Álgebra

Branch of mathematics

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia ciertos sistemas abstractos , conocidos como estructuras algebraicas , y la manipulación de enunciados dentro de esos sistemas. Es una generalización de la aritmética que introduce variables y operaciones algebraicas distintas de las operaciones aritméticas estándar, como la suma y la multiplicación .

El álgebra elemental es la forma principal de álgebra que se enseña en la escuela y examina enunciados matemáticos utilizando variables para valores no especificados. Busca determinar para qué valores son verdaderos los enunciados. Para ello, utiliza diferentes métodos de transformación de ecuaciones para aislar las variables. El álgebra lineal es un campo estrechamente relacionado que investiga las variables que aparecen en varias ecuaciones lineales , llamadas sistemas de ecuaciones lineales . Proporciona métodos para encontrar los valores que resuelven todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo y para estudiar el conjunto de estas soluciones.

El álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas, que consisten en un conjunto de objetos matemáticos junto con una o varias operaciones definidas sobre ese conjunto. Es una generalización del álgebra elemental y lineal ya que permite objetos matemáticos distintos de los números y las operaciones no aritméticas. Distingue entre diferentes tipos de estructuras algebraicas, como grupos , anillos y cuerpos , en función del número de operaciones que utilizan y las leyes que siguen . El álgebra universal proporciona un marco general para investigar patrones abstractos que caracterizan diferentes clases de estructuras algebraicas.

Los métodos algebraicos se estudiaron por primera vez en la antigüedad para resolver problemas específicos en campos como la geometría . Los matemáticos posteriores examinaron técnicas generales para resolver ecuaciones independientemente de sus aplicaciones específicas. Describieron ecuaciones y sus soluciones utilizando palabras y abreviaturas hasta los siglos XVI y XVII, cuando se desarrolló un formalismo simbólico riguroso. A mediados del siglo XIX, el alcance del álgebra se amplió más allá de una teoría de ecuaciones para cubrir diversos tipos de operaciones y estructuras algebraicas. El álgebra es relevante para muchas ramas de las matemáticas, como la geometría, la topología , la teoría de números y el cálculo , y otros campos de investigación, como la lógica y las ciencias empíricas .

Definición y etimología

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas y las operaciones ^[a] que utilizan. ^{[2] Una estructura algebraica es un} conjunto no vacío de objetos matemáticos , como los números enteros , junto con operaciones algebraicas definidas en ese conjunto, como la suma y la multiplicación . ^[3] El álgebra explora las leyes, las características generales y los tipos de estructuras algebraicas. Dentro de ciertas estructuras algebraicas, examina el uso de variables en ecuaciones y cómo manipular estas ecuaciones. ^{[4] [b]}

El álgebra se entiende a menudo como una generalización de la aritmética . ^[8] La aritmética estudia operaciones como la suma, la resta , la multiplicación y la división , en un dominio particular de números, como los números reales. ^[9] El álgebra elemental constituye el primer nivel de abstracción. Al igual que la aritmética, se limita a tipos específicos de números y operaciones. Generaliza estas operaciones al permitir cantidades indefinidas en forma de variables además de números. ^[10] Un nivel más alto de abstracción se encuentra en el álgebra abstracta , que no se limita a un dominio particular y examina estructuras algebraicas como grupos y anillos . Se extiende más allá de las operaciones aritméticas típicas al cubrir también otros tipos de operaciones. ^[11] El álgebra universal es aún más abstracta en el sentido de que no está interesada en estructuras algebraicas específicas, sino que investiga las características de las estructuras algebraicas en general. ^[12]

La palabra álgebra proviene del título del libro Al-Jabr de Al-Khwarizmi . ^[13]

El término "álgebra" se utiliza a veces en un sentido más estricto para referirse únicamente al álgebra elemental o únicamente al álgebra abstracta. ^[14] Cuando se utiliza como sustantivo contable , un álgebra es un tipo específico de estructura algebraica que implica un espacio vectorial equipado con un cierto tipo de operación binaria . ^[15] Dependiendo del contexto, "álgebra" también puede referirse a otras estructuras algebraicas, como un álgebra de Lie o un álgebra asociativa . ^[16]

La palabra álgebra proviene del término árabe الجبر ( al-jabr ), que originalmente se refería al tratamiento quirúrgico de la osteopatía . En el siglo IX, el término recibió un significado matemático cuando el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi lo empleó para describir un método de resolución de ecuaciones y lo utilizó en el título de un tratado sobre álgebra, al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah [ El libro compendioso sobre el cálculo por compleción y balanceo ] que fue traducido al latín como Liber Algebrae et Almucabola . ^[c] La palabra entró en el idioma inglés en el siglo XVI procedente del italiano , el español y el latín medieval . ^[18] Inicialmente, su significado estaba restringido a la teoría de ecuaciones , es decir, al arte de manipular ecuaciones polinómicas con vistas a resolverlas. Esto cambió en el siglo XIX ^[d] cuando el alcance del álgebra se amplió para cubrir el estudio de diversos tipos de operaciones y estructuras algebraicas junto con sus axiomas subyacentes , las leyes que siguen. ^[21]

Ramas principales

Álgebra elemental

Notación de expresiones algebraicas:
  1 – potencia (exponente)
  2 – coeficiente
  3 – término
  4 – operador
  5 – término constante – constante – variables
  ${\displaystyle c}$
  ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El álgebra elemental, también llamada álgebra escolar, álgebra universitaria y álgebra clásica, ^[22] es la forma más antigua y básica del álgebra. Es una generalización de la aritmética que se basa en variables y examina cómo se pueden transformar los enunciados matemáticos. ^[23]

La aritmética es el estudio de las operaciones numéricas e investiga cómo se combinan y transforman los números mediante las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación , división , exponenciación , extracción de raíces y logaritmo . Por ejemplo, la operación de suma combina dos números, llamados sumandos, en un tercer número, llamado suma, como en . ^[9] ${\displaystyle 2+5=7}$

