Descomposición poloidal-toroidal

En el cálculo vectorial , un tema de las matemáticas puras y aplicadas , la descomposición poloidal-toroidal es una forma restringida de la descomposición de Helmholtz . Se utiliza a menudo en el análisis de coordenadas esféricas de campos vectoriales solenoidales , por ejemplo, campos magnéticos y fluidos incompresibles . ^[1]

Definición

Para un campo vectorial tridimensional F con divergencia cero

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0,}$

Esta F se puede expresar como la suma de un campo toroidal T y un campo vectorial poloidal P

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {T} +\mathbf {P} }$

donde r es un vector radial en coordenadas esféricas ( r , θ , φ ). El campo toroidal se obtiene a partir de un campo escalar , Ψ ( r , θ , φ ), ^[2] como el siguiente rotacional ,

${\displaystyle \mathbf {T} =\nabla \times (\mathbf {r} \Psi (\mathbf {r} ))}$

y el campo poloidal se deriva de otro campo escalar Φ( r , θ , φ ), ^[3] como un rizo iterado dos veces,

${\displaystyle \mathbf {P} =\nabla \times (\nabla \times (\mathbf {r} \Phi (\mathbf {r} )))\,.}$

Esta descomposición es simétrica en el sentido de que el rizo de un campo toroidal es poloidal, y el rizo de un campo poloidal es toroidal, conocido como función de Chandrasekhar-Kendall . ^[4]

Geometría

Un campo vectorial toroidal es tangencial a las esferas alrededor del origen, ^[4]

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {T} =0}$

mientras que el rizo de un campo poloidal es tangencial a esas esferas

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\nabla \times \mathbf {P} )=0.}$^[5]

La descomposición poloidal-toroidal es única si se requiere que el promedio de los campos escalares Ψ y Φ se desvanezca en cada esfera de radio r . ^[3]

Descomposición cartesiana

También existe una descomposición poloidal-toroidal en coordenadas cartesianas , pero en este caso se debe incluir un flujo de campo medio. Por ejemplo, cada campo vectorial solenoidal se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\nabla \times g(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }}+\nabla \times (\nabla \times h(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }})+b_{x}(z){\hat {\mathbf {x} }}+b_{y}(z){\hat {\mathbf {y} }},}$

donde denotan los vectores unitarios en las direcciones de coordenadas. ^[6] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }},{\hat {\mathbf {z} }}}$

Véase también

• Toroidal y poloidal
• Función Chandrasekhar-Kendall

Notas

1. Subrahmanyan Chandrasekhar (1961). Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética. International Series of Monographs on Physics. Oxford: Clarendon. Véase el análisis en la página 622.
2. Backus 1986, pág. 87.
3. Backus 1986, pág. 88.
4. Backus, Parker y Constable 1996, pág. 178.
5. Backus, Parker y Constable 1996, pág. 179.
6. Jones 2008, pág. 17.

Referencias

• Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética, Chandrasekhar, Subrahmanyan; Serie internacional de monografías sobre física, Oxford: Clarendon, 1961, pág. 622.
• Descomposición de campos solenoidales en campos poloidales, campos toroidales y flujo medio. Aplicaciones a las ecuaciones de Boussinesq, Schmitt, BJ y von Wahl, W; en The Navier–Stokes Equations II — Theory and Numerical Methods , págs. 291–305; Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin/ Heidelberg, vol. 1530/ 1992.
• Ecuaciones magnetohidrodinámicas anelásticas para modelar zonas de convección solar y estelar, Lantz, SR y Fan, Y.; The Astrophysical Journal Supplement Series, Volumen 121, Número 1, marzo de 1999, págs. 247–264.
• Descomposición poloidal-toroidal plana de campos vectoriales doblemente periódicos: Parte 1. Campos con divergencia y Parte 2. Ecuaciones de Stokes. GD McBain. ANZIAM J. 47 (2005)
• Backus, George (1986), "Campos polioidales y toroidales en el modelado de campos geomagnéticos", Reviews of Geophysics , 24 : 75–109, Bibcode :1986RvGeo..24...75B, doi :10.1029/RG024i001p00075.
• Backus, George; Parker, Robert; Constable, Catherine (1996), Fundamentos del geomagnetismo , Cambridge University Press, ISBN 0-521-41006-1.
• Jones, Chris (2008), Teoría del dinamo (PDF).