad sobre elementos, porque el símplice unitario es el conjunto de puntos en dimensiones que suman 1. Para derivar el índice de probabilidad de Jaccard geométricamente, represente una distribución de probabilidad como el símplice unitario dividido en subsímplices según la masa de cada elemento. Si superpone dos distribuciones representadas de esta manera una sobre otra e interseca los símplices correspondientes a cada elemento, el área que queda es igual al índice de probabilidad de Jaccard de las distribuciones. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$

Optimalidad del índice de probabilidad de Jaccard

Una prueba visual de la optimalidad del índice de probabilidad Jaccard en distribuciones de tres elementos.

Consideremos el problema de construir variables aleatorias de manera que colisionen entre sí tanto como sea posible. Es decir, si y , nos gustaría construir y para maximizar . Si observamos solo dos distribuciones de forma aislada, lo máximo que podemos lograr está dado por donde es la distancia de variación total . Sin embargo, supongamos que no solo nos preocupa maximizar ese par en particular, supongamos que nos gustaría maximizar la probabilidad de colisión de cualquier par arbitrario. Uno podría construir un número infinito de variables aleatorias, una para cada distribución , y buscar maximizar para todos los pares . En un sentido bastante fuerte descrito a continuación, el índice de probabilidad de Jaccard es una forma óptima de alinear estas variables aleatorias. ${\displaystyle X\sim x}$ ${\displaystyle Y\sim y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Pr[X=Y]}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \Pr[X=Y]}$ ${\displaystyle 1-{\text{TV}}(x,y)}$ ${\displaystyle {\text{TV}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Pr[X=Y]}$ ${\displaystyle x,y}$

Para cualquier método de muestreo y distribuciones discretas , si entonces para algún lugar donde y , o bien . ^[11] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \Pr[G(x)=G(y)]>J_{\mathcal {P}}(x,y)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle J_{\mathcal {P}}(x,z)>J_{\mathcal {P}}(x,y)}$ ${\displaystyle J_{\mathcal {P}}(y,z)>J_{\mathcal {P}}(x,y)}$ ${\displaystyle \Pr[G(x)=G(z)]<J_{\mathcal {P}}(x,z)}$ ${\displaystyle \Pr[G(y)=G(z)]<J_{\mathcal {P}}(y,z)}$

Es decir, ningún método de muestreo puede lograr más colisiones que en un par sin lograr menos colisiones que en otro par, donde el par reducido es más similar que el par aumentado. Este teorema es cierto para el índice de Jaccard de conjuntos (si se interpreta como distribuciones uniformes) y el Jaccard de probabilidad, pero no para el Jaccard ponderado. (El teorema utiliza la palabra "método de muestreo" para describir una distribución conjunta sobre todas las distribuciones en un espacio, porque se deriva del uso de algoritmos de minhashing ponderados que logran esto como su probabilidad de colisión). ${\displaystyle J_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle J_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle J_{\mathcal {P}}}$

Este teorema tiene una prueba visual en distribuciones de tres elementos utilizando la representación simplex.

Similitud y distancia de Tanimoto

En la literatura y en Internet se encuentran diversas formas de funciones descritas como similitud de Tanimoto y distancia de Tanimoto. La mayoría de ellas son sinónimos de similitud de Jaccard y distancia de Jaccard, pero algunas son matemáticamente diferentes. Muchas fuentes ^[12] citan un Informe técnico de IBM ^[5] como referencia fundamental.

En "Un programa informático para clasificar plantas", publicado en octubre de 1960, ^[13] se ofrece un método de clasificación basado en una relación de similitud y una función de distancia derivada. Parece que esta es la fuente más autorizada para el significado de los términos "similitud de Tanimoto" y "distancia de Tanimoto". La relación de similitud es equivalente a la similitud de Jaccard, pero la función de distancia no es la misma que la distancia de Jaccard.

Definiciones de similitud y distancia de Tanimoto

En ese artículo, se proporciona una "relación de similitud" entre mapas de bits , donde cada bit de una matriz de tamaño fijo representa la presencia o ausencia de una característica en la planta que se está modelando. La definición de la relación es la cantidad de bits comunes, dividida por la cantidad de bits establecidos ( es decir, distintos de cero) en cada muestra.

