Álgebra de Bose-Mesner

En matemáticas , un álgebra de Bose-Mesner es un conjunto especial de matrices que surgen de una estructura combinatoria conocida como esquema de asociación , junto con el conjunto habitual de reglas para combinar (formar los productos de) esas matrices, de modo que formen un álgebra asociativa o, más precisamente, un álgebra conmutativa unitaria . Entre estas reglas se encuentran:

• el resultado de un producto también está dentro del conjunto de matrices,
• Hay una matriz identidad en el conjunto, y
• tomar productos es conmutativo .

Las álgebras de Bose-Mesner tienen aplicaciones en física para los modelos de espín y en estadística para el diseño de experimentos . Su nombre se debe a RC Bose y Dale Marsh Mesner. ^[1]

Definición

Sea X un conjunto de v elementos. Considérese una partición de los subconjuntos de 2 elementos de X en n subconjuntos no vacíos, R ₁ , ..., R _n tales que:

• Dado un , el número de tales que depende sólo de i (y no de x ). Este número se denotará por v _i , y ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \{x,y\}\in R_{i}}$
• Dado con , el número de tales que y depende sólo de i , j y k (y no de x e y ). Este número se denotará por . ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \{x,y\}\in R_{k}}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle \{x,z\}\in R_{i}}$ ${\displaystyle \{z,y\}\in R_{j}}$ ${\displaystyle p_{ij}^{k}}$

Esta estructura se mejora añadiendo todos los pares de elementos repetidos de X y reuniéndolos en un subconjunto R ₀ . Esta mejora permite que los parámetros i , j y k tomen el valor cero y que algunos de x , y o z sean iguales.

Un conjunto con una partición mejorada de este tipo se denomina esquema de asociación . ^[2] Se puede considerar un esquema de asociación como una partición de los bordes de un gráfico completo (con un conjunto de vértices X ) en n clases, a menudo consideradas como clases de color. En esta representación, hay un bucle en cada vértice y todos los bucles reciben el mismo color 0.

El esquema de asociación también se puede representar algebraicamente. Consideremos las matrices D _i definidas por:

${\displaystyle (D_{i})_{x,y}={\begin{cases}1,&{\text{if }}\left(x,y\right)\in R_{i},\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)}$

Sea el espacio vectorial formado por todas las matrices , con complejo. ^{[3] [4]} ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sideset {}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

La definición de un esquema de asociación es equivalente a decir que son matrices v  ×  v (0,1) que satisfacen ${\displaystyle D_{i}}$

1. ${\displaystyle D_{i}}$es simétrico,
2. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}D_{i}=J}$(la matriz de todos unos),
3. ${\displaystyle D_{0}=I,}$
4. ${\displaystyle D_{i}D_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}D_{k}=D_{j}D_{i},\qquad i,j=0,\ldots ,n.}$

La entrada ( x , y )-ésima del lado izquierdo de 4. es el número de dos caminos coloreados de longitud dos que unen x e y (usando los "colores" i y j ) en el gráfico. Nótese que las filas y columnas de contienen 1: ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$

${\displaystyle D_{i}J=JD_{i}=v_{i}J.\qquad (2)}$

De 1., estas matrices son simétricas . De 2., son linealmente independientes , y la dimensión de es . De 4., es cerrada bajo la multiplicación, y la multiplicación es siempre asociativa. Esta álgebra asociativa conmutativa se llama álgebra de Bose-Mesner del esquema de asociación . Dado que las matrices en son simétricas y conmutan entre sí, pueden diagonalizarse simultáneamente. Esto significa que hay una matriz tal que para cada una hay una matriz diagonal con . Esto significa que es semisimple y tiene una base única de idempotentes primitivos . Estas son matrices complejas n × n que satisfacen ${\displaystyle D_{0},\ldots ,D_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{A}}$ ${\displaystyle S^{-1}AS=\Lambda _{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle J_{0},\ldots ,J_{n}}$

${\displaystyle J_{i}^{2}=J_{i},i=0,\ldots ,n,\qquad (3)}$

${\displaystyle J_{i}J_{k}=0,i\neq k,\qquad (4)}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}J_{i}=I.\qquad (5)}$

El álgebra de Bose-Mesner tiene dos bases diferenciadas: la base que consiste en las matrices de adyacencia y la base que consiste en las matrices idempotentes irreducibles . Por definición, existen números complejos bien definidos tales que ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle E_{k}}$

${\displaystyle D_{i}=\sum _{k=0}^{n}p_{i}(k)E_{k},\qquad (6)}$

y

${\displaystyle |X|E_{k}=\sum _{i=0}^{n}q_{k}\left(i\right)D_{i}.\qquad (7)}$

Los números p y los números q desempeñan un papel destacado en la teoría. ^[5] Satisfacen relaciones de ortogonalidad bien definidas. Los números p son los valores propios de la matriz de adyacencia . ${\displaystyle p_{i}(k)}$ ${\displaystyle q_{k}(i)}$ ${\displaystyle D_{i}}$

