Álgebra de particiones

El álgebra de partición es un álgebra asociativa con una base de diagramas de partición de conjuntos y multiplicación dada por concatenación de diagramas . ^[1] Sus subálgebras incluyen álgebras de diagramas como el álgebra de Brauer , el álgebra de Temperley-Lieb o el álgebra de grupos del grupo simétrico . Las representaciones del álgebra de partición se construyen a partir de conjuntos de diagramas y de representaciones del grupo simétrico.

Definición

Diagramas

Una partición de elementos etiquetados se representa como un diagrama, con líneas que conectan elementos en el mismo subconjunto. En el siguiente ejemplo, el subconjunto da lugar a las líneas y podría representarse de manera equivalente mediante las líneas (por ejemplo). ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 1,{\bar {1}},2,{\bar {2}},\dots ,k,{\bar {k}}}$ ${\displaystyle \{{\bar {1}},{\bar {4}},{\bar {5}},6\}}$ ${\displaystyle {\bar {1}}-{\bar {4}},{\bar {4}}-{\bar {5}},{\bar {5}}-6}$ ${\displaystyle {\bar {1}}-6,{\bar {4}}-6,{\bar {5}}-6,{\bar {1}}-{\bar {5}}}$

Para y , el álgebra de particiones se define mediante una base formada por particiones y una multiplicación dada por la concatenación de diagramas. El diagrama concatenado viene con un factor , donde es el número de componentes conectados que están desconectados de los elementos superior e inferior. ${\displaystyle n\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle P_{k}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n^{D}}$ ${\displaystyle D}$

Generadores y relaciones

El álgebra de partición se genera mediante elementos del tipo ${\displaystyle P_{k}(n)}$ ${\displaystyle 3k-2}$

Estos generadores obedecen a relaciones que incluyen ^[2]

${\displaystyle s_{i}^{2}=1\quad ,\quad s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\quad ,\quad p_{i}^{2}=np_{i}\quad ,\quad b_{i}^{2}=b_{i}\quad ,\quad p_{i}b_{i}p_{i}=p_{i}}$

Otros elementos que son útiles para generar subálgebras incluyen

En cuanto a los generadores originales, estos elementos son

${\displaystyle e_{i}=b_{i}p_{i}p_{i+1}b_{i}\quad ,\quad l_{i}=s_{i}p_{i}\quad ,\quad r_{i}=p_{i}s_{i}}$

Propiedades

El álgebra de partición es un álgebra asociativa . Tiene una identidad multiplicativa. ${\displaystyle P_{k}(n)}$

El álgebra de partición es semisimple para . Para dos cualesquiera en este conjunto, las álgebras y son isomorfas. ^[1] ${\displaystyle P_{k}(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\{0,1,\dots ,2k-2\}}$ ${\displaystyle n,n'}$ ${\displaystyle P_{k}(n)}$ ${\displaystyle P_{k}(n')}$

El álgebra de partición es de dimensión finita, con (un número de Bell ). ${\displaystyle \dim P_{k}(n)=B_{2k}}$

Subálgebras

Ocho subálgebras

Las subálgebras del álgebra de partición se pueden definir mediante las siguientes propiedades: ^[3]

• Si son planas, es decir, si las líneas pueden cruzarse en los diagramas.
• Si se permite que los subconjuntos tengan cualquier tamaño , o tamaño , o solo tamaño . ${\displaystyle 1,2,\dots ,2k}$ ${\displaystyle 1,2}$ ${\displaystyle 2}$
• Si permitimos líneas de arriba a arriba y de abajo a abajo, o solo líneas de arriba a abajo. En este último caso, el parámetro está ausente o se puede eliminar con . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}\to {\frac {1}{n}}p_{i}}$

La combinación de estas propiedades da lugar a ocho subálgebras no triviales, además del propio álgebra de partición: ^{[1] [3]}

El álgebra de grupo simétrico es el anillo de grupo del grupo simétrico sobre . El álgebra de Motzkin a veces se denomina álgebra diluida de Temperley-Lieb en la literatura de física. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} S_{k}}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Propiedades

Las subálgebras enumeradas son semisimples para . ${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\{0,1,\dots ,2k-2\}}$

Inclusiones de álgebras planares en álgebras no planares:

${\displaystyle PP_{k}(n)\subset P_{k}(n)\quad ,\quad M_{k}(n)\subset RB_{k}(n)\quad ,\quad TL_{k}(n)\subset B_{k}(n)\quad ,\quad PR_{k}\subset R_{k}}$

