Órbita (teoría de control)

La noción de órbita de un sistema de control utilizada en la teoría de control matemático es un caso particular de la noción de órbita en la teoría de grupos . ^{[1] [2] [3]}

Definición

Sea un sistema de control, donde pertenece a una variedad de dimensión finita y pertenece a un conjunto de control . Considérese la familia y supongamos que cada campo vectorial en es completo . Para cada real , denotemos por el flujo de en el instante . ${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\ q}}$ ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle \ u}$ ${\displaystyle \ U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ e^{tf}}$ ${\displaystyle \ f}$ ${\displaystyle \ t}$

La órbita del sistema de control a través de un punto es el subconjunto de definido por ${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$ ${\displaystyle q_{0}\in M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$ ${\displaystyle \ M}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}=\{e^{t_{k}f_{k}}\circ e^{t_{k-1}f_{k-1}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})\mid k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} ,\ f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}\}.}$

Observaciones

La diferencia entre órbitas y conjuntos alcanzables es que, mientras que para los conjuntos alcanzables solo se permiten movimientos hacia adelante en el tiempo, para las órbitas se permiten tanto movimientos hacia adelante como hacia atrás. En particular, si la familia es simétrica (es decir, si y solo si ), entonces las órbitas y los conjuntos alcanzables coinciden. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle -f\in {\mathcal {F}}}$

La hipótesis de que todo cuerpo vectorial de es completo simplifica las notaciones, pero se puede descartar. En este caso, hay que reemplazar los flujos de cuerpos vectoriales por versiones locales de ellos. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teorema de la órbita (Nagano-Sussmann)

Cada órbita es una subvariedad sumergida de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$ ${\displaystyle \ M}$

El espacio tangente a la órbita en un punto es el subespacio lineal de abarcado por los vectores donde denota el empuje hacia delante de por , pertenece a y es un difeomorfismo de de la forma con y . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{q_{0}}}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ T_{q}M}$ ${\displaystyle \ P_{*}f(q)}$ ${\displaystyle \ P_{*}f}$ ${\displaystyle \ f}$ ${\displaystyle \ P}$ ${\displaystyle \ f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ P}$ ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle e^{t_{k}f_{k}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}}$

Si todos los campos vectoriales de la familia son analíticos, entonces donde es la evaluación en del álgebra de Lie generada por con respecto al corchete de Lie de los campos vectoriales . De lo contrario, la inclusión es verdadera. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}=\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}\subset T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}}$

Corolario (teorema de Rashevsky-Chow)

Si para cada y si está conexo, entonces cada órbita es igual a toda la variedad . ${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M}$ ${\displaystyle \ q\in M}$ ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle \ M}$

Véase también

• Teorema de Frobenius (topología diferencial)

Referencias

1. Jurdjevic, Velimir (1997). Teoría del control geométrico. Cambridge University Press . pp. xviii+492. ISBN 0-521-49502-4.^{[ enlace muerto permanente ]}
2. Sussmann, Héctor J.; Jurdjevic, Velimir (1972). "Controlabilidad de sistemas no lineales". J. Differential Equations . 12 (1): 95–116. Bibcode :1972JDE....12...95S. doi : 10.1016/0022-0396(72)90007-1 .
3. Sussmann, Héctor J. (1973). "Órbitas de familias de campos vectoriales e integrabilidad de distribuciones". Trans. Amer. Math. Soc . 180. American Mathematical Society: 171–188. doi : 10.2307/1996660 . JSTOR  1996660.

Lectura adicional

• Agrachev, Andrei; Sachkov, Yuri (2004). "El teorema de la órbita y sus aplicaciones". Teoría de control desde el punto de vista geométrico . Berlín: Springer. pp. 63–80. ISBN 3-540-21019-9.