Conjetura de Bass-Quillen

Relacionaría haces de vectores sobre un anillo noetheriano regular y sobre un anillo polinómico

En matemáticas, la conjetura de Bass-Quillen relaciona haces de vectores sobre un anillo noetheriano regular A y sobre el anillo polinómico . La conjetura lleva el nombre de Hyman Bass y Daniel Quillen , quienes formularon la conjetura. ^{[1] [2]} ${\displaystyle A[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

Declaración de la conjetura

La conjetura es una afirmación sobre módulos proyectivos generados finitamente . Estos módulos también se denominan paquetes de vectores. Para un anillo A , el conjunto de clases de isomorfismo de haces de vectores sobre A de rango r se denota por . ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{r}(A)}$

La conjetura afirma que para un anillo noetheriano regular A la asignación

${\displaystyle M\mapsto M\otimes _{A}A[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

produce una biyección

${\displaystyle \operatorname {Vect} _{r}(A){\stackrel {\sim }{\to }}\operatorname {Vect} _{r}(A[t_{1},\dots ,t_{n}]).}$

Casos conocidos

Si A  =  k es un campo, la conjetura de Bass-Quillen afirma que cualquier módulo proyectivo sobre es libre. Esta cuestión fue planteada por Jean-Pierre Serre y posteriormente demostrada por Quillen y Suslin, véase el teorema de Quillen-Suslin . De manera más general, Lindel (1981) demostró la conjetura en el caso de que A sea un álgebra suave sobre un campo k . En Lam (2006) se revisan más casos conocidos. ${\displaystyle k[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

Extensiones

El conjunto de clases de isomorfismo de haces de vectores de rango r sobre A también se puede identificar con el grupo de cohomología nobeliano

${\displaystyle H_{Nis}^{1}(Spec(A),GL_{r}).}$

Resultados positivos sobre la invariancia de homotopía de

${\displaystyle H_{Nis}^{1}(U,G)}$

de grupos reductores isotrópicos G han sido obtenidos por Asok, Hoyois y Wendt (2018) mediante la teoría de homotopía A 1 .

Referencias

1. Bass, H. (1973), Algunos problemas de la teoría K algebraica "clásica". Teoría K algebraica II , Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag, Sección 4.1
2. Quillen, D. (1976), "Módulos proyectivos sobre anillos polinomiales", Inventar. Matemáticas. , 36 : 167–171, Bibcode : 1976InMat..36..167Q, doi : 10.1007/bf01390008, S2CID  119678534

• Asok, Aravind; Hoyois, Marc; Wendt, Matthias (2018), "Resultados de representabilidad afín en la teoría de la homotopía A ^ 1 II: paquetes principales y espacios homogéneos", Geom. Tópol. , 22 (2): 1181–1225, arXiv : 1507.08020 , doi : 10.2140/gt.2018.22.1181, S2CID  119137937, Zbl  1400.14061
• Lindel, H. (1981), "Sobre la conjetura de Bass-Quillen sobre módulos proyectivos sobre anillos polinomiales", Invent. Matemáticas. , 65 (2): 319–323, Bibcode :1981InMat..65..319L, doi :10.1007/bf01389017, S2CID  120337628
• Lam, TY (2006), El problema de Serre sobre los módulos proyectivos , Berlín: Springer, ISBN 3-540-23317-2, Zbl  1101.13001