El álgebra elemental se basa en las mismas operaciones, pero permite el uso de variables además de los números regulares. Las variables son símbolos de cantidades no especificadas o desconocidas. Permiten enunciar relaciones para las que no se conocen los valores exactos y expresar leyes generales que son verdaderas, independientemente de los números que se utilicen. Por ejemplo, la ecuación pertenece a la aritmética y expresa una igualdad solo para estos números específicos. Al reemplazar los números con variables, es posible expresar una ley general que se aplica a cualquier combinación posible de números, como la propiedad conmutativa de la multiplicación , que se expresa en la ecuación . ^[23] ${\displaystyle 2\times 3=3\times 2}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$

Las expresiones algebraicas se forman mediante operaciones aritméticas para combinar variables y números. Por convención, las letras minúsculas , , y representan variables. En algunos casos, se agregan subíndices para distinguir variables, como en , , y . Las letras minúsculas , , y se usan generalmente para constantes y coeficientes . ^[e] La expresión es una expresión algebraica creada al multiplicar el número 5 por la variable y agregar el número 3 al resultado. Otros ejemplos de expresiones algebraicas son y . ^[25] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 5x+3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 32xyz}$ ${\displaystyle 64x_{1}^{2}+7x_{2}-c}$

Algunas expresiones algebraicas toman la forma de enunciados que relacionan dos expresiones entre sí. Una ecuación es un enunciado formado al comparar dos expresiones, diciendo que son iguales. Esto se puede expresar usando el signo igual ( ), como en . Las inecuaciones implican un tipo diferente de comparación, diciendo que los dos lados son diferentes. Esto se puede expresar usando símbolos como el signo menor que ( ), el signo mayor que ( ) y el signo de desigualdad ( ). A diferencia de otras expresiones, los enunciados pueden ser verdaderos o falsos y su valor de verdad generalmente depende de los valores de las variables. Por ejemplo, el enunciado es verdadero si es 2 o −2 y falso en caso contrario. ^[26] Las ecuaciones con variables se pueden dividir en ecuaciones de identidad y ecuaciones condicionales. Las ecuaciones de identidad son verdaderas para todos los valores que se pueden asignar a las variables, como la ecuación . Las ecuaciones condicionales solo son verdaderas para algunos valores. Por ejemplo, la ecuación solo es verdadera si es 5. ^[27] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5x^{2}+6x=3y+4}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle \neq }$ ${\displaystyle x^{2}=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x+5x=7x}$ ${\displaystyle x+4=9}$ ${\displaystyle x}$

El objetivo principal del álgebra elemental es determinar los valores para los cuales una afirmación es verdadera. Esto se puede lograr transformando y manipulando afirmaciones de acuerdo con ciertas reglas. Un principio clave que guía este proceso es que cualquier operación que se aplique a un lado de una ecuación también debe realizarse al otro lado. Por ejemplo, si uno resta 5 del lado izquierdo de una ecuación, también debe restar 5 del lado derecho para equilibrar ambos lados. El objetivo de estos pasos es generalmente aislar la variable que nos interesa en un lado, un proceso conocido como resolver la ecuación para esa variable. Por ejemplo, la ecuación se puede resolver sumando 7 a ambos lados, lo que aísla en el lado izquierdo y da como resultado la ecuación . ^[28] ${\displaystyle x-7=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=11}$

Existen muchas otras técnicas que se utilizan para resolver ecuaciones. La simplificación se emplea para reemplazar una expresión complicada con una equivalente más simple. Por ejemplo, la expresión puede reemplazarse con la expresión ya que por la propiedad distributiva. ^[29] La factorización se utiliza para reescribir una expresión como un producto de varios factores. Esta técnica se utiliza comúnmente para determinar los valores de un polinomio ^[f] que evalúan cero . Por ejemplo, el polinomio puede factorizarse como . El polinomio en su conjunto es cero si y solo si uno de sus factores es cero, es decir, si es −2 o 5. ^[31] Para declaraciones con varias variables, la sustitución es una técnica común para reemplazar una variable con una expresión equivalente que no usa esta variable. Por ejemplo, si uno sabe que entonces puede simplificar la expresión para llegar a . De manera similar, si uno conoce el valor de una variable, puede usarlo para determinar el valor de otras variables. ^[32] ${\displaystyle 7x-3x}$ ${\displaystyle 4x}$ ${\displaystyle 7x-3x=(7-3)x=4x}$ ${\displaystyle x^{2}-3x-10}$ ${\displaystyle (x+2)(x-5)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=3x}$ ${\displaystyle 7xy}$ ${\displaystyle 21x^{2}}$

Las ecuaciones algebraicas se pueden utilizar para describir figuras geométricas. Todos los valores de y que resuelven la ecuación se interpretan como puntos. Se dibujan como una línea roja con pendiente ascendente en el gráfico anterior. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Las ecuaciones algebraicas pueden interpretarse geométricamente para describir figuras espaciales en forma de gráfico . Para ello, las diferentes variables de la ecuación se entienden como coordenadas y los valores que resuelven la ecuación se interpretan como puntos de un gráfico. Por ejemplo, si se establece en cero en la ecuación , entonces debe ser −1 para que la ecuación sea verdadera. Esto significa que el par es parte del gráfico de la ecuación. El par , por el contrario, no resuelve la ecuación y, por lo tanto, no es parte del gráfico. El gráfico abarca la totalidad de pares que resuelven la ecuación. ^[33] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=0.5x-1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,7)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Álgebra lineal

El álgebra lineal emplea los métodos del álgebra elemental para estudiar sistemas de ecuaciones lineales . ^{[34] [g]} Una ecuación es lineal si se puede expresar en la forma donde , , ..., y son constantes. Esto significa que ninguna variable se multiplica entre sí y ninguna variable se eleva a una potencia mayor que uno. Por ejemplo, las ecuaciones y son lineales mientras que las ecuaciones y son no lineales . Varias ecuaciones forman un sistema de ecuaciones si todas se basan en el mismo conjunto de variables. ^[36] ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0}$ ${\displaystyle 0.25x-y=4}$ ${\displaystyle x^{2}=y}$ ${\displaystyle 3x_{1}x_{2}+15=0}$