Teorema

Los valores propios de y , satisfacen las condiciones de ortogonalidad: ${\displaystyle p_{i}(k)}$ ${\displaystyle q_{k}(i)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k)=vv_{i}\delta _{i\ell },\quad (8)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mu _{i}q_{k}(i)q_{\ell }(i)=v\mu _{k}\delta _{k\ell }.\quad (9)}$

También

${\displaystyle \mu _{j}p_{i}(j)=v_{i}q_{j}(i),\quad i,j=0,\ldots ,n.\quad (10)}$

En notación matricial , estos son

${\displaystyle P^{T}\Delta _{\mu }P=v\Delta _{v},\quad (11)}$

${\displaystyle Q^{T}\Delta _{v}Q=v\Delta _{\mu },\quad (12)}$

dónde ${\displaystyle \Delta _{v}=\operatorname {diag} \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}\},\qquad \Delta _{\mu }=\operatorname {diag} \{\mu _{0},\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}\}.}$

Prueba del teorema

Los valores propios de son con multiplicidades . Esto implica que ${\displaystyle D_{i}D_{\ell }}$ ${\displaystyle p_{i}(k)p_{\ell }(k)}$ ${\displaystyle \mu _{k}}$

${\displaystyle vv_{i}\delta _{i\ell }=\operatorname {trace} D_{i}D_{\ell }=\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k),\quad (13)}$

lo que demuestra la ecuación y la ecuación , ${\displaystyle \left(8\right)}$ ${\displaystyle \left(11\right)}$

${\displaystyle Q=vP^{-1}=\Delta _{v}^{-1}P^{T}\Delta _{\mu },\quad (14)}$

lo que da las ecuaciones , y . ${\displaystyle (9)}$ ${\displaystyle (10)}$ ${\displaystyle (12)}$ ${\displaystyle \Box }$

Existe una analogía entre las extensiones de esquemas de asociación y las extensiones de cuerpos finitos . Los casos que más nos interesan son aquellos en los que los esquemas extendidos se definen sobre la -ésima potencia cartesiana de un conjunto sobre el que se define un esquema de asociación básico . Un primer esquema de asociación definido sobre se denomina -ésima potencia de Kronecker de . A continuación, la extensión se define sobre el mismo conjunto reuniendo clases de . La potencia de Kronecker corresponde al anillo polinómico definido primero sobre un cuerpo , mientras que el esquema de extensión corresponde al cuerpo de extensión obtenido como cociente. Un ejemplo de un esquema extendido de este tipo es el esquema de Hamming . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)}$ ${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)}$ ${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}}$ ${\displaystyle F\left[X\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Los esquemas de asociación se pueden fusionar, pero al fusionarlos se obtienen esquemas de asociación no simétricos , mientras que todos los códigos habituales son subgrupos en esquemas abelianos simétricos . ^{[6] [7] [8]}

Véase también

• Esquema de asociación

Notas

1. Bose y Mesner (1959)
2. Cameron y van Lint 1991, págs. 197-198
3. Camión 1998
4. Delsarte y Levenshtein 1998
5. Camión 1998
6. Delsarte y Levenshtein 1998
7. Camión 1998
8. MacWilliams y Sloane 1978

Referencias

• Bailey, Rosemary A. (2004), Esquemas de asociación: experimentos diseñados, álgebra y combinatoria, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 84, Cambridge University Press, pág. 387, ISBN 978-0-521-82446-0, Sr.  2047311
• Bannai, Eiichi; Ito, Tatsuro (1984), Combinatoria algebraica I: esquemas de asociación , Menlo Park, CA: The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., págs. xxiv+425, ISBN 0-8053-0490-8, Sr.  0882540
• Bannai, Etsuko (2001), "Álgebras de Bose-Mesner asociadas con modelos de espín de cuatro pesos", Graphs and Combinatorics , 17 (4): 589–598, doi :10.1007/PL00007251, S2CID  41255028
• Bose, R. C. ; Mesner, D. M. (1959), "Sobre álgebras asociativas lineales correspondientes a esquemas de asociación de diseños parcialmente balanceados", Annals of Mathematical Statistics , 30 (1): 21–38, doi : 10.1214/aoms/1177706356 , JSTOR  2237117, MR  0102157
• Cameron, P. J.; van Lint, J. H. (1991), Diseños, gráficos, códigos y sus vínculos , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42385-6
• Camion, P. (1998), "Códigos y esquemas de asociación: propiedades básicas de los esquemas de asociación relevantes para la codificación", en Pless, V. S. ; Huffman, W. C. (eds.), Manual de teoría de la codificación , Países Bajos: Elsevier
• Delsarte, P.; Levenshtein, V. I. (1998), "Esquemas de asociación y teoría de codificación", IEEE Transactions on Information Theory , 44 (6): 2477–2504, doi :10.1109/18.720545
• MacWilliams, FJ; Sloane, N. J. A. (1978), La teoría de los códigos de corrección de errores , Nueva York: Elsevier
• Nomura, K. (1997), "Un álgebra asociada a un modelo de espín", Journal of Algebraic Combinatorics , 6 (1): 53–58, doi : 10.1023/A:1008644201287