Transición de Fréedericksz

Transición de fase de cristales líquidos

La transición de Fréedericksz es una transición de fase en cristales líquidos que se produce cuando se aplica un campo eléctrico o magnético suficientemente fuerte a un cristal líquido en un estado no distorsionado. Por debajo de un cierto umbral de campo, el director permanece sin distorsión. A medida que el valor del campo aumenta gradualmente a partir de este umbral, el director comienza a torcerse hasta que se alinea con el campo. De esta manera, la transición de Fréedericksz puede ocurrir en tres configuraciones diferentes conocidas como geometrías de torsión, curvatura y ensanchamiento. La transición de fase fue observada por primera vez por Fréedericksz y Repiewa en 1927. ^[1] En este primer experimento de ellos, una de las paredes de la celda era cóncava para producir una variación en el espesor a lo largo de la celda. ^[2] La transición de fase recibe su nombre en honor al físico ruso Vsevolod Frederiks .

Derivación

Geometría de torsión

Un diagrama que muestra la geometría de torsión, donde es el campo eléctrico umbral. ${\displaystyle E_{t}}$

Si un cristal líquido nemático que está confinado entre dos placas paralelas que inducen un anclaje plano se coloca en un campo eléctrico constante suficientemente alto, el director se distorsionará. Si en un campo cero el director se alinea a lo largo del eje x, entonces al aplicar un campo eléctrico a lo largo del eje y el director estará dado por:

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =n_{x}\mathbf {\hat {x}} +n_{y}\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle n_{x}=\cos {\theta (z)}}$

${\displaystyle n_{y}=\sin {\theta (z)}}$

Con este arreglo la densidad de energía libre de distorsión se convierte en:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}}$

La energía total por unidad de volumen almacenada en la distorsión y el campo eléctrico viene dada por:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }}$

La energía libre por unidad de área es entonces:

${\displaystyle F_{A}=\int _{0}^{d}{\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }\,dz\,}$

Minimizando esto mediante el cálculo de variaciones obtenemos:

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)-{\frac {d}{dz}}\left({\frac {\partial U}{\partial \left({\frac {d\theta }{dz}}\right)}}\right)=0}$

${\displaystyle K_{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}\right)+\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin {\theta }\cos {\theta }=0}$

Reescribiendo esto en términos de y donde es la distancia de separación entre las dos placas, el resultado es que la ecuación se simplifica a: ${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{d}}}$ ${\displaystyle \xi _{d}=d^{-1}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}}}}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+\sin {\theta }\cos {\theta }=0}$

Al multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por esta ecuación se puede simplificar aún más de la siguiente manera: ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}\xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+{\frac {d\theta }{d\zeta }}\sin {\theta }\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)\,d\zeta \,=0}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {1}{\xi _{d}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\theta _{m}}-\sin ^{2}{\theta }}}}$

El valor es el valor de cuando . Sustituyendo y en la ecuación anterior e integrando con respecto a de 0 a 1 se obtiene: ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \zeta =1/2}$ ${\displaystyle k=\sin {\theta _{m}}}$ ${\displaystyle t={\frac {\sin {\theta }}{\sin {\theta _{m}}}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\,dt\,\equiv K(k)={\frac {1}{2\xi _{d}}}}$

El valor K(k) es la integral elíptica completa de primera especie . Observando que finalmente se obtiene el campo eléctrico umbral . ${\displaystyle K(0)={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle E_{t}}$

${\displaystyle E_{t}={\frac {\pi }{d}}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}}}}}$

Como resultado, midiendo el campo eléctrico umbral se puede medir efectivamente la constante de torsión de Frank siempre que se conozca la anisotropía en la susceptibilidad eléctrica y la separación de placas.

Notas

1. Fréedericksz y Repiewa 1927, págs. 532–546
2. Priestley, Wojtowicz y Sheng 1975, pág. 115

Referencias

• Collings, Peter J.; Hird, Michael (1997). Introducción a los cristales líquidos: química y física . Taylor & Francis Ltd. ISBN 0-7484-0643-3.
• de Gennes, Pierre-Gilles ; Prost, J. (10 de agosto de 1995). Física de cristales líquidos (2.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-851785-8.
• Fréedericksz, V.; Repiewa, A. (1927). "Theoretisches und Experimentelles zur Frage nach der Natur der anisotropen Flüssigkeiten". Zeitschrift für Physik . 42 (7): 532–546. Código bibliográfico : 1927ZPhy...42..532F. doi :10.1007/BF01397711. S2CID  119861131.
• Fréedericksz, V.; Zolina, V. (1933). "Fuerzas que provocan la orientación de un líquido anisotrópico". Trans. Faraday Soc . 29 (140): 919–930. doi :10.1039/TF9332900919.
• Priestley, EB; Wojtowicz, Peter J.; Sheng, Ping (1975). Introducción a los cristales líquidos . Plenum Press. ISBN 0-306-30858-4.
• Zöcher, H. (1933). "El efecto de un campo magnético sobre el estado nemático". Transactions of the Faraday Society . 29 (140): 945–957. doi :10.1039/TF9332900945.