Los sistemas de ecuaciones lineales suelen expresarse mediante matrices ^[h] y vectores ^[i] para representar todo el sistema en una sola ecuación. Esto se puede hacer moviendo las variables al lado izquierdo de cada ecuación y moviendo los términos constantes al lado derecho. El sistema se expresa entonces formulando una matriz que contiene todos los coeficientes de las ecuaciones y multiplicándola por el vector columna formado por las variables. ^[39] Por ejemplo, el sistema de ecuaciones se puede escribir como $${\displaystyle {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}}$$

Al igual que el álgebra elemental, el álgebra lineal se interesa por manipular y transformar ecuaciones para resolverlas. Va más allá del álgebra elemental al tratar con varias ecuaciones a la vez y buscar los valores para los cuales todas las ecuaciones son verdaderas al mismo tiempo. Por ejemplo, si el sistema está formado por las dos ecuaciones y luego se utilizan los valores 1 y 3 para y no se resuelve el sistema de ecuaciones porque solo resuelve la primera ecuación pero no la segunda. ^[40] ${\displaystyle 3x_{1}-x_{2}=0}$ ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=8}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Dos cuestiones centrales en álgebra lineal son si un sistema de ecuaciones tiene alguna solución y, en caso afirmativo, si tiene una solución única. Un sistema de ecuaciones no tiene solución si es inconsistente , es decir, si dos o más ecuaciones se contradicen entre sí. Por ejemplo, las ecuaciones y se contradicen entre sí, ya que no existen valores de y que resuelvan ambas ecuaciones al mismo tiempo. Solo los sistemas de ecuaciones consistentes tienen soluciones. ^[41] ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$ ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

El que un sistema de ecuaciones consistente tenga una solución única depende del número de variables y ecuaciones independientes . Varias ecuaciones son independientes entre sí si no proporcionan la misma información y no pueden derivarse unas de otras. Existe una solución única si el número de variables es el mismo que el número de ecuaciones independientes. Los sistemas indeterminados , por el contrario, tienen más variables que ecuaciones independientes y tienen un número infinito de soluciones si son consistentes. ^[42]

Las ecuaciones lineales con dos variables se pueden interpretar geométricamente como líneas. La solución de un sistema de ecuaciones lineales se encuentra en el punto donde se intersecan las líneas.

Muchas técnicas empleadas en álgebra elemental para resolver ecuaciones también se aplican en álgebra lineal. El método de sustitución comienza con una ecuación y aísla una variable en ella. Continúa con la siguiente ecuación y reemplaza la variable aislada con la expresión encontrada, reduciendo así el número de variables desconocidas en uno. Aplica el mismo proceso nuevamente a esta y las ecuaciones restantes hasta que se determinen los valores de todas las variables. ^[43] El método de eliminación crea una nueva ecuación agregando una ecuación a otra ecuación. De esta manera, es posible eliminar una variable que aparece en ambas ecuaciones. Para un sistema que contiene las ecuaciones y , es posible eliminar agregando la primera a la segunda ecuación, revelando así que es 13. En algunos casos, la ecuación debe multiplicarse por una constante antes de agregarla a otra ecuación. ^[44] Muchas técnicas avanzadas implementan algoritmos basados ​​en cálculos matriciales, como la regla de Cramer , la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición LU . ^[45] ${\displaystyle -x+7y=3}$ ${\displaystyle 2x-7y=10}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Los sistemas de ecuaciones pueden interpretarse como figuras geométricas. Para sistemas con dos variables, cada ecuación representa una línea en el espacio bidimensional . El punto donde se cruzan las dos líneas es la solución del sistema completo porque este es el único punto que resuelve tanto la primera como la segunda ecuación. Para sistemas inconsistentes, las dos líneas corren paralelas, lo que significa que no hay solución ya que nunca se cruzan. Si dos ecuaciones no son independientes, entonces describen la misma línea, lo que significa que cada solución de una ecuación es también una solución de la otra ecuación. Estas relaciones permiten buscar soluciones gráficamente trazando las ecuaciones y determinando dónde se cruzan. ^[46] Los mismos principios también se aplican a sistemas de ecuaciones con más variables, con la diferencia de que las ecuaciones no describen líneas sino figuras de dimensiones superiores. Por ejemplo, las ecuaciones con tres variables corresponden a planos en el espacio tridimensional , y los puntos donde se cruzan todos los planos resuelven el sistema de ecuaciones. ^[47]

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta, también llamada álgebra moderna, ^[48] estudia diferentes tipos de estructuras algebraicas . Una estructura algebraica es un marco para comprender las operaciones sobre objetos matemáticos , como la suma de números. Mientras que el álgebra elemental y el álgebra lineal funcionan dentro de los confines de estructuras algebraicas particulares, el álgebra abstracta adopta un enfoque más general que compara cómo las estructuras algebraicas se diferencian entre sí y qué tipos de estructuras algebraicas existen, como grupos , anillos y cuerpos . ^[49] La diferencia clave entre estos tipos de estructuras algebraicas radica en la cantidad de operaciones que utilizan y las leyes que obedecen. ^[50] En educación matemática , el álgebra abstracta se refiere a un curso universitario avanzado que los estudiantes de matemáticas toman después de completar cursos de álgebra lineal. ^[51]

Muchas estructuras algebraicas se basan en operaciones binarias, que toman dos objetos como entrada y los combinan en un solo objeto como salida, como lo hacen la suma y la multiplicación.

