Óvalo de Cassini

Clase de curvas planas cuárticas

Tres óvalos de Cassini que se diferencian por el rango en el que cae el parámetro e (igual a b / a ):

  0 < e < 1

  y = 1

  1 < e < √ 2

No se muestra: e ≥ √ 2 (convexo).

En geometría , un óvalo de Cassini es una curva plana de grado cuártico definida como el lugar geométrico de los puntos en el plano de modo que el producto de las distancias a dos puntos fijos ( focos ) sea constante. Esto puede contrastarse con una elipse , para la cual la suma de las distancias es constante, en lugar del producto. Los óvalos de Cassini son el caso especial de lemniscatas polinómicas cuando el polinomio utilizado tiene grado 2.

Los óvalos de Cassini reciben su nombre del astrónomo Giovanni Domenico Cassini , quien los estudió a fines del siglo XVII. ^[1] Cassini creía que un planeta que orbitaba alrededor de otro cuerpo viajaba sobre uno de estos óvalos, con el cuerpo alrededor del cual orbitaba en un foco del óvalo. ^[2] Otros nombres incluyen óvalos casinianos , curvas casinianas y óvalos de Cassini .

Definición formal

Óvalo de Cassini: para cualquier posición de P en la curva ${\displaystyle |PP_{1}|\!\!\;\times \!\!\;|PP_{2}|=b^{2}}$

Un óvalo de Cassini es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto, el producto de las distancias a dos puntos fijos es una constante, generalmente escrita como donde : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PP_{1}|,\,|PP_{2}|}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle \{P:|PP_{1}|\!\!\;\times \!\!\;|PP_{2}|=b^{2}\}\ .}$

Al igual que en una elipse, los puntos fijos se denominan focos del óvalo de Cassini. ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

Ecuaciones

Si los focos son ( a , 0) y (− a , 0), entonces la ecuación de la curva es

${\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.}$

Cuando se expande esto se convierte en

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}.}$

La ecuación polar equivalente es

${\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,}$

Forma

Algunos óvalos de Cassini. ( b  =  0,6 a , 0,8 a , a , 1,2 a , 1,4 a , 1,6 a )

La curva depende, hasta la similitud, de e = b / a . Cuando e < 1 , la curva consta de dos bucles desconectados, cada uno de los cuales contiene un foco. Cuando e = 1 , la curva es la lemniscata de Bernoulli que tiene la forma de un ocho lateral con un punto doble (específicamente, un crunodo ) en el origen. ^{[3] [4]} Cuando e > 1 , la curva es un bucle único y conectado que encierra ambos focos. Tiene forma de maní para y es convexa para ^[5] El caso límite de a → 0 (por lo tanto e → ∞ ), en cuyo caso los focos coinciden entre sí, es un círculo . ${\displaystyle 1<e<{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle e\geq {\sqrt {2}}\,.}$

La curva siempre tiene puntos de corte en x en ±  c donde c ² = a ² + b ² . Cuando e < 1 hay dos puntos de corte en x reales adicionales y cuando e > 1 hay dos puntos de corte en y reales , siendo todos los demás puntos de corte en x e y imaginarios. ^[6]

La curva tiene puntos dobles en los puntos circulares en el infinito , en otras palabras la curva es bicircular . Estos puntos son biflecnodos, lo que significa que la curva tiene dos tangentes distintas en estos puntos y cada rama de la curva tiene un punto de inflexión allí. A partir de esta información y de las fórmulas de Plücker es posible deducir los números de Plücker para el caso e ≠ 1 : grado = 4, clase = 8, número de nodos = 2, número de cúspides = 0, número de tangentes dobles = 8, número de puntos de inflexión = 12, género = 1. ^[7]