Presentado en términos matemáticos, si las muestras X e Y son mapas de bits, es el i -ésimo bit de X , y son operadores bit a bit y , o respectivamente, entonces la relación de similitud es ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \land ,\lor }$ ${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle T_{s}(X,Y)={\frac {\sum _{i}(X_{i}\land Y_{i})}{\sum _{i}(X_{i}\lor Y_{i})}}}$

Si cada muestra se modela como un conjunto de atributos, este valor es igual al coeficiente de Jaccard de los dos conjuntos. Jaccard no se cita en el artículo y parece probable que los autores no estuvieran al tanto de ello. ^{[ cita requerida ]}

Tanimoto continúa definiendo un "coeficiente de distancia" basado en esta relación, definido para mapas de bits con similitud distinta de cero:

${\displaystyle T_{d}(X,Y)=-\log _{2}(T_{s}(X,Y))}$

Este coeficiente no es, deliberadamente, una métrica de distancia. Se ha elegido para permitir la posibilidad de que dos especímenes, que son bastante diferentes entre sí, sean ambos similares a un tercero. Es fácil construir un ejemplo que refute la propiedad de la desigualdad triangular .

Otras definiciones de distancia de Tanimoto

A menudo se hace referencia a la distancia de Tanimoto, erróneamente, como sinónimo de la distancia de Jaccard . Esta función es una métrica de distancia adecuada. A menudo se afirma que la "distancia de Tanimoto" es una métrica de distancia adecuada, probablemente debido a su confusión con la distancia de Jaccard. ^{[ aclaración necesaria ] [ cita necesaria ]} ${\displaystyle 1-T_{s}}$

Si la similitud de Jaccard o Tanimoto se expresa sobre un vector de bits, entonces se puede escribir como

${\displaystyle f(A,B)={\frac {A\cdot B}{\|A\|^{2}+\|B\|^{2}-A\cdot B}}}$

donde el mismo cálculo se expresa en términos de producto escalar vectorial y magnitud. Esta representación se basa en el hecho de que, para un vector de bits (donde el valor de cada dimensión es 0 o 1), entonces

${\displaystyle A\cdot B=\sum _{i}A_{i}B_{i}=\sum _{i}(A_{i}\land B_{i})}$

y

${\displaystyle \|A\|^{2}=\sum _{i}A_{i}^{2}=\sum _{i}A_{i}.}$

Esta es una representación potencialmente confusa, porque la función tal como se expresa sobre vectores es más general, a menos que su dominio esté restringido explícitamente. Las propiedades de no necesariamente se extienden a . En particular, la función de diferencia no preserva la desigualdad triangular , y por lo tanto no es una métrica de distancia adecuada, mientras que es . ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1-f}$ ${\displaystyle 1-T_{s}}$

Existe un peligro real de que la combinación de la "Distancia de Tanimoto" definida utilizando esta fórmula, junto con la afirmación "La distancia de Tanimoto es una métrica de distancia adecuada", lleve a la falsa conclusión de que la función es, de hecho, una métrica de distancia sobre vectores o multiconjuntos en general, mientras que su uso en algoritmos de búsqueda de similitud o de agrupamiento puede no producir resultados correctos. ${\displaystyle 1-f}$

Lipkus ^[9] utiliza una definición de similitud de Tanimoto que es equivalente a , y se refiere a la distancia de Tanimoto como la función . Sin embargo, en el artículo se aclara que el contexto está restringido por el uso de un vector de ponderación (positivo) de modo que, para cualquier vector A que se considere, En estas circunstancias, la función es una métrica de distancia adecuada y, por lo tanto, un conjunto de vectores gobernados por dicho vector de ponderación forma un espacio métrico bajo esta función. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1-f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A_{i}\in \{0,W_{i}\}.}$

Índice de Jaccard en matrices de confusión de clasificación binaria

En las matrices de confusión empleadas para la clasificación binaria , el índice de Jaccard puede formularse en la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\text{Jaccard index}}={\frac {TP}{TP+FP+FN}}}$

donde TP son los verdaderos positivos, FP los falsos positivos y FN los falsos negativos. ^[14]

Véase también

• Coeficiente de superposición
• Coeficiente de correspondencia simple
• Distancia de Hamming
• Coeficiente de Sørensen–Dice , que es equivalente a: y ( : índice de Jaccard, : coeficiente de Sørensen–Dice) ${\displaystyle J=S/(2-S)}$ ${\displaystyle S=2J/(1+J)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle S}$
• Índice de Tversky
• Correlación
• Información mutua , una variante métrica normalizada de la cual es una distancia de Jaccard entrópica.