En un nivel formal, una estructura algebraica es un conjunto ^[j] de objetos matemáticos, llamado el conjunto subyacente, junto con una o varias operaciones. ^[k] El álgebra abstracta está principalmente interesada en operaciones binarias , ^[l] que toman dos objetos cualesquiera del conjunto subyacente como entradas y los asignan a otro objeto de este conjunto como salida. ^[55] Por ejemplo, la estructura algebraica tiene los números naturales ( ) como el conjunto subyacente y la adición ( ) como su operación binaria. ^[53] El conjunto subyacente puede contener objetos matemáticos distintos de números y las operaciones no están restringidas a operaciones aritméticas regulares. ^[56] Por ejemplo, el conjunto subyacente del grupo de simetría de un objeto geométrico está formado por transformaciones geométricas , como rotaciones , bajo las cuales el objeto permanece inalterado . Su operación binaria es la composición de funciones , que toma dos transformaciones como entrada y tiene la transformación resultante de aplicar la primera transformación seguida de la segunda como su salida. ^[57] ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle +}$

El álgebra abstracta clasifica las estructuras algebraicas en función de las leyes o axiomas que obedecen sus operaciones y del número de operaciones que utiliza. Uno de los tipos más básicos es un grupo, que tiene una operación y requiere que esta operación sea asociativa y tenga un elemento identidad y elementos inversos . Una operación es asociativa si no importa el orden de varias aplicaciones, es decir, si ^[m] es el mismo que para todos los elementos. Una operación tiene un elemento identidad o un elemento neutro si existe un elemento e que no cambia el valor de ningún otro elemento, es decir, si . Una operación tiene elementos inversos si para cualquier elemento existe un elemento recíproco que deshace . Si un elemento opera sobre su inverso entonces el resultado es el elemento neutro e , expresado formalmente como . Toda estructura algebraica que cumple estos requisitos es un grupo. ^[59] Por ejemplo, es un grupo formado por el conjunto de los números enteros junto con la operación de adición. El elemento neutro es 0 y el elemento inverso de cualquier número es . ^[60] Los números naturales con adición, por el contrario, no forman un grupo ya que contienen sólo números enteros positivos y, por tanto, carecen de elementos inversos. ^[61] ${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$ ${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$ ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones ( y ) que funcionan de manera similar a la suma y la multiplicación. Todos los requisitos de los grupos también se aplican a la primera operación: es asociativa y tiene un elemento identidad y elementos inversos. Además, es conmutativa, lo que significa que es verdadera para todos los elementos. El axioma de distributividad gobierna cómo interactúan las dos operaciones entre sí. Establece que y . ^[62] El anillo de números enteros es el anillo denotado por . ^{[63] [n]} Un anillo se convierte en un campo si ambas operaciones siguen los axiomas de asociatividad, conmutatividad y distributividad y si ambas operaciones tienen un elemento identidad y elementos inversos. ^{[65] [o]} El anillo de números enteros no forma un campo porque carece de inversos multiplicativos. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de es , que no es parte de los números enteros. Los números racionales , los números reales y los números complejos forman cada uno un campo con las operaciones suma y multiplicación. ^[67] ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ ${\displaystyle a\star (b\circ c)=(a\star b)\circ (a\star c)}$ ${\displaystyle (b\circ c)\star a=(b\star a)\circ (c\star a)}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,\times \rangle }$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$

Diagrama de relaciones entre algunas estructuras algebraicas. Por ejemplo, en su parte superior derecha se observa que un magma se convierte en semigrupo si su operación es asociativa.

Además de los grupos, anillos y cuerpos, existen muchas otras estructuras algebraicas estudiadas por el álgebra. Entre ellas se incluyen los magmas , semigrupos , monoides , grupos abelianos , anillos conmutativos , módulos , redes , espacios vectoriales , álgebras sobre un cuerpo y álgebras asociativas y no asociativas . Se diferencian entre sí en lo que respecta a los tipos de objetos que describen y los requisitos que cumplen sus operaciones. Muchas están relacionadas entre sí en el sentido de que una estructura básica se puede convertir en una estructura más avanzada añadiendo requisitos adicionales. ^[50] Por ejemplo, un magma se convierte en un semigrupo si su operación es asociativa. ^[68]

Varios subcampos se dedican al estudio de estructuras algebraicas específicas. Por ejemplo, la teoría de grupos examina la naturaleza de los grupos, con teoremas básicos como el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos y el teorema de Feit-Thompson . ^[69] La teoría de anillos es el estudio de los anillos, explorando conceptos como subanillos , anillos cocientes , anillos polinómicos e ideales , así como teoremas como el teorema de la base de Hilbert . ^[70] La teoría de campos se ocupa de los campos, examinando extensiones de campo , cierres algebraicos y varios campos específicos, como los números racionales , reales y complejos, así como los campos finitos . ^[71] La teoría de Galois explora la relación entre la teoría de campos y la teoría de grupos, basándose en el teorema fundamental de la teoría de Galois . ^[72]

Álgebra universal

El álgebra universal es el estudio de las estructuras algebraicas en general. Como parte de su perspectiva general, no se ocupa de los elementos específicos que componen los conjuntos subyacentes y considera operaciones con más de dos entradas, como las operaciones ternarias . Proporciona un marco para investigar qué características estructurales tienen en común las diferentes estructuras algebraicas. ^{[73] [p]} Una de esas características estructurales se refiere a las identidades que son verdaderas en diferentes estructuras algebraicas. En este contexto, una identidad es una ecuación universal o una ecuación que es verdadera para todos los elementos del conjunto subyacente. Por ejemplo, la conmutatividad es una ecuación universal que establece que es idéntica a para todos los elementos. ^[75] Una variedad es una clase de todas las estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades. Por ejemplo, si dos estructuras algebraicas satisfacen la conmutatividad, entonces ambas son parte de la variedad correspondiente. ^{[76] [q] [s]} ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle b\circ a}$

Los homomorfismos son herramientas en álgebra universal para examinar características estructurales comparando dos estructuras algebraicas. ^[80] Un homomorfismo es una función del conjunto subyacente de una estructura algebraica al conjunto subyacente de otra estructura algebraica que conserva ciertas características estructurales. Si las dos estructuras algebraicas usan operaciones binarias y tienen la forma y entonces la función es un homomorfismo si cumple el siguiente requisito: . La existencia de un homomorfismo revela que la operación en la segunda estructura algebraica juega el mismo papel que la operación en la primera estructura algebraica. ^[81] Los isomorfismos son un tipo especial de homomorfismo que indica un alto grado de similitud entre dos estructuras algebraicas. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo , lo que significa que establece una relación uno a uno entre los elementos de las dos estructuras algebraicas. Esto implica que cada elemento de la primera estructura algebraica se asigna a un elemento único en la segunda estructura sin ningún elemento no asignado en la segunda estructura. ^[82] ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ ${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$

Las subálgebras restringen sus operaciones a un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica original.

