En matemáticas , un álgebra de Hopf , H , es cuasitriangular [1] si existe un elemento invertible , R , de tal que![{\displaystyle H\otimes H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para todos , donde está el coproducto en H , y el mapa lineal está dado por ,![{\displaystyle x\en H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T:H\otimes H\to H\otimes H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T(x\otimes y)=y\otimes x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
,
donde , y , donde , y , son morfismos de álgebra determinados por![{\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
R se llama matriz R.
Como consecuencia de las propiedades de la cuasitriangularidad, la matriz R, R , es una solución de la ecuación de Yang-Baxter (por lo que se puede utilizar un módulo V de H para determinar cuasi-invariantes de trenzas , nudos y eslabones ). También como consecuencia de las propiedades de cuasitriangularidad, ; además , , y . Se puede demostrar además que la antípoda S debe ser un isomorfismo lineal y, por tanto, S 2 es un automorfismo. De hecho, S 2 viene dado conjugando por un elemento invertible: donde (cf. álgebras de Ribbon Hopf ).![{\displaystyle (\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R^{-1}=(S\otimes 1)(R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=(1\otimes S)(R^{-1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (S\otimes S)(R)=R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S^{2}(x)=uxu^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u:=m(S\otimes 1)R^{21}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Es posible construir un álgebra de Hopf cuasitriangular a partir de un álgebra de Hopf y su dual, utilizando la construcción doble cuántica de Drinfeld .
Si el álgebra de Hopf H es cuasitriangular, entonces la categoría de módulos sobre H está trenzada con trenzado
.
Retortijón
La propiedad de ser un álgebra de Hopf cuasi-triangular se conserva girando a través de un elemento invertible tal que y satisfaciendo la condición del cociclo![{\displaystyle F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (F\otimes 1)\cdot (\Delta \otimes id)(F)=(1\otimes F)\cdot (id\otimes \Delta )(F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, es invertible y la antípoda retorcida está dada por , con la comultiplicación retorcida, la matriz R y el cambio de counidad según los definidos para el álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf . Tal giro se conoce como giro admisible (o giro Drinfeld).![{\displaystyle u=\sum _ {i}f^{i}S(f_{i})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S'(a)=uS(a)u^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
- ^ Montgomery y Schneider (2002), pág. 72.
Referencias