El árbol de Pitágoras es un fractal plano construido a partir de cuadrados . Inventado por el profesor de matemáticas holandés Albert E. Bosman en 1942, [1] recibe su nombre del antiguo matemático griego Pitágoras porque cada triple de cuadrados en contacto encierra un triángulo rectángulo , en una configuración utilizada tradicionalmente para representar el teorema de Pitágoras . Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L × L , todo el árbol de Pitágoras encaja perfectamente dentro de una caja de tamaño 6 L × 4 L . [2] [3] Los detalles más finos del árbol se parecen a la curva C de Lévy .
La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado . Sobre este cuadrado se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de √ 2 /2, de modo que los vértices de los cuadrados coincidan de a pares. El mismo procedimiento se aplica luego de forma recursiva a los dos cuadrados más pequeños, hasta el infinito . La siguiente ilustración muestra las primeras iteraciones del proceso de construcción. [2] [3]
Este es el triángulo simétrico más simple. Alternativamente, los lados del triángulo son proporciones recursivamente iguales, lo que hace que los lados sean proporcionales a la raíz cuadrada de la proporción áurea inversa y las áreas de los cuadrados estén en proporción áurea.
La iteración n en la construcción suma 2 n cuadrados de área , para un área total de 1. Por lo tanto, el área del árbol podría parecer que crece sin límite en el límite cuando n → ∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la iteración de orden 5, y el árbol en realidad tiene un área finita porque cabe dentro de una caja de 6 × 4. [2]
Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango 5 < A < 18 , que puede reducirse aún más con un esfuerzo adicional. Parece que se sabe poco acerca del valor real de A.
Se puede construir un conjunto interesante de variaciones manteniendo un triángulo isósceles pero cambiando el ángulo de la base (90 grados para el árbol de Pitágoras estándar). En particular, cuando el semiángulo de la base se establece en (30°) = arcsin(0,5), se ve fácilmente que el tamaño de los cuadrados permanece constante. La primera superposición se produce en la cuarta iteración. El patrón general producido es el mosaico rombitrihexagonal , una matriz de hexágonos bordeados por los cuadrados que se construyen.
En el límite donde el medio ángulo es de 90 grados, obviamente no hay superposición y el área total es el doble del área del cuadrado base.
El árbol de Pitágoras fue construido por primera vez por Albert E. Bosman (1891-1961), un profesor de matemáticas holandés , en 1942. [2] [4]