Otra herramienta de comparación es la relación entre una estructura algebraica y su subálgebra . ^[83] La estructura algebraica y su subálgebra utilizan las mismas operaciones, ^[t] que siguen los mismos axiomas. La única diferencia es que el conjunto subyacente de la subálgebra es un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica. ^[u] Se requiere que todas las operaciones en la subálgebra sean cerradas en su conjunto subyacente, lo que significa que solo producen elementos que pertenecen a este conjunto. ^[83] Por ejemplo, el conjunto de números enteros pares junto con la adición es una subálgebra del conjunto completo de números enteros junto con la adición. Este es el caso porque la suma de dos números pares es nuevamente un número par. Pero el conjunto de números enteros impares junto con la adición no es una subálgebra porque no es cerrado: sumar dos números impares produce un número par, que no es parte del subconjunto elegido. ^[84]

Polinomio

Un polinomio es una expresión como

${\displaystyle x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1,}$

que es una suma de términos que son productos de un coeficiente (a menudo un número) y un producto de potencias enteras no negativas de variables (a menudo llamadas indeterminadas). El grado de un polinomio es el valor máximo (entre sus términos) de la suma de los exponentes de las variables (4 en el ejemplo anterior). Un polinomio se dice univariante o multivariante , según dependa de una o varias variables.

Los polinomios de grado uno se denominan polinomios lineales . Como su estudio pertenece al álgebra lineal, no se consideran específicamente en esta sección.

Polinomios univariados

Ecuaciones polinómicas

Antes del siglo XIX, gran parte del álgebra estaba dedicada a ecuaciones polinómicas , es decir, ecuaciones obtenidas al igualar un polinomio a cero.

Los primeros intentos de resolver ecuaciones polinómicas consistieron en expresar las soluciones en términos de raíces n -ésimas . Para los grados 2, 3 y 4, la solución se da respectivamente mediante las fórmulas cuadrática , cúbica y cuártica . Recién a principios del siglo XIX se demostró el llamado teorema de Abel-Ruffini , que afirma que no existe una fórmula general de grado superior.

El teorema fundamental del álgebra afirma que toda ecuación polinómica (univariante) de grado positivo con coeficientes reales o complejos tiene al menos una solución compleja. En consecuencia, todo polinomio de grado positivo puede factorizarse en polinomios lineales.

Este teorema fue demostrado a principios del siglo XIX, pero esto no resuelve el problema ya que el teorema no proporciona ninguna manera de calcular las soluciones. La búsqueda de métodos para encontrar soluciones aún es muy activa; véase Algoritmos de búsqueda de raíces polinómicas y Aislamiento de raíces reales .

Anillo polinomial

Polinomios multivariados

Historia

El Papiro Matemático Rhind del antiguo Egipto , que data aproximadamente del año  1650 a. C. , es uno de los primeros documentos que tratan problemas algebraicos.

El origen del álgebra se encuentra en los intentos de resolver problemas matemáticos que involucraban cálculos aritméticos y cantidades desconocidas. Estos desarrollos ocurrieron en el período antiguo en Babilonia , Egipto , Grecia , China e India . Uno de los primeros documentos sobre problemas algebraicos es el Papiro Matemático Rhind del antiguo Egipto, que fue escrito alrededor de 1650 a. C. ^[v] Analiza soluciones a ecuaciones lineales , tal como se expresa en problemas como "Una cantidad; se le suma su cuarto. Se convierte en quince. ¿Cuál es la cantidad?" Las tablillas de arcilla babilónicas de la misma época explican métodos para resolver ecuaciones polinómicas lineales y cuadráticas , como el método de completar el cuadrado . ^[87]

Muchos de estos conocimientos llegaron a los antiguos griegos. A partir del siglo VI a. C., su principal interés era la geometría más que el álgebra, pero emplearon métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Por ejemplo, estudiaban figuras geométricas mientras tomaban sus longitudes y áreas como cantidades desconocidas a determinar, como se ejemplifica en la formulación de Pitágoras del método de la diferencia de dos cuadrados y más tarde en los Elementos de Euclides . ^[88] En el siglo III d. C., Diofanto proporcionó un tratamiento detallado de cómo resolver ecuaciones algebraicas en una serie de libros llamados Arithmetica . Fue el primero en experimentar con la notación simbólica para expresar polinomios. ^[89] En la antigua China, Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un libro compuesto durante el período que abarca desde el siglo X a. C. hasta el siglo II d. C., ^[90] exploró varias técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, incluido el uso de construcciones similares a matrices. ^[91]

Es controvertido hasta qué punto estos primeros desarrollos deben considerarse parte del álgebra propiamente dicha en lugar de precursores. Ofrecieron soluciones a problemas algebraicos, pero no los concibieron de una manera abstracta y general, centrándose en cambio en casos y aplicaciones específicas. ^[92] Esto cambió con el matemático persa al-Khwarizmi , ^[w] quien publicó su The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing en 825 CE. Presenta el primer tratamiento detallado de los métodos generales que se pueden utilizar para manipular ecuaciones lineales y cuadráticas mediante "reducción" y "equilibrio" ambos lados. ^[94] Otras contribuciones influyentes al álgebra vinieron del matemático árabe Thābit ibn Qurra también en el siglo IX y del matemático persa Omar Khayyam en los siglos XI y XII. ^[95]

En la India, Brahmagupta investigó cómo resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones con varias variables en el siglo VII d. C. Entre sus innovaciones se encontraba el uso del cero y de números negativos en ecuaciones algebraicas. ^[96] Los matemáticos indios Mahāvīra en el siglo IX y Bhāskara II en el siglo XII perfeccionaron aún más los métodos y conceptos de Brahmagupta. ^[97] En 1247, el matemático chino Qin Jiushao escribió el Tratado matemático en nueve secciones , que incluye un algoritmo para la evaluación numérica de polinomios , incluidos polinomios de grados superiores. ^[98]

François Viète (izquierda) y René Descartes inventaron una notación simbólica para expresar ecuaciones de manera abstracta y concisa.

