Ecuación de swing

Un sistema de potencia consta de varias máquinas sincrónicas que funcionan de forma sincrónica en todas las condiciones de funcionamiento. En condiciones normales de funcionamiento, la posición relativa del eje del rotor y el eje del campo magnético resultante es fija. El ángulo entre ambos se conoce como ángulo de potencia , ángulo de par o ángulo del rotor . Durante cualquier perturbación, el rotor desacelera o acelera con respecto a la fuerza magnetomotriz del entrehierro que gira sincrónicamente, lo que crea un movimiento relativo. La ecuación que describe el movimiento relativo se conoce como ecuación de oscilación, que es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que describe la oscilación del rotor de la máquina sincrónica. El intercambio de potencia entre el rotor mecánico y la red eléctrica debido a la oscilación del rotor (aceleración y desaceleración) se denomina respuesta inercial .

Derivación

Un generador síncrono es accionado por un motor primario. La ecuación que rige el movimiento del rotor viene dada por:

${\displaystyle J{\frac {d^{2}{\theta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}}$ N -m

Dónde:

• ${\displaystyle J}$es el momento total de inercia de la masa del rotor en kg- ^m2
• ${\displaystyle \theta _{\text{m}}}$es la posición angular del rotor con respecto a un eje estacionario en (rad)
• ${\displaystyle t}$es el tiempo en segundos (s)
• ${\displaystyle T_{\text{m}}}$es el par mecánico suministrado por el motor primario en N -m
• ${\displaystyle T_{\text{e}}}$es el par eléctrico de salida del alternador en N -m
• ${\displaystyle T_{a}}$es el par de aceleración neto, en N -m

Sin tener en cuenta las pérdidas, la diferencia entre el par mecánico y eléctrico da como resultado el par neto de aceleración T _a . En estado estable, el par eléctrico es igual al par mecánico y, por lo tanto, la potencia de aceleración es cero. ^[1] Durante este período, el rotor se mueve a una velocidad sincrónica ω _s en rad/s. El par eléctrico T _e corresponde a la potencia neta del entrehierro en la máquina y, por lo tanto, representa la potencia de salida total del generador más las pérdidas I ² R en el devanado del inducido .

La posición angular θ se mide con un sistema de referencia fijo. Al representarla con respecto al sistema de referencia que gira sincrónicamente, se obtiene:

${\displaystyle \theta _{\text{m}}=\omega _{\text{s}}t+\delta _{\text{m}}}$

donde δ _m es la posición angular en rad respecto del sistema de referencia que gira sincrónicamente. La derivada de la ecuación anterior respecto del tiempo es:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}=\omega _{\text{s}}+{\frac {d\delta _{\text{m}}}{dt}}}$

Las ecuaciones anteriores muestran que la velocidad angular del rotor es igual a la velocidad sincrónica solo cuando dδ _m /d t es igual a cero. Por lo tanto, el término dδ _m /d t representa la desviación de la velocidad del rotor respecto del sincronismo en rad/s.

Tomando la derivada de segundo orden de la ecuación anterior se obtiene:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta _{\text{m}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\delta _{\text{m}}}{dt^{2}}}}$

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación del movimiento del rotor se obtiene:

${\displaystyle J{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}}$ N -m

Introduciendo la velocidad angular ω _m del rotor para fines de notación y multiplicando ambos lados por ω _m , ${\displaystyle \omega _{\text{m}}={\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}}$

${\displaystyle J\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{a}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}}$ Yo

donde, P _m , P _e y P _a son respectivamente la potencia mecánica, eléctrica y de aceleración en MW.

El coeficiente Jω _m es el momento angular del rotor: a la velocidad sincrónica ω _s , se denota por M y se denomina constante de inercia de la máquina. Normalizándolo como

${\displaystyle H={\frac {\text{stored kinetic energy in mega joules at synchronous speed}}{\text{machine rating in MVA}}}={\frac {J\omega _{\text{s}}^{2}}{2S_{\text{rated}}}}}$ MJ/MVA

donde S _nominal es la potencia nominal trifásica de la máquina en MVA . Sustituyendo en la ecuación anterior

${\displaystyle 2H{\frac {S_{\text{rated}}}{\omega _{\text{s}}^{2}}}\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}=P_{a}}$.

En estado estable, la velocidad angular de la máquina es igual a la velocidad sincrónica y, por lo tanto, ω _m se puede reemplazar en la ecuación anterior por ω _s . Dado que P _m , P _e y P _a se expresan en MW, al dividirlas por la potencia nominal del generador S _nominal se obtienen estas cantidades en por unidad. Al dividir la ecuación anterior en ambos lados por S _nominal se obtiene

${\displaystyle {\frac {2H}{\omega _{\text{s}}}}{\frac {d^{2}{\delta }}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{e}=P_{a}}$por unidad

La ecuación anterior describe el comportamiento de la dinámica del rotor y, por lo tanto, se la conoce como ecuación de oscilación. El ángulo δ es el ángulo de la fuerza electromotriz interna del generador y determina la cantidad de potencia que se puede transferir. Por lo tanto, este ángulo se denomina ángulo de carga.

Referencias

1. Grainger, John J.; Stevenson, William D. (1 de enero de 1994). Análisis de sistemas de potencia. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-061293-8.