Las tangentes en los puntos circulares están dadas por x ± iy = ±  a que tienen puntos de intersección reales en (±  a , 0) . Por lo tanto, los focos son, de hecho, focos en el sentido definido por Plücker. ^[8] Los puntos circulares son puntos de inflexión, por lo que son focos triples. Cuando e ≠ 1 , la curva tiene clase ocho, lo que implica que debería haber un total de ocho focos reales. Seis de estos se han tenido en cuenta en los dos focos triples y los dos restantes están en Por lo tanto, los focos adicionales están en el eje x cuando la curva tiene dos bucles y en el eje y cuando la curva tiene un solo bucle. ^[9] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm a{\sqrt {1-e^{4}}},0\right)&\quad (e<1),\\\left(0,\pm a{\sqrt {e^{4}-1}}\right)&\quad (e>1).\end{aligned}}}$$

Óvalos de Cassini y trayectorias ortogonales

Óvalos de Cassini y sus trayectorias ortogonales (hipérbolas)

Las trayectorias ortogonales de un lápiz de curvas dadoson curvas que intersecan ortogonalmente todas las curvas dadas. Por ejemplo, las trayectorias ortogonales de un lápiz deelipses confocales son las hipérbolas confocales con los mismos focos. Para los óvalos de Cassini se tiene:

• Las trayectorias ortogonales de las curvas de Cassini con focos son las hipérbolas equiláteras que contienen el mismo centro que los óvalos de Cassini (ver imagen). ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

Prueba:
Para simplificar se elige . ${\displaystyle P_{1}=(1,0),\,P_{2}=(-1,0)}$

Los óvalos de Cassini tienen la ecuación $${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})+1-b^{4}=0.}$$

Las hipérbolas equiláteras (sus asíntotas son rectangulares) que contienen con centro se pueden describir mediante la ecuación ${\displaystyle (1,0),(-1,0)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ $${\displaystyle x^{2}-y^{2}-\lambda xy-1=0,\ \ \ \lambda \in \mathbb {R} .}$$

Estas secciones cónicas no tienen puntos en común con el eje y y se intersecan con el eje x en . Sus discriminantes muestran que estas curvas son hipérbolas. Una investigación más detallada revela que las hipérbolas son rectangulares. Para obtener las normales, que son independientes del parámetro, la siguiente representación implícita es más conveniente. Un cálculo simple muestra que para todo . Por lo tanto, los óvalos de Cassini y las hipérbolas se intersecan ortogonalmente. ${\displaystyle (\pm 1,0)}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle g(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}-1}{xy}}-\lambda ={\frac {x}{y}}-{\frac {y}{x}}-{\frac {1}{xy}}-\lambda =0\;.}$$ ${\displaystyle \operatorname {grad} f(x,y)\cdot \operatorname {grad} g(x,y)=0}$ ${\displaystyle (x,y),\,x\neq 0\neq y}$

Observación:
La imagen que representa los óvalos de Cassini y las hipérbolas parece las curvas equipotenciales de dos cargas puntuales iguales junto con las líneas del campo eléctrico generado . Pero para el potencial de dos cargas puntuales iguales se tiene . (Véase Curva implícita .) En cambio, estas curvas corresponden en realidad a los conjuntos equipotenciales (secciones planas de) de dos cables infinitos con densidad de carga lineal constante igual o, alternativamente, a los conjuntos de niveles de las sumas de las funciones de Green para el laplaciano en dos dimensiones centradas en los focos. ${\displaystyle 1/|PP_{1}|+1/|PP_{2}|={\text{constant}}}$

Las curvas de Cassini de bucle simple y bucle doble se pueden representar como trayectorias ortogonales entre sí cuando cada familia es coaxial pero no confocal. Si los bucles simples se describen por entonces los focos son variables en el eje si , si ; si los bucles dobles se describen por entonces los ejes son, respectivamente, y . Cada curva, hasta la similitud, aparece dos veces en la imagen, que ahora se asemeja a las líneas de campo y curvas de potencial para cuatro cargas puntuales iguales, ubicadas en y . Además, la porción de esta imagen en el semiplano superior representa la siguiente situación: Los bucles dobles son un conjunto reducido de clases de congruencia para las cónicas centrales de Steiner en el plano hiperbólico producidas por colineaciones directas; ^[10] y cada bucle simple es el lugar geométrico de los puntos tales que el ángulo es constante, donde y es el pie de la perpendicular que pasa por la línea descrita por . ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})-1=axy}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle y=-x}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})+1=b(x^{2}-y^{2})}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle (\pm 1,0)}$ ${\displaystyle (0,\pm 1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle OPQ}$ ${\displaystyle O=(0,1)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Ejemplos