El matemático italiano Fibonacci trajo las ideas y técnicas de al-Juarizmi a Europa en libros como su Liber Abaci . ^[99] En 1545, el polímata italiano Gerolamo Cardano publicó su libro Ars Magna , que cubría muchos temas de álgebra, discutía números imaginarios y fue el primero en presentar métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas . ^[100] En los siglos XVI y XVII, los matemáticos franceses François Viète y René Descartes introdujeron letras y símbolos para denotar variables y operaciones, haciendo posible expresar ecuaciones de manera abstracta y concisa. Sus predecesores se habían basado en descripciones verbales de problemas y soluciones. ^[101] Algunos historiadores ven este desarrollo como un punto de inflexión clave en la historia del álgebra y consideran lo que vino antes como la prehistoria del álgebra porque carecía de la naturaleza abstracta basada en la manipulación simbólica. ^[102]

Garrett Birkhoff desarrolló muchos de los conceptos fundamentales del álgebra universal.

Muchos intentos en los siglos XVII y XVIII para encontrar soluciones generales ^[x] para polinomios de grado cinco y superiores fracasaron. ^[104] A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra , que describe la existencia de ceros de polinomios de cualquier grado sin proporcionar una solución general. ^[19] A principios del siglo XIX, el matemático italiano Paolo Ruffini y el matemático noruego Niels Henrik Abel pudieron demostrar que no existe una solución general para polinomios de grado cinco y superiores. ^[104] En respuesta y poco después de sus hallazgos, el matemático francés Évariste Galois desarrolló lo que más tarde se conocería como teoría de Galois , que ofrecía un análisis más profundo de las soluciones de los polinomios al mismo tiempo que sentaba las bases de la teoría de grupos . ^[20] Los matemáticos pronto se dieron cuenta de la relevancia de la teoría de grupos para otros campos y la aplicaron a disciplinas como la geometría y la teoría de números. ^[105]

A partir de mediados del siglo XIX, el interés en el álgebra pasó del estudio de polinomios asociados con el álgebra elemental hacia una investigación más general sobre las estructuras algebraicas, lo que marcó el surgimiento del álgebra abstracta . Este enfoque exploró la base axiomática de operaciones algebraicas arbitrarias. ^[106] La invención de nuevos sistemas algebraicos basados ​​en diferentes operaciones y elementos acompañó este desarrollo, como el álgebra de Boole , el álgebra vectorial y el álgebra matricial . ^[107] Los primeros desarrollos influyentes en el álgebra abstracta fueron realizados por los matemáticos alemanes David Hilbert , Ernst Steinitz y Emmy Noether , así como por el matemático austríaco Emil Artin . Investigaron diferentes formas de estructuras algebraicas y las categorizaron en función de sus axiomas subyacentes en tipos, como grupos, anillos y cuerpos. ^[108] La idea del enfoque aún más general asociado con el álgebra universal fue concebida por el matemático inglés Alfred North Whitehead en su libro de 1898 Tratado sobre álgebra universal . A partir de la década de 1930, el matemático estadounidense Garrett Birkhoff amplió estas ideas y desarrolló muchos de los conceptos fundamentales de este campo. ^[109] Los desarrollos estrechamente relacionados fueron la formulación de la teoría de modelos , la teoría de categorías , el álgebra topológica , el álgebra homológica , las álgebras de Lie , las álgebras libres y los grupos de homología . ^[110]

Aplicaciones

La influencia del álgebra es de amplio alcance e incluye muchas ramas de las matemáticas, así como las ciencias empíricas. La notación y los principios algebraicos desempeñan un papel clave en la física y las disciplinas relacionadas para expresar leyes científicas y resolver ecuaciones. ^[111] También se utilizan en campos como la ingeniería , la economía , la informática y la geografía para expresar relaciones, resolver problemas y modelar sistemas. ^[112]

Otras ramas de las matemáticas

La algebrización de las matemáticas es el proceso de aplicar métodos y principios algebraicos a otras ramas de las matemáticas . Se lleva a cabo empleando símbolos en forma de variables para expresar conocimientos matemáticos en un nivel más general, lo que permite a los matemáticos desarrollar modelos formales que describen cómo los objetos interactúan y se relacionan entre sí. ^[113] Esto es posible porque los patrones abstractos estudiados por el álgebra tienen muchas aplicaciones concretas en campos como la geometría , la topología , la teoría de números y el cálculo . ^[114]

La ecuación algebraica describe una esfera en el origen con un radio de 1. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

La geometría se interesa por las figuras geométricas, que pueden describirse con enunciados algebraicos. Por ejemplo, la ecuación describe una línea en el espacio bidimensional mientras que la ecuación corresponde a una esfera en el espacio tridimensional. De especial interés para la geometría algebraica son las variedades algebraicas , ^[y] que son soluciones a sistemas de ecuaciones polinómicas que pueden usarse para describir figuras geométricas más complejas. ^[116] El razonamiento algebraico también puede resolver problemas geométricos. Por ejemplo, uno puede determinar si la línea descrita por se interseca con el círculo descrito por y dónde, resolviendo el sistema de ecuaciones formado por estas dos ecuaciones. ^[117] La ​​topología estudia las propiedades de las figuras geométricas o espacios topológicos que se conservan bajo operaciones de deformación continua . La topología algebraica se basa en teorías algebraicas como la teoría de grupos para clasificar los espacios topológicos. Por ejemplo, los grupos de homotopía clasifican los espacios topológicos basándose en la existencia de bucles o agujeros en ellos. ^[118] La teoría de números se ocupa de las propiedades y las relaciones entre los números enteros. La teoría algebraica de números aplica métodos y principios algebraicos a este campo de investigación. Los teóricos de números emplean expresiones algebraicas para describir leyes generales, como el último teorema de Fermat , y analizan cómo los números forman estructuras algebraicas, como el anillo de números enteros . ^[119] Los conocimientos del álgebra también son relevantes para el cálculo, que utiliza expresiones matemáticas para examinar las tasas de cambio y acumulación . Se basa en el álgebra para comprender cómo se pueden transformar estas expresiones y qué papel desempeñan las variables en ellas. ^[120] ${\displaystyle y=3x-7}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ ${\displaystyle y=x+1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=25}$

