Subespacio lineal generado a partir de un vector sobre el que actúa una serie de potencias de una matriz
En álgebra lineal , el subespacio de Krylov de orden -r generado por una matriz A de n por n y un vector b de dimensión n es el subespacio lineal abarcado por las imágenes de b bajo las primeras r potencias de A (a partir de ), que es, [1] [2] ![{\displaystyle A^{0}=I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)=\operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1} b\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fondo
El concepto lleva el nombre del ingeniero naval y matemático aplicado ruso Alexei Krylov , quien publicó un artículo sobre el concepto en 1931. [3]
Propiedades
.- Dejar . Entonces son linealmente independientes a menos que , para todos y . También lo es la dimensión máxima de los subespacios de Krylov .
![{\displaystyle r_{0}=\operatorname {dim} \operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots \}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r>r_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {dim} {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)=r_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle r_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La dimensión máxima satisface y .
![{\displaystyle r_{0}\leq 1+\operatorname {rango} A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{0}\leq n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Considere dónde está el polinomio mínimo de . Tenemos . Además, para cualquier , existe un límite para el cual este límite es estricto, es decir .
![{\displaystyle \dim \operatorname {span} \,\{I,A,A^{2},\ldots \}=\deg \,p(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{0}\leq \deg \,p(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{0}=\grados \,p(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un submódulo cíclico generado por el módulo de torsión , donde es el espacio lineal en .
![{\displaystyle k[x]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (k^{n})^{A}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se puede descomponer como la suma directa de los subespacios de Krylov. [ se necesita aclaración ]
Usar
Los subespacios de Krylov se utilizan en algoritmos para encontrar soluciones aproximadas a problemas de álgebra lineal de alta dimensión . [2] Muchas pruebas de sistemas dinámicos lineales en la teoría del control , especialmente aquellas relacionadas con la controlabilidad y la observabilidad , implican verificar el rango del subespacio de Krylov. Estas pruebas equivalen a encontrar el intervalo de los Gramianos asociados con los mapas de sistema/salida, de modo que los subespacios incontrolables e inobservables sean simplemente el complemento ortogonal del subespacio de Krylov. [4]
Los métodos iterativos modernos , como la iteración de Arnoldi, se pueden utilizar para encontrar uno (o algunos) valores propios de matrices dispersas grandes o para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales. Intentan evitar las operaciones matriz-matriz, sino multiplicar vectores por la matriz y trabajar con los vectores resultantes. Comenzando con un vector , se calcula , luego se multiplica ese vector por para encontrar y así sucesivamente. Todos los algoritmos que funcionan de esta manera se denominan métodos subespaciales de Krylov; se encuentran entre los métodos más exitosos disponibles actualmente en álgebra lineal numérica. Estos métodos se pueden utilizar en situaciones donde existe un algoritmo para calcular la multiplicación matriz-vector sin que exista una representación explícita de , dando lugar a métodos libres de matrices .![{\displaystyle b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Ab}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{2}b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Asuntos
Debido a que los vectores generalmente pronto se vuelven casi linealmente dependientes debido a las propiedades de la iteración de potencia , los métodos que se basan en el subespacio de Krylov frecuentemente implican algún esquema de ortogonalización , como la iteración de Lanczos para matrices hermitianas o la iteración de Arnoldi para matrices más generales.
Métodos existentes
Los métodos subespaciales de Krylov más conocidos son el gradiente conjugado , IDR(s) (reducción de dimensión inducida), GMRES (residuo mínimo generalizado), BiCGSTAB (gradiente biconjugado estabilizado), QMR (residuo cuasi mínimo), TFQMR (QMR sin transposición) y MINRES (método residual mínimo).
Ver también
Referencias
- ^ Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Optimización numérica . Serie Springer sobre investigación operativa e ingeniería financiera (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer. pag. 108.ISBN 978-0-387-30303-1.
- ^ ab Simoncini, Valeria (2015), "Subespacios de Krylov", en Nicholas J. Higham; et al. (eds.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, págs. 113-114
- ^ Krylov, AN (1931). "О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем" [Sobre la solución numérica de la ecuación mediante la cual se determinan en problemas técnicos las frecuencias de pequeñas vibraciones de sistemas materiales]. Izvestiia Akademii Nauk SSSR (en ruso). 7 (4): 491–539.
- ^ Hespanha, Joao (2017), Teoría de sistemas lineales , Princeton University Press
Otras lecturas
- Nevanlinna, Olavi (1993). Convergencia de iteraciones para ecuaciones lineales . Conferencias de Matemáticas ETH Zürich. Basilea: Birkhäuser Verlag. págs. viii+177 págs. ISBN 3-7643-2865-7. SEÑOR 1217705.
- Saad, Yousef (2003). Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos (2ª ed.). SIAM . ISBN 0-89871-534-2. OCLC 51266114.
- Gerard Meurant y Jurjen Duintjer Tebbens: "Métodos de Krylov para sistemas lineales no simétricos: de la teoría a los cálculos", Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (octubre de 2020). ISBN 978-3-030-55250-3 , URL=https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0.
- Iman Farahbakhsh: "Métodos subespaciales de Krylov con aplicación en solucionadores de flujo de fluidos incompresibles", Wiley, ISBN 978-1119618683 (septiembre de 2020).