Inclusiones de restricciones sobre el tamaño del subconjunto:

${\displaystyle B_{k}(n)\subset RB_{k}(n)\subset P_{k}(n)\quad ,\quad TL_{k}(n)\subset M_{k}(n)\subset PP_{k}(n)\quad ,\quad \mathbb {C} S_{k}\subset R_{k}}$

Inclusiones que permiten líneas de arriba a arriba y de abajo a abajo:

${\displaystyle R_{k}\subset RB_{k}(n)\quad ,\quad PR_{k}\subset M_{k}(n)\quad ,\quad \mathbb {C} S_{k}\subset B_{k}(n)}$

Tenemos el isomorfismo:

${\displaystyle PP_{k}(n^{2})\cong TL_{2k}(n)\quad ,\quad \left\{{\begin{array}{l}p_{i}\mapsto ne_{2i-1}\\b_{i}\mapsto {\frac {1}{n}}e_{2i}\end{array}}\right.}$

Más subálgebras

Además de las ocho subálgebras descritas anteriormente, se han definido otras subálgebras:

• La subálgebra de partición totalmente propagante se genera mediante diagramas cuyos bloques se propagan todos, es decir, particiones cuyos subconjuntos contienen todos elementos superiores e inferiores. ^[5] Estos diagramas provienen del monoide inverso simétrico dual, que se genera mediante . ^[6] ${\displaystyle {\text{prop}}P_{k}}$ ${\displaystyle s_{i},b_{i}p_{i+1}b_{i+1}}$
• El álgebra de cuasipartición se genera a partir de subconjuntos de tamaño al menos dos. Sus generadores son y su dimensión es . ^[7] ${\displaystyle QP_{k}(n)}$ ${\displaystyle s_{i},b_{i},e_{i}}$ ${\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{2k}(-1)^{j-1}B_{2k-j}}$
• El álgebra de permutación de bloques uniforme se genera a partir de subconjuntos con tantos elementos superiores como inferiores. Se genera mediante . ^[8] ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle s_{i},b_{i}}$

Un álgebra con un índice semientero se define a partir de particiones de elementos al requerir que y estén en el mismo subconjunto. Por ejemplo, se genera mediante de modo que , y . ^[2] ${\displaystyle k+{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 2k+2}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle {\overline {k+1}}}$ ${\displaystyle P_{k+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle s_{i\leq k-1},b_{i\leq k},p_{i\leq k}}$ ${\displaystyle P_{k}\subset P_{k+{\frac {1}{2}}}\subset P_{k+1}}$ ${\displaystyle \dim P_{k+{\frac {1}{2}}}=B_{2k+1}}$

Las subálgebras periódicas se generan mediante diagramas que se pueden dibujar en un anillo sin cruces de líneas. Dichas subálgebras incluyen un elemento de traslación. ${\displaystyle u=}$de modo que . El elemento de traducción y sus potencias son las únicas combinaciones de que pertenecen a subálgebras periódicas. ${\displaystyle u^{k}=1}$ ${\displaystyle s_{i}}$

Representaciones

Estructura

Para un entero , sea el conjunto de particiones de elementos (inferior) y (superior), de modo que no haya dos elementos superiores en el mismo subconjunto y ningún elemento superior esté solo. Dichas particiones se representan mediante diagramas sin líneas de arriba a arriba, con al menos una línea para cada elemento superior. Por ejemplo, en el caso : ${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$ ${\displaystyle D_{\ell }}$ ${\displaystyle k+\ell }$ ${\displaystyle 1,2,\dots ,k}$ ${\displaystyle {\bar {1}},{\bar {2}},\dots ,{\bar {\ell }}}$ ${\displaystyle k=12,\ell =5}$

Los diagramas de partición actúan desde abajo, mientras que el grupo simétrico actúa desde arriba. Para cualquier módulo de Specht de (con por lo tanto ), definimos la representación de ${\displaystyle D_{\ell }}$ ${\displaystyle S_{\ell }}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle S_{\ell }}$ ${\displaystyle |\lambda |=\ell }$ ${\displaystyle P_{k}(n)}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }=\mathbb {C} D_{|\lambda |}\otimes _{\mathbb {C} S_{|\lambda |}}V_{\lambda }\ .}$

La dimensión de esta representación es ^[1]