Las caras de un cubo de Rubik se pueden rotar para cambiar la disposición de los parches de color. Las permutaciones resultantes forman un grupo llamado el grupo del cubo de Rubik . ^[121]

El álgebra abstracta tiene varios usos en las matemáticas aplicadas , que van desde la electrónica y la robótica hasta la criptografía . ^[122] Las aplicaciones más específicas son el uso de la teoría de grupos en cristalografía y mecánica cuántica , ^[123] y su aplicación para resolver acertijos, incluidos el sudoku y los cubos de Rubik . ^[124] Se pueden emplear varias herramientas algebraicas para analizar el origami . ^[125]

Lógica

La lógica es el estudio del razonamiento correcto. ^[126] La lógica algebraica emplea métodos algebraicos para describir y analizar las estructuras y patrones que subyacen al razonamiento lógico . ^[127] Una parte de ella está interesada en comprender las estructuras matemáticas en sí mismas sin tener en cuenta las consecuencias concretas que tienen sobre la actividad de extraer inferencias . Otra parte investiga cómo los problemas de la lógica pueden expresarse en el lenguaje del álgebra y cómo los conocimientos obtenidos a través del análisis algebraico afectan a la lógica. ^[128]

El álgebra de Boole es un dispositivo influyente en la lógica algebraica para describir la lógica proposicional . ^[129] Las proposiciones son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos. ^[130] La lógica proposicional utiliza conectivos lógicos para combinar dos proposiciones para formar una proposición compleja. Por ejemplo, el conectivo "si  ... entonces" se puede utilizar para combinar las proposiciones "llueve" y "las calles están mojadas" para formar la proposición compleja "si llueve entonces las calles están mojadas". La lógica proposicional está interesada en cómo el valor de verdad de una proposición compleja depende de los valores de verdad de sus constituyentes. ^[131] Con el álgebra de Boole, este problema se puede abordar interpretando los valores de verdad como números: 0 corresponde a falso y 1 corresponde a verdadero. Los conectivos lógicos se entienden como operaciones binarias que toman dos números como entrada y devuelven la salida que corresponde al valor de verdad de la proposición compleja. ^[132] La lógica algebraica también se interesa en cómo se pueden describir sistemas más complejos de lógica a través de estructuras algebraicas y a qué variedades y cuasivariedades pertenecen estas estructuras algebraicas. ^[133]

Educación

Las balanzas se utilizan en la enseñanza del álgebra para ayudar a los estudiantes a comprender cómo se pueden transformar las ecuaciones para determinar valores desconocidos. ^[134]

La enseñanza del álgebra se centra principalmente en el álgebra elemental, que es una de las razones por las que el álgebra elemental también se denomina álgebra escolar. Por lo general, no se introduce hasta la educación secundaria , ya que requiere el dominio de los fundamentos de la aritmética al tiempo que plantea nuevos desafíos cognitivos asociados con el razonamiento abstracto y la generalización. ^[135] Su objetivo es familiarizar a los estudiantes con el lado formal de las matemáticas ayudándolos a comprender el simbolismo matemático, por ejemplo, cómo se pueden utilizar las variables para representar cantidades desconocidas. Una dificultad adicional para los estudiantes radica en el hecho de que, a diferencia de los cálculos aritméticos, las expresiones algebraicas a menudo son difíciles de resolver directamente. En cambio, los estudiantes necesitan aprender a transformarlas de acuerdo con ciertas leyes, a menudo con el objetivo de determinar una cantidad desconocida. ^[136]

Algunas herramientas para introducir a los estudiantes al lado abstracto del álgebra se basan en modelos concretos y visualizaciones de ecuaciones, incluyendo analogías geométricas, manipuladores que incluyen palos o tazas, y "máquinas de funciones" que representan ecuaciones como diagramas de flujo . Un método utiliza balanzas como un enfoque pictórico para ayudar a los estudiantes a comprender problemas básicos de álgebra. La masa de algunos objetos en la balanza es desconocida y representa variables. Resolver una ecuación corresponde a agregar y quitar objetos en ambos lados de tal manera que los lados permanezcan en equilibrio hasta que el único objeto que quede en un lado sea el objeto de masa desconocida. ^[137] Los problemas de palabras son otra herramienta para mostrar cómo se aplica el álgebra a situaciones de la vida real. Por ejemplo, se puede presentar a los estudiantes una situación en la que el hermano de Naomi tiene el doble de manzanas que Naomi. Dado que ambos juntos tienen doce manzanas, se les pide a los estudiantes que encuentren una ecuación algebraica que describa esta situación ( ) y que determinen cuántas manzanas tiene Naomi ( ). ^[138] ${\displaystyle 2x+x=12}$ ${\displaystyle x=4}$

Véase también

• Álgebra sobre un conjunto
• Azulejo de álgebra
• Cierre algebraico
• Combinatoria algebraica
• Teorema de Bézout
• Álgebra C*
• Clasificación de grupos finitos simples
• Álgebra de Clifford
• Álgebra conmutativa
• Número complejo
• Álgebra de composición
• Álgebra computacional
• Polinomio ciclotómico
• Ecuación diofántica
• Transformada de Fourier discreta
• Grupo discreto
• Espacio dual
• Valores propios y vectores propios
• Clase de equivalencia
• Relación de equivalencia
• Álgebra exterior
• Álgebra F
• F-coálgebra
• Teorema de Feit-Thompson
• Extensión de campo
• Campo finito
• Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados
• Eliminación gaussiana
• Álgebra geométrica
• Base de Gröbner
• Álgebra de Heyting
• Espacio de Hilbert
• El cálculo de ceros de Hilbert
• Teorema de la base de Hilbert
• Teorema de sicigia de Hilbert
• Álgebra de Hopf
• Enrejado (grupo)
• Enrejado (orden)
• Álgebra de Lie
• Grupo de mentiras
• Forma lineal
• Subespacio lineal
• Descomposición matricial
• Mapa multilineal
• Álgebra no asociativa
• Esquema del álgebra
• Anillo polinomial
• Cuaternio
• Función racional
• Álgebra relacional
• Teoría de la representación
• Raíz de la unidad
• Teoría de esquemas
• Álgebra sigma
• Descomposición en valores singulares
• Teoría espectral
• Álgebra simétrica
• Grupo de simetría
• Álgebra T
• Tensor
• Álgebra tensorial
• Prueba de Wiles del último teorema de Fermat