La segunda lemniscata del conjunto de Mandelbrot es un óvalo de Cassini definido por la ecuación Sus focos están en los puntos c del plano complejo que tienen órbitas donde cada segundo valor de z es igual a cero, que son los valores 0 y −1. ${\displaystyle L_{2}=\{c:\operatorname {abs} (c^{2}+c)=ER\}.}$

Óvalos de Cassini sobre toros

Óvalos de Cassini como secciones planas de un toro (el toro de la derecha es un toro en huso )

Los óvalos de Cassini aparecen como secciones planas de toros , pero sólo cuando el plano de corte es paralelo al eje del toro y su distancia al eje es igual al radio del círculo generador (ver imagen).

La intersección del toro con la ecuación

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}$

y el avión cede ${\displaystyle y=r}$

${\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}+R^{2}\right)^{2}=4R^{2}\!\left(x^{2}+r^{2}\right).}$

Después de resolver parcialmente el primer corchete se obtiene la ecuación

${\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}-2R^{2}(x^{2}-z^{2})=4R^{2}r^{2}-R^{4},}$

cual es la ecuación de un óvalo de Cassini con parámetros y . ${\displaystyle b^{2}=2Rr}$ ${\displaystyle a=R}$

Generalizaciones

El método de Cassini es fácil de generalizar a curvas y superficies con un número arbitrario de puntos de definición:

• ${\displaystyle |PP_{1}|\times |PP_{2}|\times \cdots \times |PP_{n}|=b^{n}}$

describe en el caso plano una curva implícita y en el espacio tridimensional una superficie implícita .

• 
  curva con 3 puntos definitorios
• 
  superficie con 6 puntos definidores

Véase también

• Coordenadas bipolares de dos centros

Referencias

1. Cassini
2. Cohen 1962.
3. Basset pág. 163
4. Lawden
5. "Óvalo de Cassini - Enciclopedia de Matemáticas".
6. Basset pág. 163
7. Basset pág. 163
8. Véase Basset pág. 47
9. Basset pág. 164
10. Sarli, John (abril de 2012). "Cónicas en el plano hiperbólico intrínsecas al grupo de colineación". Journal of Geometry . 103 (1): 131–148. doi :10.1007/s00022-012-0115-5. ISSN  0047-2468. S2CID  253597755.

Bibliografía

• J.-D. Cassini (1693). De l'Origine et du progrès de l'astronomie et de son use dans la géographie et dans la Navigation. La Imprimerie Royale. págs.36.
• Cohen, I. Bernard (1962). "Leibniz y las órbitas elípticas: como se ve en su correspondencia con la Académie Royale des Sciences en 1700". Revista de Historia de la Medicina y Ciencias Afines . 17 (1): 72–82. doi :10.1093/jhmas/xvii.1.72. JSTOR  24620858.
• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications . Págs. 5, 153–155. ISBN. 0-486-60288-5.
• AB Basset (1901). Tratado elemental sobre curvas cúbicas y cuárticas. Londres: Deighton Bell and Co., págs. 162 y siguientes.
• Lawden, DF, "Familias de óvalos y sus trayectorias ortogonales", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 410–420.

Enlaces externos

• "Óvalo de Cassini". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Descripción de MacTutor
• Weisstein, Eric W. "Óvalos de Cassini". MathWorld .
• Descripción de 2Dcurves.com
• Curvas famosas de la "Historia de las matemáticas de MacTutor"