En teoría algebraica de números , el teorema de Shafarevich-Weil relaciona la clase fundamental de una extensión de Galois de campos locales o globales con una extensión de grupos de Galois . Fue introducido por Shafarevich (1946) para campos locales y por Weil (1951) para campos globales.
Supongamos que F es un campo global, K es una extensión normal de F y L es una extensión abeliana de K. Entonces el grupo de Galois Gal( L / F ) es una extensión del grupo Gal( K / F ) por el grupo abeliano Gal( L / K ), y esta extensión corresponde a un elemento del grupo de cohomología H 2 (Gal( K / F ), Gal( L / K )). Por otro lado, la teoría de campos de clases proporciona una clase fundamental en H 2 (Gal( K / F ), I K ) y un mapa de ley de reciprocidad de I K a Gal ( L / K ). El teorema de Shafarevich-Weil establece que la clase de la extensión Gal( L / F ) es la imagen de la clase fundamental bajo el homomorfismo de grupos de cohomología inducido por el mapa de leyes de reciprocidad (Artin & Tate 2009, p.246).
Shafarevich expresó su teorema para campos locales en términos de álgebras de división en lugar de la clase fundamental (Weil 1967). En este caso, con L la extensión abeliana máxima de K , la extensión Gal( L / F ) corresponde bajo el mapa de reciprocidad al normalizador de K en un álgebra de división de grado [ K : F ] sobre F , y el teorema de Shafarevich establece que el invariante de Hasse de este álgebra de división es 1/[ K : F ]. La relación con la versión anterior del teorema es que las álgebras de división corresponden a elementos de un segundo grupo de cohomología (el grupo de Brauer) y bajo esta correspondencia el álgebra de división con invariante de Hasse 1/[ K : F ] corresponde a la clase fundamental.