En la geometría de curvas planas , un vértice es un punto donde la primera derivada de la curvatura es cero. [1] Esto es típicamente un máximo o mínimo local de curvatura, [2] y algunos autores definen un vértice como un extremo local de curvatura. [3] Sin embargo, pueden ocurrir otros casos especiales, por ejemplo cuando la segunda derivada también es cero, o cuando la curvatura es constante. Para las curvas espaciales , por otro lado, un vértice es un punto donde la torsión se desvanece.
Una hipérbola tiene dos vértices, uno en cada rama; son los más cercanos de dos puntos cualesquiera que se encuentren en ramas opuestas de la hipérbola y se encuentran sobre el eje principal. En una parábola, el único vértice se encuentra sobre el eje de simetría y en una ecuación cuadrática de la forma:
Se puede encontrar completando el cuadrado o por diferenciación . [2] En una elipse , dos de los cuatro vértices se encuentran en el eje mayor y dos en el eje menor. [4]
Para un círculo , que tiene curvatura constante, cada punto es un vértice.
Los vértices son puntos donde la curva tiene contacto de 4 puntos con el círculo osculador en ese punto. [5] [6] Por el contrario, los puntos genéricos en una curva típicamente solo tienen contacto de 3 puntos con su círculo osculador. La evoluta de una curva tendrá genéricamente una cúspide cuando la curva tiene un vértice; [6] otras singularidades más degeneradas y no estables pueden ocurrir en vértices de orden superior, en los que el círculo osculador tiene contacto de orden superior a cuatro. [5] Aunque una sola curva genérica no tendrá ningún vértice de orden superior, ocurrirán genéricamente dentro de una familia de curvas de un parámetro, en la curva de la familia para la cual dos vértices ordinarios se fusionan para formar un vértice superior y luego se aniquilan.
El conjunto de simetría de una curva tiene puntos finales en las cúspides correspondientes a los vértices, y el eje medial , un subconjunto del conjunto de simetría , también tiene sus puntos finales en las cúspides.
Según el teorema clásico de los cuatro vértices , toda curva plana cerrada simple y suave debe tener al menos cuatro vértices. [7] Un hecho más general es que toda curva espacial cerrada simple que se encuentra en el límite de un cuerpo convexo, o incluso limita un disco localmente convexo, debe tener cuatro vértices. [8] Toda curva de ancho constante debe tener al menos seis vértices. [9]
Si una curva plana es bilateralmente simétrica , tendrá un vértice en el punto o puntos donde el eje de simetría cruza la curva. Por lo tanto, la noción de vértice de una curva está estrechamente relacionada con la de vértice óptico , el punto donde un eje óptico cruza la superficie de una lente .