Referencias

Notas

1. Entendida en el sentido más amplio, una operación algebraica es una función de una potencia cartesiana de un conjunto en ese conjunto , expresada formalmente como . La suma de números reales es un ejemplo de una operación algebraica: toma dos números como entrada y produce un número como salida. Tiene la forma . ^[1] ${\displaystyle \omega :A^{n}\to A}$ ${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$
2. El álgebra está cubierta por la división 512 en la Clasificación Decimal Dewey ^[5] y la subclase QA 150-272.5 en la Clasificación de la Biblioteca del Congreso . ^[6] Abarca varias áreas en la Clasificación de Matemáticas . ^[7]
3. El significado exacto del término al-jabr en la obra de al-Khwarizmi es objeto de controversia. En algunos pasajes, expresa que una cantidad disminuida por sustracción se restaura a su valor original, de manera similar a cómo un huesero restaura los huesos rotos alineándolos correctamente. ^[17]
4. Estos cambios fueron provocados en parte por descubrimientos que resolvieron muchos de los problemas más antiguos del álgebra. Por ejemplo, la prueba del teorema fundamental del álgebra demostró la existencia de soluciones complejas de polinomios ^[19] y la introducción de la teoría de Galois caracterizó los polinomios que tienen soluciones generales . ^[20]
5. Las constantes representan números fijos que no cambian durante el estudio de un problema específico. ^[24]
6. Un polinomio es una expresión que consta de uno o más términos que se suman o se restan entre sí. Cada término es una constante, una variable o un producto de una constante y variables. Cada variable puede elevarse a una potencia entera positiva. Algunos ejemplos son y . ^[30] ${\displaystyle 3x^{2}-7}$ ${\displaystyle 5x^{3}y+4yz}$
7. Otro enfoque define el álgebra lineal como el estudio de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita . Una aplicación lineal es una función que transforma vectores de un espacio vectorial a otro mientras conserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación escalar . Las aplicaciones lineales se pueden utilizar para representar, analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales. ^[35]
8. Una matriz es una tabla de números, ^[37] como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-7&19\\0.3&7&-4\end{bmatrix}}.}$$
9. Un vector es una matriz de números o una matriz con una sola columna, ^[38] como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2.1\\0\\-1\end{bmatrix}}.}$$
10. Un conjunto es una colección desordenada de elementos distintos, como números, vectores u otros conjuntos. La teoría de conjuntos describe las leyes y propiedades de los conjuntos. ^[52]
11. Según algunas definiciones, las estructuras algebraicas incluyen un elemento distinguido como componente adicional, como el elemento identidad en el caso de la multiplicación. ^[53]
12. Algunas de las estructuras algebraicas estudiadas por el álgebra abstracta incluyen operaciones unarias además de operaciones binarias. Por ejemplo, los espacios vectoriales normados tienen una norma , que es una operación unaria que se utiliza a menudo para asociar un vector con su longitud. ^[54]
13. Los símbolos y se utilizan en este artículo para representar cualquier operación que pueda o no parecerse a operaciones aritméticas. ^[58] ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$
14. Algunas definiciones requieren además que la segunda operación sea asociativa. ^[64]
15. Para la segunda operación, normalmente hay un elemento, correspondiente a 0, que no requiere un elemento inverso. ^[66]
16. Un enfoque ligeramente diferente entiende el álgebra universal como el estudio de un tipo de estructuras algebraicas conocidas como álgebras universales. Las álgebras universales se definen de manera general para incluir la mayoría de las demás estructuras algebraicas. Por ejemplo, los grupos y los anillos son tipos especiales de álgebras universales. ^[74]
17. No todo tipo de estructura algebraica forma una variedad. Por ejemplo, tanto los grupos como los anillos forman variedades, pero los cuerpos no. ^[77]
18. Las condiciones toman la forma de una cláusula Horn . ^[78]
19. Además de las identidades, el álgebra universal también se interesa por las características estructurales asociadas con las cuasi-identidades . Una cuasi-identidad es una identidad que solo necesita estar presente bajo ciertas condiciones. ^[r] Es una generalización de la identidad en el sentido de que cada identidad es una cuasi-identidad pero no cada cuasi-identidad es una identidad. Una cuasivariedad es una clase de todas las estructuras algebraicas que satisfacen ciertas cuasi-identidades. ^[79]
20. Según algunas definiciones, también es posible que una subálgebra tenga menos operaciones. ^[84]
21. Esto significa que todos los elementos del primer conjunto son también elementos del segundo conjunto, pero el segundo conjunto puede contener elementos que no se encuentran en el primer conjunto. ^[85]
22. La fecha exacta es discutida y algunos historiadores sugieren una fecha posterior, alrededor de 1550 a. C. ^[86]
23. Algunos historiadores lo consideran el "padre del álgebra" mientras que otros reservan este título para Diofanto. ^[93]
24. Una solución general o una solución en radicales es una ecuación algebraica de forma cerrada que aísla la variable en un lado. Por ejemplo, la solución general de las ecuaciones cuadráticas de la forma se describe mediante la fórmula cuadrática La ausencia de soluciones generales no significa que no haya soluciones numéricas. ^[103] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$$
25. Las variedades algebraicas estudiadas en geometría difieren de las variedades más generales estudiadas en el álgebra universal. ^[115]

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