${\displaystyle \dim {\mathcal {P}}_{\lambda }=f_{\lambda }\sum _{\ell =|\lambda |}^{k}\left\{{k \atop \ell }\right\}{\binom {\ell }{|\lambda |}}\ ,}$

donde es un número de Stirling de segundo tipo , es un coeficiente binomial y se da mediante la fórmula de longitud del gancho . ${\displaystyle \left\{{k \atop \ell }\right\}}$ ${\displaystyle {\binom {\ell }{|\lambda |}}}$ ${\displaystyle f_{\lambda }=\dim S_{\lambda }}$

Una base de puede describirse combinatoriamente en términos de tablas de partición de conjuntos: tablas de Young cuyas casillas se rellenan con los bloques de una partición de conjuntos. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$

Suponiendo que es semisimple, la representación es irreducible y el conjunto de representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de partición es ${\displaystyle P_{k}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$

${\displaystyle {\text{Irrep}}\left(P_{k}(n)\right)=\left\{{\mathcal {P}}_{\lambda }\right\}_{0\leq |\lambda |\leq k}\ .}$

Representaciones de subálgebras

Las representaciones de subálgebras no planares tienen estructuras similares a las representaciones del álgebra de particiones. Por ejemplo, los módulos de Brauer-Specht del álgebra de Brauer se construyen a partir de módulos de Specht y ciertos conjuntos de particiones.

En el caso de las subálgebras planares, la planaridad impide las permutaciones no triviales y no aparecen los módulos de Specht. Por ejemplo, un módulo estándar del álgebra de Temperley-Lieb está parametrizado por un entero con , y una base viene dada simplemente por un conjunto de particiones. ${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$ ${\displaystyle \ell \equiv k{\bmod {2}}}$

La siguiente tabla enumera las representaciones irreducibles del álgebra de partición y ocho subálgebras. ^[3]

Las representaciones irreducibles de están indexadas por particiones tales que y sus dimensiones son . ^[5] Las representaciones irreducibles de están indexadas por particiones tales que . ^[7] Las representaciones irreducibles de están indexadas por secuencias de particiones. ^[8] ${\displaystyle {\text{prop}}P_{k}}$ ${\displaystyle 0<|\lambda |\leq k}$ ${\displaystyle f_{\lambda }\left\{{k \atop |\lambda |}\right\}}$ ${\displaystyle QP_{k}}$ ${\displaystyle 0\leq |\lambda |\leq k}$ ${\displaystyle U_{k}}$

Dualidad Schur-Weyl

Supongamos que para un espacio vectorial de dimensión 1 con base , existe una acción natural del álgebra de particiones sobre el espacio vectorial . Esta acción está definida por los elementos de la matriz de una partición en la base : ^[2] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle P_{k}(n)}$ ${\displaystyle V^{\otimes k}}$ ${\displaystyle \{1,{\bar {1}},2,{\bar {2}},\dots ,k,{\bar {k}}\}=\sqcup _{h}E_{h}}$ ${\displaystyle (v_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{j_{k}})}$

${\displaystyle \left(\sqcup _{h}E_{h}\right)_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{k}}^{j_{\bar {1}},j_{\bar {2}},\dots ,j_{\bar {k}}}=\mathbf {1} _{r,s\in E_{h}\implies j_{r}=j_{s}}\ .}$

Este elemento de la matriz es uno si todos los índices correspondientes a cualquier subconjunto de partición dado coinciden, y cero en caso contrario. Por ejemplo, la acción de un generador de Temperley-Lieb es

${\displaystyle e_{i}\left(v_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{j_{i}}\otimes v_{j_{i+1}}\otimes \cdots \otimes v_{j_{k}}\right)=\delta _{j_{i},j_{i+1}}\sum _{j=1}^{n}v_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{j}\otimes v_{j}\otimes \cdots \otimes v_{j_{k}}\ .}$

Dualidad entre el álgebra de partición y el grupo simétrico

Sea entero. Supongamos que es la representación de permutación natural del grupo simétrico . Esta representación -dimensional es una suma de dos representaciones irreducibles: la representación estándar y la trivial, . ${\displaystyle n\geq 2k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V=[n-1,1]\oplus [n]}$

Entonces el álgebra de partición es el centralizador de la acción de sobre el espacio del producto tensorial , ${\displaystyle P_{k}(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes k}}$

${\displaystyle P_{k}(n)\cong {\text{End}}_{S_{n}}\left(V^{\otimes k}\right)\ .}$

Además, como bimódulo sobre , el espacio del producto tensorial se descompone en representaciones irreducibles como ^[1] ${\displaystyle P_{k}(n)\times S_{n}}$

