Índice de Mazziotta-Pareto

El índice Mazziotta-Pareto ( IPM ) es un índice compuesto ^[1] (OCDE, 2008 ^[2] ) que resume un conjunto de indicadores individuales que se supone que no son totalmente sustituibles. ^[3] Se basa en una función no lineal que, a partir de la media aritmética de los indicadores normalizados , introduce una penalización para las unidades con valores desequilibrados de los indicadores (De Muro et al., 2011 ^[4] ). Se han propuesto dos versiones del índice: (a) IPM y (b) IPM ajustado (IPMA). La primera versión es la mejor solución para un análisis "estático" (por ejemplo, un análisis de un solo año), mientras que la segunda es la mejor solución para un análisis "dinámico" (por ejemplo, un análisis de varios años). Para una comparación entre las dos versiones, véase Mazziotta y Pareto (2015). ^[5]

IPM

Dada la matriz con n filas (unidades estadísticas) y m columnas (indicadores individuales), calculamos la matriz normalizada de la siguiente manera: ${\displaystyle Y=y_{ij}}$ ${\displaystyle Z=z_{ij}}$

${\displaystyle z_{ij}=100\pm [(y_{ij}-M_{y_{j}})S_{y_{j}}^{-1}]10}$

donde y son, respectivamente, la media y la desviación típica del indicador y el signo es la 'polaridad' del indicador , es decir, el signo de la relación entre el indicador y el fenómeno a medir ( si el indicador individual representa una dimensión considerada positiva y si representa una dimensión considerada negativa). Denotando con , , , respectivamente, la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de los valores normalizados para la unidad , el índice compuesto viene dado por ${\displaystyle M_{y_{j}}}$ ${\displaystyle S_{y_{j}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle M_{z_{j}}}$ ${\displaystyle S_{z_{j}}}$ ${\displaystyle cv_{z_{j}}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathrm {MPI} _{i}^{\pm }=M_{z_{i}}(1\pm cv_{z_{i}}^{2})=M_{z_{i}}\pm S_{z_{i}}cv_{z_{i}}}$

donde el signo depende del tipo de fenómeno a medir. Si el índice compuesto es "creciente" o "positivo", es decir, los valores crecientes del índice corresponden a variaciones positivas del fenómeno (por ejemplo, desarrollo socioeconómico), entonces se utiliza . Por el contrario, si el índice compuesto es "decreciente" o "negativo", es decir, los valores crecientes del índice corresponden a variaciones negativas del fenómeno (por ejemplo, pobreza), entonces se utiliza . En cualquier caso, un desequilibrio entre los indicadores tendrá un efecto negativo en el valor del índice. ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle \mathrm {MPI} ^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {MPI} ^{+}}$

AMPI

Dada la matriz , calculamos la matriz de la siguiente manera: ${\displaystyle Y=y_{ij}}$ ${\displaystyle R=\{r_{ij}\}}$

${\displaystyle r_{ij}=\left[\left(y_{ij}-\min _{i}y_{i}\right)\left(\max _{i}y_{i}-\min _{i}y_{i}\right)^{-1}\right]60+70}$

donde y son los 'objetivos' del indicador , es decir, un valor mínimo y un valor máximo que representan el rango posible del indicador para todos los períodos de tiempo considerados. Si el indicador tiene 'polaridad' negativa, se calcula el complemento de (1) con respecto a 200. ${\displaystyle \min _{i}y_{i}}$ ${\displaystyle \max _{i}y_{i}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Para facilitar la interpretación de los resultados, los 'objetivos' pueden elegirse de modo que 100 represente un valor de referencia (por ejemplo, el promedio en un año determinado). Sea y el mínimo y el máximo del indicador en todos los períodos de tiempo considerados, y sea el valor de referencia para el indicador . Entonces los 'objetivos' se definen como: , donde ${\displaystyle \inf _{j}y_{j}}$ ${\displaystyle \sup _{j}y_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \operatorname {Ref} _{y_{j}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\operatorname {Ref} _{y_{j}}}\pm \Delta }$ ${\displaystyle \Delta =(\sup _{j}y_{j}-\inf _{j}y_{j})2^{-1}}$

Denotando con , , , respectivamente, la media, la desviación estándar y el coeficiente de variación de los valores normalizados para la unidad , el índice compuesto viene dado por ${\displaystyle M_{r_{i}}}$ ${\displaystyle S_{r_{i}}}$ ${\displaystyle cv_{r_{i}}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathrm {AMPI} _{i}^{\pm }=M_{r_{i}}(1\pm cv_{r_{i}}^{2})=M_{r_{i}}\pm S_{r_{i}}cv_{r_{i}}}$

donde el signo depende del tipo de fenómeno a medir. ${\displaystyle \pm }$

Aplicaciones

La metodología se aplica habitualmente al cálculo tanto de índices compuestos de fenómenos multidimensionales “positivos” (cuanto mayor sea el valor, mejor será el desempeño), como el bienestar (Istat, 2015 ^[6] ), la calidad de vida (Mazziotta y Pareto, 2012 ^[7] ), el desarrollo (De Muro et al., 2011) y la dotación de infraestructuras (Mazziotta y Pareto, 2009 ^[8] ), como de fenómenos multidimensionales “negativos” (cuanto mayor sea el valor, peor será el desempeño), como la pobreza (De Muro et al., 2011).

Referencias

1. Un índice compuesto es una combinación matemática (o agregación, como se le denomina) de un conjunto de indicadores que representan las diferentes dimensiones de un fenómeno a medir.
2. OCDE (2008). Manual para la construcción de indicadores compuestos. Metodología y guía del usuario. Publicaciones de la OCDE, París.
3. Los componentes de un índice compuesto se denominan "sustituibles" si un déficit en un componente puede compensarse con un superávit en otro (por ejemplo, un valor bajo de "Proporción de personas que han participado en actividades religiosas o espirituales" puede compensarse con un valor alto de "Proporción de personas que han participado en reuniones de asociaciones culturales o recreativas" y viceversa). De manera similar, los componentes de un índice compuesto se denominan "no sustituibles" si no se permite una compensación entre ellos (por ejemplo, un valor bajo de "Esperanza de vida al nacer" no puede compensarse con un valor alto de "PIB per cápita" y viceversa).
4. De Muro, P., Mazziotta, M., Pareto, A. (2011). Índices compuestos de desarrollo y pobreza: una aplicación a los ODM. Social Indicators Research, 104, 1–18.
5. Mazziotta, M., Pareto, A. (2015). Sobre un índice compuesto generalizado no compensatorio para medir fenómenos socioeconómicos. Social Indicators Research, DOI 10.1007/s11205-015-0998-2
6. Istat (2015). Terzo Rapporto sul Benessere Equo e Sostenibile in Italia (BES). http://www.istat.it/it/files/2015/12/Rapporto_BES_2015.pdf
7. Mazziotta M., Pareto A. (2012). “Un enfoque no compensatorio para la medición de la calidad de vida”, en “Calidad de vida en Italia: investigaciones y reflexiones” (Maggino F. y Nuvolati P. eds.), Social Indicators Research Series. Springer.
8. Mazziotta M., Pareto A. (2009). “Il Metodo per la Sintesi degli Indicatori” en “La Dotazione di Infrastrutture e Servizi nella Sanità, Collana Informazioni Istat. Volumen n.8.