Álgebra universal C *

En matemáticas , un álgebra C* universal es un álgebra C* descrita en términos de generadores y relaciones. A diferencia de los anillos o álgebras , donde se pueden considerar cocientes mediante anillos libres para construir objetos universales, las álgebras C* deben ser realizables como álgebras de operadores acotados en un espacio de Hilbert mediante la construcción de Gelfand-Naimark-Segal y las relaciones deben prescribir un límite uniforme en la norma de cada generador. Esto significa que, dependiendo de los generadores y las relaciones, es posible que no exista un álgebra C* universal. En particular, no existen álgebras C* libres.

C*-Relaciones de álgebra

Existen varios problemas al definir relaciones para álgebras C*. Una es que, como se mencionó anteriormente, debido a la inexistencia de álgebras C* libres, no todos los conjuntos de relaciones definen un álgebra C*. Otro problema es que a menudo uno querría incluir relaciones de orden, fórmulas que involucran cálculo funcional continuo y datos espectrales como relaciones. Por esa razón, utilizamos una forma relativamente indirecta de definir las relaciones de álgebra C*. La motivación básica detrás de las siguientes definiciones es que definiremos las relaciones como la categoría de sus representaciones.

Dado un conjunto X , la relación C* nula en X es la categoría con objetos que constan de pares ( j , A ), donde A es un álgebra C* y j es una función de X a A y con morfismos de ( j , A ) a ( k , B ) que consta de * -homomorfismos φ de A a B que satisfacen φ ∘ j = k . Una relación C* en X es una subcategoría completa de satisfacción: ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$

1. la función única X a {0} es un objeto;
2. dado un inyectivo *-homomorfismo φ de A a B y una función f de X a A , si φ ∘ f es un objeto, entonces f es un objeto;
3. dado un *-homomorfismo φ de A a B y una función f de X a A , si f es un objeto, entonces φ ∘ f es un objeto;
4. si f _i es un objeto para i =1,2,...,n, entonces también es un objeto. Además, si f _i es un objeto para i en un conjunto de índices no vacío I implica que el producto también es un objeto, entonces la relación C* es compacta . ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f_{i}:X\to \prod _{i=1}^{n}A_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}f_{i}:X\to \prod A_{i}}$

Dada una relación C* R en un conjunto X . entonces una función ι de X a un C*-álgebra U se llama representación universal para R si

1. dada una C*-álgebra A y un *-homomorfismo φ de U a A , φ ∘ ι es un objeto de R ;
2. dada una C*-álgebra A y un objeto ( f , A ) en R , existe un único homomorfismo * φ de U a A tal que f = φ ∘ ι. Observe que ι y U son únicos hasta el isomorfismo y U se llama álgebra C* universal para R .

La relación AC* R tiene una representación universal si y sólo si R es compacto.

Dado un *-polinomio p en un conjunto X , podemos definir una subcategoría completa de con objetos ( j , A ) tal que p ∘ j = 0. Por conveniencia, podemos llamar a p una relación y podemos recuperar el concepto clásico. de relaciones. Desafortunadamente, no todos los polinomios * definirán una relación C* compacta. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$

Enfoque alternativo

Alternativamente, se puede utilizar una caracterización más concreta de las álgebras C* universales que se parezca más a la construcción del álgebra abstracta. Desafortunadamente, esto restringe los tipos de relaciones posibles. Dado un conjunto G , una relación en G es un conjunto R que consta de pares ( p , η) donde p es un *-polinomio en X y η es un número real no negativo. Una representación de ( G , R ) en un espacio de Hilbert H es una función ρ de X al álgebra de operadores acotados en H tal que para todo ( p , η) en R . El par ( G , R ) se llama admisible si existe una representación y la suma directa de las representaciones también es una representación. Entonces ${\displaystyle \lVert p\circ \rho (X)\rVert \leq \eta }$

${\displaystyle \lVert z\rVert _{u}=\sup\{\lVert \rho (z)\rVert \colon \rho {\text{ is a representation of }}(G,R)\}}$

es finito y define una seminorma que satisface la condición de norma C* en el álgebra libre en X . La compleción del cociente del álgebra libre por el ideal se llama álgebra C* universal de ( G , R ). ^[2] ${\displaystyle \{z\colon \lVert z\rVert _{u}=0\}}$

Ejemplos

• El toro no conmutativo se puede definir como un álgebra C* universal generada por dos unitarios con una relación de conmutación.
• Las álgebras de Cuntz , las álgebras C* de gráficos y las álgebras C* de gráficos k son álgebras C* universales generadas por isometrías parciales .
• El álgebra C* universal generada por un elemento unitario u tiene presentación . Mediante cálculo funcional continuo, esta C*-álgebra es el álgebra de funciones continuas en el círculo unitario en el plano complejo. Cualquier álgebra C* generada por un elemento unitario es isomorfa a un cociente de esta álgebra C* universal. ^[2] ${\displaystyle \langle u\mid u^{*}u=uu^{*}=1\rangle }$

Referencias

1. Loring, Terry A. (1 de septiembre de 2010). "Relaciones C * -Álgebra". Mathematica Scandinavica . 107 (1): 43–72. doi : 10.7146/math.scand.a-15142 . ISSN  1903-1807. S2CID  115167440 . Consultado el 27 de marzo de 2017 .
2. Blackadar, Bruce (1 de diciembre de 1985). "Teoría de formas para $ C^*$ -álgebras". Mathematica Scandinavica . 56 : 249–275. doi : 10.7146/math.scand.a-12100 . ISSN  1903-1807 . Consultado el 27 de marzo de 2017 .

• Loring, T. (1997), Elevación de soluciones a problemas perturbadores en C*-Algebras , Monografías del Fields Institute, vol. 8, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-0602-5