${\displaystyle V^{\otimes k}=\bigoplus _{0\leq |\lambda |\leq k}{\mathcal {P}}_{\lambda }\otimes V_{[n-|\lambda |,\lambda ]}\ ,}$

donde es un diagrama de Young de tamaño construido agregando una primera fila a , y es el módulo de Specht correspondiente de . ${\displaystyle [n-|\lambda |,\lambda ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V_{[n-|\lambda |,\lambda ]}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Dualidades que involucran subálgebras

La dualidad entre el grupo simétrico y el álgebra de partición generaliza la dualidad original de Schur-Weyl entre el grupo lineal general y el grupo simétrico. Existen otras generalizaciones. En los espacios de productos tensoriales relevantes, escribimos para una representación irreducible en dimensión del primer grupo o álgebra: ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Halverson, Tom; Jacobson, Theodore N. (2020). "Tablas de partición de conjuntos y representaciones de álgebras de diagramas". Combinatoria algebraica . 3 (2): 509–538. arXiv : 1808.08118v2 . doi :10.5802/alco.102. ISSN  2589-5486. S2CID  119167251.
2. Halverson, Tom; Ram, Arun (2005). "Álgebras de partición". Revista Europea de Combinatoria . 26 (6): 869–921. arXiv : math/0401314v2 . doi :10.1016/j.ejc.2004.06.005. S2CID  1168919.
3. Colmenarejo, Laura; Orellana, Rosa; Saliola, Franco; Schilling, Anne; Zabrocki, Mike (2020). "Un algoritmo de inserción en particiones multiconjunto con aplicaciones a álgebras de diagramas". Journal of Algebra . 557 : 97–128. arXiv : 1905.02071v2 . doi :10.1016/j.jalgebra.2020.04.010. S2CID  146121089.
4. Jacobsen, Jesper Lykke; Ribault, Sylvain; Saleur, Hubert (2022). "Espacios de estados de los modelos bidimensionales O(n) y Potts". arXiv : 2208.14298 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
5. Mishra, Ashish; Srivastava, Shraddha (2021). "Elementos de Jucys–Murphy de álgebras de partición para el monoide de torre". Revista internacional de álgebra y computación . 31 (5): 831–864. arXiv : 1912.10737v3 . doi :10.1142/S0218196721500399. ISSN  0218-1967. S2CID  209444954.
6. Maltcev, Victor (16 de marzo de 2007). "Sobre un nuevo enfoque para el monoide inverso simétrico dual I* _X ". arXiv : math/0703478v1 .
7. Daugherty, Zajj; Orellana, Rosa (2014). "El álgebra de cuasi-partición". Journal of Algebra . 404 : 124–151. arXiv : 1212.2596v1 . doi :10.1016/j.jalgebra.2013.11.028. S2CID  117848394.
8. Orellana, Rosa; Saliola, Franco; Schilling, Anne; Zabrocki, Mike (2021-12-27). "Pletismo y álgebra de permutaciones de bloques uniformes". arXiv : 2112.13909v1 [math.CO].
9. Halverson, Tom; delMas, Elise (2 de enero de 2014). "Representaciones del álgebra de Rook-Brauer". Communications in Algebra . 42 (1): 423–443. arXiv : 1206.4576v2 . doi :10.1080/00927872.2012.716120. ISSN  0092-7872. S2CID  38469372.
10. Kudryavtseva, Ganna; Mazorchuk, Volodymyr (2008). "Dualidades de Schur-Weyl para semigrupos inversos simétricos". Journal of Pure and Applied Algebra . 212 (8): 1987–1995. arXiv : math/0702864 . doi :10.1016/j.jpaa.2007.12.004. S2CID  13564450.
11. Benkart, Georgia; Moon, Dongho (28 de mayo de 2013). "Álgebras de torres planas y representaciones tensoriales de 𝔤𝔩(1 | 1)". Comunicaciones en Álgebra . 41 (7): 2405–2416. arXiv : 1201.2482v1 . doi :10.1080/00927872.2012.658533. ISSN  0092-7872. S2CID  119125305.
12. Cox, Anton; Visscher, De; Doty, Stephen; Martin, Paul (6 de septiembre de 2007). "Sobre los bloques del álgebra de Brauer amurallada". arXiv : 0709.0851v1 [math.RT].

Lectura adicional

• Kauffman, Louis H. (1991). Nudos y física. World Scientific. ISBN 978-981-02-0343-6.
• Kauffman, Louis H. (1990). "Un invariante de isotopía regular". Transactions of the American Mathematical Society . 318 (2): 417–471. doi : 10.1090/S0002-9947-1990-0958895-7 . ISSN  0002-9947.