Referencias

1. Murphy, Allan H. (1996). "El caso Finley: un acontecimiento clave en la historia de la verificación de pronósticos". Tiempo y pronóstico . 11 (1): 3. Bibcode :1996WtFor..11....3M. doi : 10.1175/1520-0434(1996)011<0003:TFAASE>2.0.CO;2 . ISSN  1520-0434. S2CID  54532560.
2. "Glosario de verificación de pronósticos" (PDF) . noaa.gov . Consultado el 21 de mayo de 2023 .
3. Jaccard, Paul (1901). "Étude comparativo de la distribución floral en una porción de los Alpes y el Jura". Bulletin de la Société vaudoise des sciences naturallles (en francés). 37 (142): 547–579.
4. Jaccard, Paul (febrero de 1912). "La distribución de la flora en la zona alpina.1". New Phytologist . 11 (2): 37–50. doi :10.1111/j.1469-8137.1912.tb05611.x. ISSN  0028-646X. S2CID  85574559.
5. Tanimoto TT (17 de noviembre de 1958). "Una teoría matemática elemental de clasificación y predicción". Informe técnico interno de IBM . 1957 (8?).
6. Chung NC, Miasojedow B, Startek M, Gambin A (diciembre de 2019). "Prueba de similitud de Jaccard/Tanimoto y métodos de estimación para datos biológicos de presencia-ausencia". BMC Bioinformatics . 20 (Supl. 15): 644. arXiv : 1903.11372 . doi : 10.1186/s12859-019-3118-5 . PMC 6929325 . PMID  31874610. 
7. Leskovec J, Rajaraman A, Ullman J (2020). Minería de conjuntos de datos masivos . Cambridge. ISBN 9781108476348.y pág. 76–77 en una versión anterior.
8. Kosub S (abril de 2019). "Una nota sobre la desigualdad triangular para la distancia de Jaccard". Pattern Recognition Letters . 120 : 36–38. arXiv : 1612.02696 . Código Bibliográfico :2019PaReL.120...36K. doi :10.1016/j.patrec.2018.12.007. S2CID  564831.
9. Lipkus AH (1999). "Una prueba de la desigualdad triangular para la distancia de Tanimoto". Journal of Mathematical Chemistry . 26 (1–3): 263–265. doi :10.1023/A:1019154432472. S2CID  118263043.
10. Levandowsky M, Winter D (1971). "Distancia entre conjuntos". Nature . 234 (5): 34–35. Código Bibliográfico :1971Natur.234...34L. doi :10.1038/234034a0. S2CID  4283015.
11. Moulton R, Jiang Y (2018). "Muestreo de consistencia máxima y el índice de Jaccard de distribuciones de probabilidad". Conferencia internacional IEEE sobre minería de datos (ICDM) de 2018. págs. 347–356. arXiv : 1809.04052 . doi :10.1109/ICDM.2018.00050. ISBN 978-1-5386-9159-5.S2CID 49746072  .
12. Por ejemplo, Huihuan Q, Xinyu W, Yangsheng X (2011). Sistemas de vigilancia inteligente . Springer. pág. 161. ISBN. 978-94-007-1137-2.
13. Rogers DJ, Tanimoto TT (octubre de 1960). "Un programa informático para clasificar plantas". Science . 132 (3434): 1115–8. Bibcode :1960Sci...132.1115R. doi :10.1126/science.132.3434.1115. PMID  17790723.
14. Aziz Taha, Abdel (2015). "Métricas para evaluar la segmentación de imágenes médicas en 3D: análisis, selección y herramientas". BMC Medical Imaging . 15 (29): 1–28. doi : 10.1186/s12880-015-0068-x . PMC 4533825 . PMID  26263899. 

Lectura adicional

• Tan PN, Steinbach M, Kumar V (2005). Introducción a la minería de datos . ISBN 0-321-32136-7.

Enlaces externos

• Introducción a la minería de datos: notas de clase de Tan, Steinbach, Kumar
• Detección de características de imágenes satelitales Dstl de Kaggle: evaluación